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一、单项选择题
1. 下列各数中，最大的是 （）
A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$
1. 下列各数中，最大的是 （）
A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{5}$
答案
C
解析
【分析】
要找出四个数中最大的数，我们可以按照实数大小比较的规律逐步推导：第一步先区分数的正负，因为所有正数都大于负数，所以可以先排除负数选项，简化后续计算；第二步针对剩下的正数，由于有带根号的数，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，把带根号的数转化为整数后再比较大小，就能快速得出结果。
【解析】
1. 先排除负数选项：根据“正数大于一切负数”，选项A的-1是负数，比其余三个正数都小，直接排除A。
2. 比较剩下的三个正数$\sqrt{2}$、$3$、$\sqrt{5}$的大小：
对于正数，平方后的值越大，原数越大，分别计算三个数的平方：
$(\sqrt{2})^2=2$，$3^2=9$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$9＞5＞2$，所以对应的原数大小为$3＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$。
综上，四个数中最大的是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、平方根的运算性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察实数大小比较的常用方法，解题时先排除负数可减少计算量，用平方法比较带根号的正数大小是这类题的常用技巧，掌握该方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要找出四个数中最大的数，我们可以按照实数大小比较的规律逐步推导：第一步先区分数的正负，因为所有正数都大于负数，所以可以先排除负数选项，简化后续计算；第二步针对剩下的正数，由于有带根号的数，我们可以利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，把带根号的数转化为整数后再比较大小，就能快速得出结果。
【解析】
1. 先排除负数选项：根据“正数大于一切负数”，选项A的-1是负数，比其余三个正数都小，直接排除A。
2. 比较剩下的三个正数$\sqrt{2}$、$3$、$\sqrt{5}$的大小：
对于正数，平方后的值越大，原数越大，分别计算三个数的平方：
$(\sqrt{2})^2=2$，$3^2=9$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$9＞5＞2$，所以对应的原数大小为$3＞\sqrt{5}＞\sqrt{2}$。
综上，四个数中最大的是3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较、平方根的运算性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察实数大小比较的常用方法，解题时先排除负数可减少计算量，用平方法比较带根号的正数大小是这类题的常用技巧，掌握该方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.64 的立方根是（）
A.2
B.4
C.8
D.16
A.2
B.4
C.8
D.16
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。因此我们只需要找到哪个选项的数的立方等于64，就能得到64的立方根，逐一计算各选项的立方和64对比即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
分别计算各选项的立方：
A选项：$2^3=2×2×2=8≠64$，不符合要求；
B选项：$4^3=4×4×4=64$，符合要求；
C选项：$8^3=8×8×8=512≠64$，不符合要求；
D选项：$16^3=16×16×16=4096≠64$，不符合要求。
因此64的立方根是4。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查立方根的相关概念，熟练掌握常见整数的立方结果可以大幅提高解题速度。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。因此我们只需要找到哪个选项的数的立方等于64，就能得到64的立方根，逐一计算各选项的立方和64对比即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
分别计算各选项的立方：
A选项：$2^3=2×2×2=8≠64$，不符合要求；
B选项：$4^3=4×4×4=64$，符合要求；
C选项：$8^3=8×8×8=512≠64$，不符合要求；
D选项：$16^3=16×16×16=4096≠64$，不符合要求。
因此64的立方根是4。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查立方根的相关概念，熟练掌握常见整数的立方结果可以大幅提高解题速度。
【难度系数】
0.9
3. $\sqrt{25}$的值是（）
A.5
B.$\pm 5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\pm \dfrac{1}{5}$
A.5
B.$\pm 5$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\pm \dfrac{1}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确数学符号$\sqrt{}$的含义，$\sqrt{}$表示求一个非负数的算术平方根，算术平方根的结果是唯一的非负数，注意不要和表示正负的平方根混淆。接下来我们根据算术平方根的定义，找到平方后等于25的非负数，就能得到$\sqrt{25}$的结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$，$a≥0$），那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
本题中要求$\sqrt{25}$的值，就是求25的算术平方根：
∵ $5^2 = 25$，且5是非负数，
∴ $\sqrt{25} = 5$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对算术平方根概念的掌握，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负号的选项，明确$\sqrt{}$运算的结果为非负数即可正确解答。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确数学符号$\sqrt{}$的含义，$\sqrt{}$表示求一个非负数的算术平方根，算术平方根的结果是唯一的非负数，注意不要和表示正负的平方根混淆。接下来我们根据算术平方根的定义，找到平方后等于25的非负数，就能得到$\sqrt{25}$的结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$，$a≥0$），那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
本题中要求$\sqrt{25}$的值，就是求25的算术平方根：
∵ $5^2 = 25$，且5是非负数，
∴ $\sqrt{25} = 5$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 平方根与算术平方根的区分
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对算术平方根概念的掌握，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负号的选项，明确$\sqrt{}$运算的结果为非负数即可正确解答。
【难度系数】
0.85
4. 下列计算中正确的是 （）
A.$\sqrt{4}=±2$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-3$
D.$\sqrt[3]{2^3}=2$
A.$\sqrt{4}=±2$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$|3-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-3$
D.$\sqrt[3]{2^3}=2$
答案
D
解析
【分析】
这是一道实数运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项对应的知识点，结合相关概念和运算法则判断对错，最终选出正确选项。解题思路如下：首先回忆各考点的规则：1.算术平方根的结果为非负数；2.合并同类二次根式时，仅系数相加减，根号部分保持不变；3.化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；4.立方根满足性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$。再对应排查每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，A错误。
B选项：合并同类二次根式时，系数相减、根号部分不变，因此$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，B错误。
C选项：先判断绝对值内式子的正负：$3=\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$，正数的绝对值等于它本身，所以$|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5}$，C错误。
D选项：根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{2^3}=2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的加减；立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数相关的基础概念与运算规则，易错点为混淆算术平方根和平方根的区别、合并同类二次根式时运算错误、绝对值化简时符号判断失误，熟练掌握基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.75
这是一道实数运算的正误判断题，解题时需逐一分析每个选项对应的知识点，结合相关概念和运算法则判断对错，最终选出正确选项。解题思路如下：首先回忆各考点的规则：1.算术平方根的结果为非负数；2.合并同类二次根式时，仅系数相加减，根号部分保持不变；3.化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；4.立方根满足性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$。再对应排查每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{4}$表示4的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{4}=2$，不是$\pm2$，A错误。
B选项：合并同类二次根式时，系数相减、根号部分不变，因此$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，B错误。
C选项：先判断绝对值内式子的正负：$3=\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$，正数的绝对值等于它本身，所以$|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5}$，C错误。
D选项：根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{2^3}=2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的加减；立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数相关的基础概念与运算规则，易错点为混淆算术平方根和平方根的区别、合并同类二次根式时运算错误、绝对值化简时符号判断失误，熟练掌握基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.75
5. 在实数$-1.414,\sqrt{5},π,3.\dot{6},2+\sqrt{3},3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2），$3.141\ 592\ 6$中，无理数的个数为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数包含三类：开方开不尽的数、含π的数、有固定规律但不循环的无限小数。接下来我们逐个判断给出的每个实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们对题中给出的7个实数逐一判断：
1. $-1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{5}$是5开平方后得到的无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是固定的无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{6}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $2+\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$是无理数，有理数与无理数的和仍为无理数，因此$2+\sqrt{3}$属于无理数；
6. $3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.141\ 592\ 6$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5}、π、2+\sqrt{3}、3.212\ 212\ 221···$这4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题时要注意区分有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，尤其不要误将有限小数$3.1415926$等同于$π$判断为无理数，也不要误认为有固定排列规律的数都是循环小数。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数包含三类：开方开不尽的数、含π的数、有固定规律但不循环的无限小数。接下来我们逐个判断给出的每个实数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们对题中给出的7个实数逐一判断：
1. $-1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{5}$是5开平方后得到的无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是固定的无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{6}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $2+\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$是无理数，有理数与无理数的和仍为无理数，因此$2+\sqrt{3}$属于无理数；
6. $3.212\ 212\ 221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.141\ 592\ 6$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5}、π、2+\sqrt{3}、3.212\ 212\ 221···$这4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题核心考查无理数的识别，解题时要注意区分有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，尤其不要误将有限小数$3.1415926$等同于$π$判断为无理数，也不要误认为有固定排列规律的数都是循环小数。
【难度系数】
0.7
6. 请你估计$\sqrt{2}+1$的值在 （）
A.0 和 1 之间
B.1 和 2 之间
C.2 和 3 之间
D.3 和 4 之间
A.0 和 1 之间
B.1 和 2 之间
C.2 和 3 之间
D.3 和 4 之间
答案
C
解析
【分析】
要估算$\sqrt{2}+1$的取值范围，首先需要先确定无理数$\sqrt{2}$的取值范围。我们可以先找2在哪两个相邻的正整数的平方之间，再根据算术平方根的性质得到$\sqrt{2}$的范围，最后根据不等式的性质，给范围的每一部分都加1，就能得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{2}$的取值范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步：推导$\sqrt{2}+1$的取值范围
给不等式$1＜\sqrt{2}＜2$的三边同时加1，不等号方向不变，可得：
$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，即$2＜\sqrt{2}+1＜3$。
因此$\sqrt{2}+1$的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质 3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于估算类基础题型，解题的核心是先确定式子中无理数的取值范围，再通过简单的不等式变形得到最终所求式子的范围，熟练记忆常见正整数的平方数是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{2}+1$的取值范围，首先需要先确定无理数$\sqrt{2}$的取值范围。我们可以先找2在哪两个相邻的正整数的平方之间，再根据算术平方根的性质得到$\sqrt{2}$的范围，最后根据不等式的性质，给范围的每一部分都加1，就能得到$\sqrt{2}+1$的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{2}$的取值范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
根据算术平方根的非负性，可得$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步：推导$\sqrt{2}+1$的取值范围
给不等式$1＜\sqrt{2}＜2$的三边同时加1，不等号方向不变，可得：
$1+1＜\sqrt{2}+1＜2+1$，即$2＜\sqrt{2}+1＜3$。
因此$\sqrt{2}+1$的值在2和3之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的基本性质 3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于估算类基础题型，解题的核心是先确定式子中无理数的取值范围，再通过简单的不等式变形得到最终所求式子的范围，熟练记忆常见正整数的平方数是快速解题的前提。
【难度系数】
0.8
7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 （）
A.$a ＞ -1$
B.$a ＜ -2$
C.$ab ＞ 0$
D.$a + b ＜ 0$
A.$a ＞ -1$
B.$a ＜ -2$
C.$ab ＞ 0$
D.$a + b ＜ 0$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据数轴的性质（数轴上右侧的数总比左侧的数大），先确定实数a、b的取值范围，再结合有理数的运算规律逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上a、b的位置可得：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$。
A选项：a在-1的左侧，因此$a ＜ -1$，该选项错误；
B选项：a在-2的右侧，因此$a ＞ -2$，该选项错误；
C选项：a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，因此$ab ＜ 0$，该选项错误；
D选项：a的绝对值在1~2之间，b的绝对值小于1，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，因此和为负数，即$a + b ＜ 0$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的综合基础题，解题的核心是先根据数轴准确判断出a、b的取值范围，再结合有理数的运算法则逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据数轴的性质（数轴上右侧的数总比左侧的数大），先确定实数a、b的取值范围，再结合有理数的运算规律逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上a、b的位置可得：$-2 ＜ a ＜ -1$，$0 ＜ b ＜ 1$。
A选项：a在-1的左侧，因此$a ＜ -1$，该选项错误；
B选项：a在-2的右侧，因此$a ＞ -2$，该选项错误；
C选项：a为负数，b为正数，异号两数相乘结果为负，因此$ab ＜ 0$，该选项错误；
D选项：a的绝对值在1~2之间，b的绝对值小于1，异号两数相加取绝对值更大的数的符号，因此和为负数，即$a + b ＜ 0$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是数轴与有理数运算的综合基础题，解题的核心是先根据数轴准确判断出a、b的取值范围，再结合有理数的运算法则逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
8.若$ m $和$ n $分别是10的两个平方根，则$ m + 2mn + n $的值是（）
A.0
B.10
C.20
D.-20
A.0
B.10
C.20
D.-20
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。第一步先根据该性质得出m+n的取值，第二步计算m与n的乘积，第三步将所求代数式变形为含有m+n和mn的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m和n是10的两个平方根，
∴正数的两个平方根互为相反数，即$m + n = 0$，
且两个平方根的乘积$mn = \sqrt{10} × (-\sqrt{10}) = -10$，
对所求代数式变形可得：$m + 2mn + n = (m + n) + 2mn$，
将$m+n=0$、$mn=-10$代入上式：
原式$= 0 + 2×(-10) = -20$。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；代数式求值
【点评】
本题主要考查平方根性质的应用，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，结合整体代入的思想计算代数式的值，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。第一步先根据该性质得出m+n的取值，第二步计算m与n的乘积，第三步将所求代数式变形为含有m+n和mn的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m和n是10的两个平方根，
∴正数的两个平方根互为相反数，即$m + n = 0$，
且两个平方根的乘积$mn = \sqrt{10} × (-\sqrt{10}) = -10$，
对所求代数式变形可得：$m + 2mn + n = (m + n) + 2mn$，
将$m+n=0$、$mn=-10$代入上式：
原式$= 0 + 2×(-10) = -20$。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；代数式求值
【点评】
本题主要考查平方根性质的应用，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，结合整体代入的思想计算代数式的值，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7
