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1. 把下列各式因式分解：
(1) $8a^3b^2 - 12ab^3c + 6a^3b^2c$；
(2) $5x(x - y)^2 + 10(y - x)^3$；
(3) $(a + b)^2 - 9(a - b)^2$；
(4) $-4ax^2 + 8axy - 4ay^2$。
(1) $8a^3b^2 - 12ab^3c + 6a^3b^2c$；
(2) $5x(x - y)^2 + 10(y - x)^3$；
(3) $(a + b)^2 - 9(a - b)^2$；
(4) $-4ax^2 + 8axy - 4ay^2$。
答案
(1) 原式$=2ab^2(4a^2 - 6bc + 3a^2c)$
(2) 原式$=5(y - x)^2(2y - x)$
(3) 原式$=4(2a - b)(2b - a)$
(4) 原式$= -4a(x - y)^2$
(2) 原式$=5(y - x)^2(2y - x)$
(3) 原式$=4(2a - b)(2b - a)$
(4) 原式$= -4a(x - y)^2$
解析
【分析】
因式分解的核心思路是先提公因式，再用公式法化简，最终结果要分解到不能再分解为止：
1. 第(1)题先找各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，确定公因式后提取即可；
2. 第(2)题注意到$(x-y)^2=(y-x)^2$，先统一底数，再提取公因式，最后化简括号内的式子；
3. 第(3)题符合平方差公式$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$的结构，把$(a+b)$和$3(a-b)$分别看作公式中的A和B，套用公式后再化简整理；
4. 第(4)题先提取负的公因式，剩余部分符合完全平方公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 先确定公因式为$2ab^2$，提取公因式得：
原式$=2ab^2· 4a^2 - 2ab^2· 6bc + 2ab^2· 3a^2c = 2ab^2(4a^2 - 6bc + 3a^2c)$
(2) 利用$(x-y)^2=(y-x)^2$变形，再提取公因式$5(y-x)^2$：
原式$=5x(y-x)^2 + 10(y-x)^3 = 5(y-x)^2[x + 2(y-x)] = 5(y-x)^2(x + 2y - 2x) = 5(y-x)^2(2y - x)$
(3) 变形为平方差结构，套用公式后化简：
原式$=(a+b)^2 - [3(a-b)]^2 = [(a+b) - 3(a-b)][(a+b) + 3(a-b)]$
分别化简两个括号：
第一个括号：$a+b - 3a + 3b = -2a + 4b = 2(2b - a)$
第二个括号：$a+b + 3a - 3b = 4a - 2b = 2(2a - b)$
相乘得：$2(2b - a)· 2(2a - b) = 4(2a - b)(2b - a)$
(4) 先提取公因式$-4a$，再套用完全平方公式：
原式$=-4a(x^2 - 2xy + y^2) = -4a(x - y)^2$
【答案】
(1) $2ab^2(4a^2 - 6bc + 3a^2c)$
(2) $5(y - x)^2(2y - x)$
(3) $4(2a - b)(2b - a)$
(4) $-4a(x - y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规题型，重点考查公因式的提取和乘法公式的运用，解题时要注意底数互为相反数的幂的变形技巧，因式分解需做到结果最简、不能再分解。
【难度系数】
0.7
因式分解的核心思路是先提公因式，再用公式法化简，最终结果要分解到不能再分解为止：
1. 第(1)题先找各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，确定公因式后提取即可；
2. 第(2)题注意到$(x-y)^2=(y-x)^2$，先统一底数，再提取公因式，最后化简括号内的式子；
3. 第(3)题符合平方差公式$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$的结构，把$(a+b)$和$3(a-b)$分别看作公式中的A和B，套用公式后再化简整理；
4. 第(4)题先提取负的公因式，剩余部分符合完全平方公式的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 先确定公因式为$2ab^2$，提取公因式得：
原式$=2ab^2· 4a^2 - 2ab^2· 6bc + 2ab^2· 3a^2c = 2ab^2(4a^2 - 6bc + 3a^2c)$
(2) 利用$(x-y)^2=(y-x)^2$变形，再提取公因式$5(y-x)^2$：
原式$=5x(y-x)^2 + 10(y-x)^3 = 5(y-x)^2[x + 2(y-x)] = 5(y-x)^2(x + 2y - 2x) = 5(y-x)^2(2y - x)$
(3) 变形为平方差结构，套用公式后化简：
原式$=(a+b)^2 - [3(a-b)]^2 = [(a+b) - 3(a-b)][(a+b) + 3(a-b)]$
分别化简两个括号：
第一个括号：$a+b - 3a + 3b = -2a + 4b = 2(2b - a)$
第二个括号：$a+b + 3a - 3b = 4a - 2b = 2(2a - b)$
相乘得：$2(2b - a)· 2(2a - b) = 4(2a - b)(2b - a)$
(4) 先提取公因式$-4a$，再套用完全平方公式：
原式$=-4a(x^2 - 2xy + y^2) = -4a(x - y)^2$
【答案】
(1) $2ab^2(4a^2 - 6bc + 3a^2c)$
(2) $5(y - x)^2(2y - x)$
(3) $4(2a - b)(2b - a)$
(4) $-4a(x - y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规题型，重点考查公因式的提取和乘法公式的运用，解题时要注意底数互为相反数的幂的变形技巧，因式分解需做到结果最简、不能再分解。
【难度系数】
0.7
2. 已知$a^2 -4a +4b^2 +4b +5=0$,求$a,b$的值。
答案
解:$a^2 - 4a + 4b^2 + 4b + 5 = 0$。$a^2 - 4a + 4 + 4b^2 + 4b + 1 = 0,(a - 2)^2 + (2b + 1)^2 = 0$。$\because (a - 2)^2 ≥ 0,(2b + 1)^2 ≥ 0,\therefore a - 2 = 0,2b + 1 = 0,\therefore a = 2,b = -\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题可通过配方法求解，解题思路如下：首先观察等式左侧的结构，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项以及常数项，我们可以将常数5拆分为4和1，分别与含a的项、含b的项组合，凑成两个完全平方式；再根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可列出关于a、b的一元一次方程，求解得到a、b的值。
【解析】
首先对原式进行拆项分组：
$a^2 - 4a + 4b^2 + 4b + 5 = 0$
将5拆为4+1，得：
$a^2 - 4a + 4 + 4b^2 + 4b + 1 = 0$
根据完全平方公式分别配方：
$(a - 2)^2 + (2b + 1)^2 = 0$
$\because$ 偶次方具有非负性，即$(a - 2)^2 ≥ 0$，$(2b + 1)^2 ≥ 0$
$\therefore$ 两个非负数相加和为0，只能各自为0，即：
$a - 2 = 0$，$2b + 1 = 0$
分别解得：$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$
【答案】
$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，偶次方的非负性
【点评】
本题是代数变形的基础题型，核心考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是合理拆分常数项，凑出符合完全平方公式的结构，熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题可通过配方法求解，解题思路如下：首先观察等式左侧的结构，包含a的二次项、一次项，b的二次项、一次项以及常数项，我们可以将常数5拆分为4和1，分别与含a的项、含b的项组合，凑成两个完全平方式；再根据偶次方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可列出关于a、b的一元一次方程，求解得到a、b的值。
【解析】
首先对原式进行拆项分组：
$a^2 - 4a + 4b^2 + 4b + 5 = 0$
将5拆为4+1，得：
$a^2 - 4a + 4 + 4b^2 + 4b + 1 = 0$
根据完全平方公式分别配方：
$(a - 2)^2 + (2b + 1)^2 = 0$
$\because$ 偶次方具有非负性，即$(a - 2)^2 ≥ 0$，$(2b + 1)^2 ≥ 0$
$\therefore$ 两个非负数相加和为0，只能各自为0，即：
$a - 2 = 0$，$2b + 1 = 0$
分别解得：$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$
【答案】
$a=2$，$b=-\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法，完全平方公式，偶次方的非负性
【点评】
本题是代数变形的基础题型，核心考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是合理拆分常数项，凑出符合完全平方公式的结构，熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 刘师傅在制造某汽车的配件时,要在半径为 $ R $ 的圆形钢板上钻四个半径均为 $ r $ 的圆孔,刘师傅测量出 $ R = 7.8 \, \mathrm{cm}, r = 1.1 \, \mathrm{cm} $,请你帮助他计算一下圆形钢板的剩余面积($ π $ 取 $ 3.14 $,结果精准到 $ 1 \, \mathrm{cm}^2 $)。
答案
解:根据题意可得,圆形钢板的剩余面积为 $π R^2 - 4π r^2 = π(R^2 - 4r^2) = π(R + 2r)(R - 2r)$。将 $R = 7.8 \, \mathrm{cm},r = 1.1 \, \mathrm{cm}$ 代入,得 $π(R + 2r)(R - 2r) = 3.14 × (7.8 + 2 × 1.1) × (7.8 - 2 × 1.1) = 3.14 × 10 × 5.6 = 175.84 \approx 176(\mathrm{cm}^2)$。所以圆形钢板的剩余面积约为 $176 \, \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算圆形钢板的剩余面积，首先明确剩余面积等于大圆的总面积减去4个小圆的面积之和。第一步先根据圆的面积公式列出剩余面积的代数式，直接代入数值计算平方运算较繁琐，因此可以先利用提公因式法和平方差公式对代数式因式分解，简化运算后再代入数值计算，最后按要求取近似值即可。
【解析】
解：根据题意，圆形钢板的剩余面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积，因此剩余面积的表达式为：
$S = π R^2 - 4π r^2$
先对表达式因式分解：
$S = π(R^2 - 4r^2) = π(R + 2r)(R - 2r)$
将$R = 7.8 \, \mathrm{cm}$，$r = 1.1 \, \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入得：
$\begin{aligned}S &= 3.14 × (7.8 + 2 × 1.1) × (7.8 - 2 × 1.1) \\&= 3.14 × 10 × 5.6 \\&= 175.84\end{aligned}$
根据结果精确到$1 \, \mathrm{cm}^2$的要求，$175.84 \approx 176(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{176 \, \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式的应用；代数式求值
【点评】
本题结合实际生产场景设计，既考察了圆的面积公式的基础应用，又考察了利用因式分解简化运算的技巧，解题时优先对代数式变形可降低计算错误率，同时要注意题目对结果精度的要求。
【难度系数】
0.8
要计算圆形钢板的剩余面积，首先明确剩余面积等于大圆的总面积减去4个小圆的面积之和。第一步先根据圆的面积公式列出剩余面积的代数式，直接代入数值计算平方运算较繁琐，因此可以先利用提公因式法和平方差公式对代数式因式分解，简化运算后再代入数值计算，最后按要求取近似值即可。
【解析】
解：根据题意，圆形钢板的剩余面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积，因此剩余面积的表达式为：
$S = π R^2 - 4π r^2$
先对表达式因式分解：
$S = π(R^2 - 4r^2) = π(R + 2r)(R - 2r)$
将$R = 7.8 \, \mathrm{cm}$，$r = 1.1 \, \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入得：
$\begin{aligned}S &= 3.14 × (7.8 + 2 × 1.1) × (7.8 - 2 × 1.1) \\&= 3.14 × 10 × 5.6 \\&= 175.84\end{aligned}$
根据结果精确到$1 \, \mathrm{cm}^2$的要求，$175.84 \approx 176(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\boxed{176 \, \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆的面积计算；平方差公式的应用；代数式求值
【点评】
本题结合实际生产场景设计，既考察了圆的面积公式的基础应用，又考察了利用因式分解简化运算的技巧，解题时优先对代数式变形可降低计算错误率，同时要注意题目对结果精度的要求。
【难度系数】
0.8
