登录
二、填空题
11. 因式分解：$x^2 +6x =$
11. 因式分解：$x^2 +6x =$
$x(x+6)$
。答案
11.$x(x+6)$
解析
【分析】
拿到这道因式分解的题目，首先观察多项式的结构：这是一个两项式，先判断两项是否存在公因式。对$x^2$和$6x$分别分析，两项都含有公共因式$x$，因此可以采用提公因式法进行因式分解。提取公因式$x$后，将原多项式的每一项分别除以公因式$x$，把得到的结果作为括号内的项即可，最后要注意检验分解后的式子是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
解：观察多项式$x^2+6x$，两项的公因式为$x$，
提取公因式$x$可得：
$x^2+6x = x· x + x·6 = x(x+6)$
分解后$x+6$没有公因式，也无法用公式法继续分解，分解完成。
【答案】
$x(x+6)$
【知识点】
因式分解；提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后需确认剩余的多项式无法再分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.9
拿到这道因式分解的题目，首先观察多项式的结构：这是一个两项式，先判断两项是否存在公因式。对$x^2$和$6x$分别分析，两项都含有公共因式$x$，因此可以采用提公因式法进行因式分解。提取公因式$x$后，将原多项式的每一项分别除以公因式$x$，把得到的结果作为括号内的项即可，最后要注意检验分解后的式子是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
解：观察多项式$x^2+6x$，两项的公因式为$x$，
提取公因式$x$可得：
$x^2+6x = x· x + x·6 = x(x+6)$
分解后$x+6$没有公因式，也无法用公式法继续分解，分解完成。
【答案】
$x(x+6)$
【知识点】
因式分解；提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后需确认剩余的多项式无法再分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.9
12. 因式分解：$a^3b - ab^3 =$
$ab(a + b)(a - b)$
。答案
12.$ab(a + b)(a - b)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都无法再分解。本题先提取两项的公因式，再对剩余部分套用平方差公式分解即可。
【解析】
1. 提取公因式：观察多项式$a^3b - ab^3$，两项均含有公因式$ab$，提取公因式后得：
$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)$
2. 套用平方差公式分解：剩余因式$a^2 - b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$、$n=b$，因此继续分解得：
$ab(a^2 - b^2) = ab(a+b)(a-b)$
3. 检查结果：所有因式均无法再继续分解，分解完成。
【答案】
$ab(a + b)(a - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，考查因式分解的标准操作步骤，解题时需注意先提公因式再用公式，最终要保证分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.9
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都无法再分解。本题先提取两项的公因式，再对剩余部分套用平方差公式分解即可。
【解析】
1. 提取公因式：观察多项式$a^3b - ab^3$，两项均含有公因式$ab$，提取公因式后得：
$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)$
2. 套用平方差公式分解：剩余因式$a^2 - b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$、$n=b$，因此继续分解得：
$ab(a^2 - b^2) = ab(a+b)(a-b)$
3. 检查结果：所有因式均无法再继续分解，分解完成。
【答案】
$ab(a + b)(a - b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，考查因式分解的标准操作步骤，解题时需注意先提公因式再用公式，最终要保证分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.9
13. 因式分解：$a^2b - 10ab + 25b = \underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.$b(a - 5)^2$
解析
【分析】
进行因式分解时，首先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项都含有公因式b，因此第一步先提取公因式b；提取公因式后得到多项式$a^2-10a+25$，观察该式符合完全平方公式的结构特征（首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央），因此可以套用完全平方公式继续分解，最后确认分解结果的每个因式都不能再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式b
$a^2b - 10ab + 25b = b(a^2 - 10a + 25)$
第二步：利用完全平方公式分解二次三项式
因为$a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$
所以原式$= b(a - 5)^2$
【答案】
$b(a - 5)^2$
【知识点】
提取公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题时要遵循因式分解的基本顺序：先提取公因式，再套用公式，最后注意要将多项式分解到每个因式都无法继续分解为止。
【难度系数】
0.8
进行因式分解时，首先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项都含有公因式b，因此第一步先提取公因式b；提取公因式后得到多项式$a^2-10a+25$，观察该式符合完全平方公式的结构特征（首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央），因此可以套用完全平方公式继续分解，最后确认分解结果的每个因式都不能再分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式b
$a^2b - 10ab + 25b = b(a^2 - 10a + 25)$
第二步：利用完全平方公式分解二次三项式
因为$a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$
所以原式$= b(a - 5)^2$
【答案】
$b(a - 5)^2$
【知识点】
提取公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题时要遵循因式分解的基本顺序：先提取公因式，再套用公式，最后注意要将多项式分解到每个因式都无法继续分解为止。
【难度系数】
0.8
14. 关于 $ x $ 的二次三项式 $ 2x^2 + bx + c $ 分解因式后为 $ 2(x-3) · (x+1) $，则 $ b = \_\_\_\_\_\_ $，$ c = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
14.$-4\quad -6$
解析
【分析】
这道题利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，因式分解是把多项式化为整式乘积的形式，反过来将右边的乘积式展开为多项式，和左边的二次三项式对比相同次数项的系数，就能求出b、c的值。解题时先按照多项式乘法法则展开$2(x-3)(x+1)$，再和$2x^2+bx+c$对应系数相等即可。
【解析】
首先展开右侧的因式乘积：
1. 先计算$(x-3)(x+1)$，根据多项式乘多项式法则：
$(x-3)(x+1)=x· x + x·1 - 3· x - 3×1 = x^2 - 2x - 3$
2. 再将结果乘以2：
$2(x^2 - 2x - 3)=2x^2 - 4x - 6$
将展开后的式子与原式$2x^2+bx+c$对比，相同次数项的系数相等，可得：
一次项系数$b=-4$，常数项$c=-6$
【答案】
$-4$；$-6$
【知识点】
整式乘法与因式分解的互逆性、多项式乘多项式、对应项系数相等
【点评】
本题是基础题型，核心考察因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘法运算规则，通过展开乘积式对比系数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题利用因式分解和整式乘法的互逆关系求解，因式分解是把多项式化为整式乘积的形式，反过来将右边的乘积式展开为多项式，和左边的二次三项式对比相同次数项的系数，就能求出b、c的值。解题时先按照多项式乘法法则展开$2(x-3)(x+1)$，再和$2x^2+bx+c$对应系数相等即可。
【解析】
首先展开右侧的因式乘积：
1. 先计算$(x-3)(x+1)$，根据多项式乘多项式法则：
$(x-3)(x+1)=x· x + x·1 - 3· x - 3×1 = x^2 - 2x - 3$
2. 再将结果乘以2：
$2(x^2 - 2x - 3)=2x^2 - 4x - 6$
将展开后的式子与原式$2x^2+bx+c$对比，相同次数项的系数相等，可得：
一次项系数$b=-4$，常数项$c=-6$
【答案】
$-4$；$-6$
【知识点】
整式乘法与因式分解的互逆性、多项式乘多项式、对应项系数相等
【点评】
本题是基础题型，核心考察因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握多项式乘法运算规则，通过展开乘积式对比系数即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15. $ax^2 -4a$与$x^2 -4x +4$的公因式是
$x-2$
。答案
15.$x-2$
解析
【分析】
要找两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解到每个因式不可再分解，再对比分解结果找出共有的因式即可。解题时先处理第一个多项式：先提取公因式，再用平方差公式分解；再处理第二个多项式，用完全平方公式分解，最后对比找公共因式。
【解析】
解：对两个多项式分别进行因式分解：
1. 分解$ax^2-4a$：
先提取公因式$a$，可得$ax^2-4a=a(x^2-4)$，
再根据平方差公式分解$x^2-4$，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
因此$ax^2-4a=a(x+2)(x-2)$。
2. 分解$x^2-4x+4$：
该式符合完全平方公式的形式，可得$x^2-4x+4=(x-2)^2=(x-2)(x-2)$。
对比两个分解后的结果，公共的因式为$x-2$。
【答案】
$x-2$
【知识点】
因式分解、公因式确定、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法这两种常见的因式分解方法，将多项式分解彻底后即可快速找出公因式。
【难度系数】
0.8
要找两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解到每个因式不可再分解，再对比分解结果找出共有的因式即可。解题时先处理第一个多项式：先提取公因式，再用平方差公式分解；再处理第二个多项式，用完全平方公式分解，最后对比找公共因式。
【解析】
解：对两个多项式分别进行因式分解：
1. 分解$ax^2-4a$：
先提取公因式$a$，可得$ax^2-4a=a(x^2-4)$，
再根据平方差公式分解$x^2-4$，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
因此$ax^2-4a=a(x+2)(x-2)$。
2. 分解$x^2-4x+4$：
该式符合完全平方公式的形式，可得$x^2-4x+4=(x-2)^2=(x-2)(x-2)$。
对比两个分解后的结果，公共的因式为$x-2$。
【答案】
$x-2$
【知识点】
因式分解、公因式确定、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法这两种常见的因式分解方法，将多项式分解彻底后即可快速找出公因式。
【难度系数】
0.8
16. 如图所示,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证的公式是
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
。答案
16.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
解析
【分析】
解题思路如下：首先计算左图阴影部分的面积，左图阴影是大正方形减去小正方形，直接用正方形面积公式即可得到面积表达式；再计算右图梯形的面积，先确定梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式化简得到面积表达式；因为两个阴影部分是同一块图形割补得到的，面积相等，联立两个表达式即可得到验证的公式。
【解析】
1. 计算左图阴影面积：
左图是边长为$a$的正方形中剪去边长为$b$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即：
$S_1 = a^2 - b^2$
2. 计算右图梯形的面积：
观察梯形可得，上底长为$b+b=2b$，下底长为$a+a=2a$，梯形的高为$a - b$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b)$
化简可得：
$S_2 = \frac{1}{2}×2(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)$
3. 因为两个阴影部分是同一部分割补得到，面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【答案】
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 正方形面积计算
3. 梯形面积计算
【点评】
本题通过图形割补的方式直观呈现了平方差公式的几何意义，考查了基本图形的面积计算方法，体现了数形结合的思想，解题关键是准确找到梯形各部分的长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先计算左图阴影部分的面积，左图阴影是大正方形减去小正方形，直接用正方形面积公式即可得到面积表达式；再计算右图梯形的面积，先确定梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式化简得到面积表达式；因为两个阴影部分是同一块图形割补得到的，面积相等，联立两个表达式即可得到验证的公式。
【解析】
1. 计算左图阴影面积：
左图是边长为$a$的正方形中剪去边长为$b$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即：
$S_1 = a^2 - b^2$
2. 计算右图梯形的面积：
观察梯形可得，上底长为$b+b=2b$，下底长为$a+a=2a$，梯形的高为$a - b$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b)$
化简可得：
$S_2 = \frac{1}{2}×2(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)$
3. 因为两个阴影部分是同一部分割补得到，面积相等，即$S_1=S_2$，因此可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【答案】
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 正方形面积计算
3. 梯形面积计算
【点评】
本题通过图形割补的方式直观呈现了平方差公式的几何意义，考查了基本图形的面积计算方法，体现了数形结合的思想，解题关键是准确找到梯形各部分的长度。
【难度系数】
0.7
