22.数学课上,小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗?
以0.$\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答:
设0.$\dot{3}$为x,即0.$\dot{3}$=x,
等式两边乘10,得3.$\dot{3}$=10x,即3+0.$\dot{3}$=10x.
因为0.$\dot{3}$=x,所以3+x=10x,解得x=$\frac{1}{3}$.即0.$\dot{3}$=$\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以0.$\dot{3}$是有理数.
同学们,你们学会了吗?请根据上述方法,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.$\dot{2}$写成分数的形式是;
(2)请用上述方法将0.$\ddot{21}$写成分数形式.

解：
(1) $\frac{2}{9}$
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，即$21 + 0.\dot{2}\dot{1} = 100x$。
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$，所以$21 + x = 100x$，
移项得$99x=21$，
解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$。
即$0.\dot{2}\dot{1}$写成分数的形式是$\frac{7}{33}$。

【分析】
解决本题的核心是掌握题目给出的无限循环小数化分数的方法，思考步骤如下：1. 先确定无限循环小数的循环节位数，循环节有几位，就把原数扩大10的几次倍，保证扩大后的数的小数部分和原数的小数部分完全相同；2. 设原无限循环小数为x，列出扩大后的数的表达式，将其中的小数部分替换为x，就能得到只含x的一元一次方程；3. 解方程求出x，约分化为最简分数即可。第(1)问中0.$\dot{2}$的循环节是1位，需乘10消去循环部分；第(2)问中0.$\ddot{21}$的循环节是2位，需乘100消去循环部分。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘10，得$2.\dot{2}=10x$，即$2 + 0.\dot{2}=10x$，
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2 + x = 10x$，
移项得$9x=2$，解得$x=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，即$21 + 0.\dot{2}\dot{1} = 100x$，
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$，所以$21 + x = 100x$，
移项得$99x=21$，
解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；(2) $\frac{7}{33}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 无限循环小数化分数
【点评】
本题属于方法迁移类的阅读题，需要先读懂示例的解题逻辑，再将方法灵活运用到新的问题中，既锻炼了信息提取和模仿应用的能力，也加深了对有理数范围的理解。
【难度系数】
0.8