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18. 计算：$-1^{2026} × (-2)^2 + (π - 2)^0 + |1 - 2\sqrt{2}| - \sqrt{8}$
答案
解：
原式$=-1×4 + 1 + (2\sqrt{2} - 1) - 2\sqrt{2}$
$=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}$
$=-4$
原式$=-1×4 + 1 + (2\sqrt{2} - 1) - 2\sqrt{2}$
$=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}$
$=-4$
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简，再计算乘法，最后算加减。各部分计算要点：①$-1^{2026}$是$1^{2026}$的相反数，2026是偶数，所以结果为$-1$；②$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，结果为$4$；③非零数的0次幂等于1，$π-2≠0$，故$(π-2)^0=1$；④$|1-2\sqrt{2}|$中，$2\sqrt{2}＞1$，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值得$2\sqrt{2}-1$；⑤$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$，再代入合并计算即可。
【解析】
先分别计算各部分：
1. 计算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-2)^2=4$
2. 计算零指数幂：$(π-2)^0=1$
3. 化简绝对值：$|1-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-1$
4. 化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
将结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1×4 + 1 + (2\sqrt{2} - 1) - 2\sqrt{2}\\&=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
实数混合运算；零指数幂运算；绝对值与二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的常规题型，核心考查各类基础运算的规则，计算时需要注意区分乘方的符号、去绝对值的符号变化，合并时找准可抵消的项，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于实数的混合运算题，解题时先明确运算顺序：先算乘方、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简，再计算乘法，最后算加减。各部分计算要点：①$-1^{2026}$是$1^{2026}$的相反数，2026是偶数，所以结果为$-1$；②$(-2)^2$表示2个$-2$相乘，结果为$4$；③非零数的0次幂等于1，$π-2≠0$，故$(π-2)^0=1$；④$|1-2\sqrt{2}|$中，$2\sqrt{2}＞1$，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值得$2\sqrt{2}-1$；⑤$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$，再代入合并计算即可。
【解析】
先分别计算各部分：
1. 计算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-2)^2=4$
2. 计算零指数幂：$(π-2)^0=1$
3. 化简绝对值：$|1-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-1$
4. 化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
将结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1×4 + 1 + (2\sqrt{2} - 1) - 2\sqrt{2}\\&=-4 + 1 + 2\sqrt{2} - 1 - 2\sqrt{2}\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
实数混合运算；零指数幂运算；绝对值与二次根式化简
【点评】
本题是实数运算的常规题型，核心考查各类基础运算的规则，计算时需要注意区分乘方的符号、去绝对值的符号变化，合并时找准可抵消的项，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
19. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ |x| = 0 $；
(2) $ |x| - \sqrt[3]{10} = 0 $；
(3) $ |x - 1| = \sqrt{5} $。
(1) $ |x| = 0 $；
(2) $ |x| - \sqrt[3]{10} = 0 $；
(3) $ |x - 1| = \sqrt{5} $。
答案
解：
(1) 根据绝对值的性质，得 $ x = 0 $。
(2) 移项得 $ |x| = \sqrt[3]{10} $，
根据绝对值的性质，得 $ x = \pm \sqrt[3]{10} $。
(3) 由绝对值的性质，得 $ x - 1 = \sqrt{5} $ 或 $ x - 1 = -\sqrt{5} $，
解得 $ x = 1 + \sqrt{5} $ 或 $ x = 1 - \sqrt{5} $。
(1) 根据绝对值的性质，得 $ x = 0 $。
(2) 移项得 $ |x| = \sqrt[3]{10} $，
根据绝对值的性质，得 $ x = \pm \sqrt[3]{10} $。
(3) 由绝对值的性质，得 $ x - 1 = \sqrt{5} $ 或 $ x - 1 = -\sqrt{5} $，
解得 $ x = 1 + \sqrt{5} $ 或 $ x = 1 - \sqrt{5} $。
解析
【分析】
这三道题均为含绝对值的方程，解题核心是利用绝对值的性质：若$\vert a\vert = b$（$b≥0$），则当$b=0$时$a=0$，当$b＞0$时$a=\pm b$。解题思路如下：(1)直接利用绝对值为0的特殊性质求解；(2)先通过移项把含绝对值的部分单独放在等号一侧，再用绝对值性质得到$x$的解；(3)把$x-1$看作整体，利用绝对值性质转化为两个普通一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，得 $x = 0$。
(2) 移项得 $\vert x\vert = \sqrt[3]{10}$，根据绝对值的性质，得 $x = \pm \sqrt[3]{10}$。
(3) 由绝对值的性质，得 $x - 1 = \sqrt{5}$ 或 $x - 1 = -\sqrt{5}$，解得 $x = 1 + \sqrt{5}$ 或 $x = 1 - \sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\pm\sqrt[3]{10}$；(3) $x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$
【知识点】
绝对值的性质，移项法则，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考察绝对值性质的应用，属于基础题型，解题时需注意将绝对值内的代数式看作整体，当绝对值等于正数时存在两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
这三道题均为含绝对值的方程，解题核心是利用绝对值的性质：若$\vert a\vert = b$（$b≥0$），则当$b=0$时$a=0$，当$b＞0$时$a=\pm b$。解题思路如下：(1)直接利用绝对值为0的特殊性质求解；(2)先通过移项把含绝对值的部分单独放在等号一侧，再用绝对值性质得到$x$的解；(3)把$x-1$看作整体，利用绝对值性质转化为两个普通一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 根据绝对值的性质，得 $x = 0$。
(2) 移项得 $\vert x\vert = \sqrt[3]{10}$，根据绝对值的性质，得 $x = \pm \sqrt[3]{10}$。
(3) 由绝对值的性质，得 $x - 1 = \sqrt{5}$ 或 $x - 1 = -\sqrt{5}$，解得 $x = 1 + \sqrt{5}$ 或 $x = 1 - \sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x=0$；(2) $x=\pm\sqrt[3]{10}$；(3) $x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$
【知识点】
绝对值的性质，移项法则，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考察绝对值性质的应用，属于基础题型，解题时需注意将绝对值内的代数式看作整体，当绝对值等于正数时存在两个互为相反数的解，避免漏解。
【难度系数】
0.8
20.已知实数$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt{7}$，求代数式$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$的值。
答案
解：
∵ 实数a，b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c，d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ |x| = √7，
∴ x² = (√7)² = 7，
将各值代入代数式：
x² + √(a+b) + ∛(cd)
= 7 + √0 + ∛1
= 7 + 0 + 1
= 8
∵ 实数a，b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c，d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ |x| = √7，
∴ x² = (√7)² = 7，
将各值代入代数式：
x² + √(a+b) + ∛(cd)
= 7 + √0 + ∛1
= 7 + 0 + 1
= 8
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，结合对应的代数性质推导所需的值：首先，互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的取值；其次，互为倒数的两个数乘积为1，可得到cd的取值；最后，一个数的平方等于其绝对值的平方，已知x的绝对值为√7，可直接算出x²的取值。将得到的三个值代入所求代数式，依次计算根式部分后求和即可得到最终结果。
【解析】
∵ 实数a，b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c，d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ |x| = √7，
∴ x² = (√7)² = 7，
将各值代入代数式：
$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$
$= 7 + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1}$
$= 7 + 0 + 1$
$= 8$
【答案】
8
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数、绝对值基础概念的掌握，只需牢记相关性质推导对应值，再代入代数式按规则计算即可，解题时注意根式的运算规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件出发，结合对应的代数性质推导所需的值：首先，互为相反数的两个数之和为0，可直接得到a+b的取值；其次，互为倒数的两个数乘积为1，可得到cd的取值；最后，一个数的平方等于其绝对值的平方，已知x的绝对值为√7，可直接算出x²的取值。将得到的三个值代入所求代数式，依次计算根式部分后求和即可得到最终结果。
【解析】
∵ 实数a，b互为相反数，
∴ a + b = 0，
∵ c，d互为倒数，
∴ cd = 1，
∵ |x| = √7，
∴ x² = (√7)² = 7，
将各值代入代数式：
$x^2 + \sqrt{a+b} + \sqrt[3]{cd}$
$= 7 + \sqrt{0} + \sqrt[3]{1}$
$= 7 + 0 + 1$
$= 8$
【答案】
8
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数、绝对值基础概念的掌握，只需牢记相关性质推导对应值，再代入代数式按规则计算即可，解题时注意根式的运算规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
21.如图,长方形内两个正方形的面积分别为$3\ \mathrm{cm}^2$,$1\ \mathrm{cm}^2$.(1)求长方形的周长；(2)求图中两块阴影部分的面积和.
答案
解：
(1) 由题意可知，面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$，
面积为$3\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因此长方形的长为$(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
长方形的周长为：
$2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}]=2×(2\sqrt{3}+1)=4\sqrt{3}+2\ (\mathrm{cm})$
(2) 两块阴影部分的面积和等于长方形总面积减去两个正方形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1) - 3 - 1=3+\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-1\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1) 长方形的周长为$(4\sqrt{3}+2)\ \mathrm{cm}$；(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 由题意可知，面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$，
面积为$3\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因此长方形的长为$(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
长方形的周长为：
$2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}]=2×(2\sqrt{3}+1)=4\sqrt{3}+2\ (\mathrm{cm})$
(2) 两块阴影部分的面积和等于长方形总面积减去两个正方形的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1) - 3 - 1=3+\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-1\ (\mathrm{cm}^2)$
答：(1) 长方形的周长为$(4\sqrt{3}+2)\ \mathrm{cm}$；(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式（面积=边长²），已知正方形面积可通过求算术平方根得到两个正方形的边长；接着观察图形可得，长方形的长是两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，代入长方形周长公式即可求解第一问；第二问求阴影部分面积，可采用割补法，阴影部分总面积等于长方形的总面积减去两个正方形的面积和，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 由正方形面积与边长的关系可知，面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$，面积为$3\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
观察图形得：长方形的长为$(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入计算：
$\begin{aligned}周长&=2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}]\\&=2×(2\sqrt{3}+1)\\&=4\sqrt{3}+2\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
(2) 阴影部分面积和=长方形总面积-两个正方形的面积和，先计算长方形面积：
$S_{长方形}=\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1)=3+\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$
两个正方形面积和为$3+1=4\ (\mathrm{cm}^2)$，代入得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(3+\sqrt{3})-4\\&=\sqrt{3}-1\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 长方形的周长为$(4\sqrt{3}+2)\ \mathrm{cm}$；(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
算术平方根的应用；长方形周长面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题核心是先根据正方形面积求出边长，再结合图形得到长方形的长宽参数，周长计算直接套用公式即可，求阴影面积利用整体减空白的割补思路能简化计算，避免分别计算两块阴影面积的麻烦。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形面积公式（面积=边长²），已知正方形面积可通过求算术平方根得到两个正方形的边长；接着观察图形可得，长方形的长是两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长，代入长方形周长公式即可求解第一问；第二问求阴影部分面积，可采用割补法，阴影部分总面积等于长方形的总面积减去两个正方形的面积和，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 由正方形面积与边长的关系可知，面积为$1\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{1}=1\ \mathrm{cm}$，面积为$3\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
观察图形得：长方形的长为$(\sqrt{3}+1)\ \mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入计算：
$\begin{aligned}周长&=2×[(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}]\\&=2×(2\sqrt{3}+1)\\&=4\sqrt{3}+2\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
(2) 阴影部分面积和=长方形总面积-两个正方形的面积和，先计算长方形面积：
$S_{长方形}=\sqrt{3}×(\sqrt{3}+1)=3+\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$
两个正方形面积和为$3+1=4\ (\mathrm{cm}^2)$，代入得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(3+\sqrt{3})-4\\&=\sqrt{3}-1\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 长方形的周长为$(4\sqrt{3}+2)\ \mathrm{cm}$；(2) 两块阴影部分的面积和为$(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
算术平方根的应用；长方形周长面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，解题核心是先根据正方形面积求出边长，再结合图形得到长方形的长宽参数，周长计算直接套用公式即可，求阴影面积利用整体减空白的割补思路能简化计算，避免分别计算两块阴影面积的麻烦。
【难度系数】
0.7
