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9. 定义一种新运算“△”：$a△ b = a^2 - ab$，则$\sqrt{2}△1$的值为（）
A.$1 - \sqrt{2}$
B.$1 + \sqrt{2}$
C.$2 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
A.$1 - \sqrt{2}$
B.$1 + \sqrt{2}$
C.$2 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“△”的规则：a△b等于第一个数的平方减去两个数的乘积。求解时只需将对应数值按a、b的位置代入公式，再按照运算规则计算即可，代入时注意不要混淆两个数的位置。
【解析】
根据新运算定义$a△ b = a^2 - ab$，求$\sqrt{2}△1$时，$a=\sqrt{2}$，$b=1$，代入公式得：
$\sqrt{2}△1 = (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} × 1$
先计算乘方：$(\sqrt{2})^2=2$，再计算乘法：$\sqrt{2} × 1=\sqrt{2}$，
因此原式$=2 - \sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，二次根式运算
【点评】
本题侧重考查对新规则的理解能力和基础运算能力，只要准确把握新运算的计算逻辑，正确代入数值计算就能得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“△”的规则：a△b等于第一个数的平方减去两个数的乘积。求解时只需将对应数值按a、b的位置代入公式，再按照运算规则计算即可，代入时注意不要混淆两个数的位置。
【解析】
根据新运算定义$a△ b = a^2 - ab$，求$\sqrt{2}△1$时，$a=\sqrt{2}$，$b=1$，代入公式得：
$\sqrt{2}△1 = (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} × 1$
先计算乘方：$(\sqrt{2})^2=2$，再计算乘法：$\sqrt{2} × 1=\sqrt{2}$，
因此原式$=2 - \sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，二次根式运算
【点评】
本题侧重考查对新规则的理解能力和基础运算能力，只要准确把握新运算的计算逻辑，正确代入数值计算就能得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10.下列关于圆周率π说法错误的是 （）
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
A.它是无限不循环小数
B.它可以用数轴上唯一的一个点来表示
C.它的相反数小于－3
D.它与任何无理数的和是无理数
答案
D
解析
【分析】
本题考查圆周率π的性质及实数相关知识点，解题时先明确π≈3.14，是无限不循环的无理数，再逐一分析每个选项的说法是否正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
已知圆周率π≈3.14，是无限不循环小数，属于无理数，我们逐个分析选项：
A选项：π本身就是无限不循环小数，该说法正确，不符合题意；
B选项：所有实数与数轴上的点一一对应，π是实数，因此可以用数轴上唯一的一个点表示，该说法正确，不符合题意；
C选项：π的相反数是-π≈-3.14，-3.14＜-3，因此它的相反数小于-3，该说法正确，不符合题意；
D选项：举反例：π+(-π)=0，0是有理数，因此“π与任何无理数的和是无理数”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆周率的特征；实数与数轴的关系；无理数的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，既考查了对圆周率基础属性的记忆，也考查了对实数相关性质的理解，用举反例的方法可以快速判断正误。
【难度系数】
0.7
本题考查圆周率π的性质及实数相关知识点，解题时先明确π≈3.14，是无限不循环的无理数，再逐一分析每个选项的说法是否正确，最终选出错误选项即可。
【解析】
已知圆周率π≈3.14，是无限不循环小数，属于无理数，我们逐个分析选项：
A选项：π本身就是无限不循环小数，该说法正确，不符合题意；
B选项：所有实数与数轴上的点一一对应，π是实数，因此可以用数轴上唯一的一个点表示，该说法正确，不符合题意；
C选项：π的相反数是-π≈-3.14，-3.14＜-3，因此它的相反数小于-3，该说法正确，不符合题意；
D选项：举反例：π+(-π)=0，0是有理数，因此“π与任何无理数的和是无理数”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆周率的特征；实数与数轴的关系；无理数的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，既考查了对圆周率基础属性的记忆，也考查了对实数相关性质的理解，用举反例的方法可以快速判断正误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为。
11. 已知某数的一个平方根为$-\sqrt{13}$，则这个数为。
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。反过来，已知一个数的平方根求原数时，只需要将这个平方根进行平方运算，得到的结果就是原数。本题给出的平方根是$-\sqrt{13}$，直接计算它的平方即可得到所求的数，计算时注意负数的平方是正数，不要出现符号错误。
【解析】
解：设这个数为$a$，根据平方根的定义，$a$是$-\sqrt{13}$的平方，即：
$a=(-\sqrt{13})^2$
计算得：$a=(\sqrt{13})^2=13$
【答案】
$13$
【知识点】
平方根的定义；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对平方根概念的掌握程度，只要明确平方根和原数的运算关系，正确计算平方即可得分，要注意负号的平方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。反过来，已知一个数的平方根求原数时，只需要将这个平方根进行平方运算，得到的结果就是原数。本题给出的平方根是$-\sqrt{13}$，直接计算它的平方即可得到所求的数，计算时注意负数的平方是正数，不要出现符号错误。
【解析】
解：设这个数为$a$，根据平方根的定义，$a$是$-\sqrt{13}$的平方，即：
$a=(-\sqrt{13})^2$
计算得：$a=(\sqrt{13})^2=13$
【答案】
$13$
【知识点】
平方根的定义；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对平方根概念的掌握程度，只要明确平方根和原数的运算关系，正确计算平方即可得分，要注意负号的平方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
12.计算：$\sqrt{9} - |-2| =$ .
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
这道题是基础运算题，解题思路分为三步：第一步先计算算术平方根$\sqrt{9}$的值，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，可得出$\sqrt{9}$的结果；第二步计算绝对值$|-2|$的值，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得出$|-2|$的结果；第三步将两个结果做减法运算，即可得到最终答案。
【解析】
解：先分别计算两个部分的值：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因此$\sqrt{9}=3$；
2. 计算绝对值：$-2$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$|-2|=2$；
3. 计算减法：$3 - 2 = 1$。
【答案】
$1$
【知识点】
算术平方根运算，绝对值化简，有理数减法
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察对算术平方根、绝对值相关基础概念的掌握，难度较低，牢记相关性质即可快速求解，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题是基础运算题，解题思路分为三步：第一步先计算算术平方根$\sqrt{9}$的值，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，可得出$\sqrt{9}$的结果；第二步计算绝对值$|-2|$的值，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得出$|-2|$的结果；第三步将两个结果做减法运算，即可得到最终答案。
【解析】
解：先分别计算两个部分的值：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，因此$\sqrt{9}=3$；
2. 计算绝对值：$-2$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$|-2|=2$；
3. 计算减法：$3 - 2 = 1$。
【答案】
$1$
【知识点】
算术平方根运算，绝对值化简，有理数减法
【点评】
本题属于基础运算类题型，主要考察对算术平方根、绝对值相关基础概念的掌握，难度较低，牢记相关性质即可快速求解，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
13. 在实数$\frac{2}{3}$，$\sqrt[3]{5}$，0，π中，无理数有个.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确无理数的定义，再结合有理数的范围逐个判断给出的数：首先回忆无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（即所有可以表示为两个整数比值的数，包含有限小数和无限循环小数），随后逐个分析四个数的属性，统计无理数的个数即可。
【解析】
解：首先明确相关概念：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数。
逐个判断各数：
1. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
2. $\sqrt[3]{5}$是开立方运算后开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
3. 0是整数，属于有理数；
4. π是公认的无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对无理数、有理数概念的辨析，解题时注意不要误将所有带根号的数都判定为无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要牢记π是常见的无理数。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确无理数的定义，再结合有理数的范围逐个判断给出的数：首先回忆无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数（即所有可以表示为两个整数比值的数，包含有限小数和无限循环小数），随后逐个分析四个数的属性，统计无理数的个数即可。
【解析】
解：首先明确相关概念：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数。
逐个判断各数：
1. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数；
2. $\sqrt[3]{5}$是开立方运算后开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
3. 0是整数，属于有理数；
4. π是公认的无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对无理数、有理数概念的辨析，解题时注意不要误将所有带根号的数都判定为无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要牢记π是常见的无理数。
【难度系数】
0.85
14. 比较大小：$-\sqrt{31}$ $-6$.（选填“＞”或“＜”）
答案
$＞$
解析
【分析】
要比较两个负数的大小，依据负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的反而小，因此我们只需先求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小即可。比较$\sqrt{31}$和6的大小时，可将6转化为$\sqrt{36}$，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能判断出$\sqrt{31}$和6的大小关系，进而推导得到两个负数的大小关系。
【解析】
解：先计算两个数的绝对值：
$|-\sqrt{31}|=\sqrt{31}$，$|-6|=6$
将6改写为算术平方根形式：$6=\sqrt{36}$
$\because 31＜36$，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{31}＜\sqrt{36}$，即$\sqrt{31}＜6$
又$\because$ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小
$\therefore -\sqrt{31} ＞ -6$
【答案】
$＞$
【知识点】
1. 负数比较大小 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握负数比较大小的法则，以及算术平方根大小和被开方数的对应关系，易错点是忽略负数比较大小的特殊性，直接按照正数比较大小的逻辑判断。
【难度系数】
0.8
要比较两个负数的大小，依据负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的反而小，因此我们只需先求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小即可。比较$\sqrt{31}$和6的大小时，可将6转化为$\sqrt{36}$，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能判断出$\sqrt{31}$和6的大小关系，进而推导得到两个负数的大小关系。
【解析】
解：先计算两个数的绝对值：
$|-\sqrt{31}|=\sqrt{31}$，$|-6|=6$
将6改写为算术平方根形式：$6=\sqrt{36}$
$\because 31＜36$，根据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可得$\sqrt{31}＜\sqrt{36}$，即$\sqrt{31}＜6$
又$\because$ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小
$\therefore -\sqrt{31} ＞ -6$
【答案】
$＞$
【知识点】
1. 负数比较大小 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握负数比较大小的法则，以及算术平方根大小和被开方数的对应关系，易错点是忽略负数比较大小的特殊性，直接按照正数比较大小的逻辑判断。
【难度系数】
0.8
15.若$2m - 4$与$3m - 1$是正数$a$的两个不同的平方根，则$a$为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题的核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，和为0。首先根据这个性质列出关于m的一元一次方程，求出m的取值后，代入任意一个平方根，再对其平方即可求出a的值。
【解析】
解：
∵正数a的两个不同平方根为$2m-4$和$3m-1$，正数的两个平方根互为相反数
∴$2m - 4 + 3m - 1 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
移项计算得：$5m=5$，即$m=1$
将$m=1$代入$2m-4$得：$2×1 - 4 = -2$
∴$a = (-2)^2 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方根的性质、一元一次方程求解、乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记正数平方根的性质，结合简单的方程运算就能快速得出结果，出错点多为计算失误，解题时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，和为0。首先根据这个性质列出关于m的一元一次方程，求出m的取值后，代入任意一个平方根，再对其平方即可求出a的值。
【解析】
解：
∵正数a的两个不同平方根为$2m-4$和$3m-1$，正数的两个平方根互为相反数
∴$2m - 4 + 3m - 1 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
移项计算得：$5m=5$，即$m=1$
将$m=1$代入$2m-4$得：$2×1 - 4 = -2$
∴$a = (-2)^2 = 4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方根的性质、一元一次方程求解、乘方运算
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记正数平方根的性质，结合简单的方程运算就能快速得出结果，出错点多为计算失误，解题时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
16.已知$m＜\sqrt{19}＜m+1$，且$m$为整数，则$m$的值为.
答案
解：
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且m为整数，
所以 $m = 4$。
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
所以 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且m为整数，
所以 $m = 4$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先确定$\sqrt{19}$在哪两个相邻的整数之间，再结合题目给出的$m＜\sqrt{19}＜m+1$的关系求出整数$m$。思考步骤：①回忆算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大；②找到与19相邻的两个完全平方数，确定这两个完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{19}$的取值范围；③将得到的范围和题目给出的范围对比，即可求出整数$m$的值。
【解析】
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
根据算术平方根的性质，可得 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且$m$为整数，
所以 $m = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的取值范围，是基础类题型，熟练掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要先确定$\sqrt{19}$在哪两个相邻的整数之间，再结合题目给出的$m＜\sqrt{19}＜m+1$的关系求出整数$m$。思考步骤：①回忆算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大；②找到与19相邻的两个完全平方数，确定这两个完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{19}$的取值范围；③将得到的范围和题目给出的范围对比，即可求出整数$m$的值。
【解析】
因为 $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
所以 $16 ＜ 19 ＜ 25$，
根据算术平方根的性质，可得 $\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$。
又因为 $m ＜ \sqrt{19} ＜ m+1$，且$m$为整数，
所以 $m = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的取值范围，是基础类题型，熟练掌握估算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
17. 数轴上点A表示$\sqrt{5}$，那么到点A的距离等于$3\sqrt{5}$的点所表示的数是。
答案
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路：数轴上到某一定点距离相等的点共有2个，分别位于该定点的左侧和右侧，因此需要分两种情况讨论计算。首先明确已知点A表示的数为$\sqrt{5}$，要求的点到A的距离为$3\sqrt{5}$：若所求点在点A的右侧，则该点表示的数比$\sqrt{5}$大$3\sqrt{5}$，用加法计算；若所求点在点A的左侧，则该点表示的数比$\sqrt{5}$小$3\sqrt{5}$，用减法计算，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为：$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$；
2. 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为：$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$。
综上，符合条件的点所表示的数为$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
【知识点】
数轴两点距离，二次根式加减，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略数轴上到定点距离相等的点有两个，容易漏解，解题时需要树立分类讨论的意识，同时要熟练掌握同类二次根式的加减运算规则。
【难度系数】
0.7
解题思路：数轴上到某一定点距离相等的点共有2个，分别位于该定点的左侧和右侧，因此需要分两种情况讨论计算。首先明确已知点A表示的数为$\sqrt{5}$，要求的点到A的距离为$3\sqrt{5}$：若所求点在点A的右侧，则该点表示的数比$\sqrt{5}$大$3\sqrt{5}$，用加法计算；若所求点在点A的左侧，则该点表示的数比$\sqrt{5}$小$3\sqrt{5}$，用减法计算，最后合并两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为：$\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$；
2. 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为：$\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$。
综上，符合条件的点所表示的数为$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$
【知识点】
数轴两点距离，二次根式加减，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略数轴上到定点距离相等的点有两个，容易漏解，解题时需要树立分类讨论的意识，同时要熟练掌握同类二次根式的加减运算规则。
【难度系数】
0.7
18. 若 $4 - \sqrt{5}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b$，则代数式 $2 + \sqrt{5}a - b$ 的值为 。
答案
解：
因为$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
所以$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{2\sqrt{5}-1}$。
因为$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
所以$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
所以$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{2\sqrt{5}-1}$。
解析
【分析】
要解这道题，首先需要估算出$\sqrt{5}$的取值范围，进而推导$4-\sqrt{5}$的取值范围，确定它的整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”的规则求出小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入所求代数式，按照实数运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
不等式三边同时加4，得$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{5}-1$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查无理数整数、小数部分的求解方法，解题关键是准确估算无理数的取值范围，代入计算时需注意去括号的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要估算出$\sqrt{5}$的取值范围，进而推导$4-\sqrt{5}$的取值范围，确定它的整数部分$a$；再根据“小数部分=原数-整数部分”的规则求出小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入所求代数式，按照实数运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3 ＜ -\sqrt{5} ＜ -2$，
不等式三边同时加4，得$4-3 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 4-2$，即$1 ＜ 4-\sqrt{5} ＜ 2$，
因此$4-\sqrt{5}$的整数部分$a=1$，
小数部分$b=4-\sqrt{5}-a=4-\sqrt{5}-1=3-\sqrt{5}$。
将$a=1$，$b=3-\sqrt{5}$代入代数式$2+\sqrt{5}a - b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2+\sqrt{5}×1-(3-\sqrt{5})\\&=2+\sqrt{5}-3+\sqrt{5}\\&=2\sqrt{5}-1\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{5}-1$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查无理数整数、小数部分的求解方法，解题关键是准确估算无理数的取值范围，代入计算时需注意去括号的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 计算：
(1) $(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2 × 3$；
(2) $\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
19. 计算：
(1) $(-2)^2 - (3 - 5) - \sqrt{4} + 2 × 3$；
(2) $\sqrt[3]{27} - |2 - \sqrt{5}| - (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{(-3)^2}$。
答案
解：
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
(1) 原式$=4 - (-2) - 2 + 6$
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先分别计算乘方$(-2)^2$、括号内的$3-5$、开方$\sqrt{4}$、乘法$2×3$，再去括号后做加减运算即可；
(2) 先分别计算立方根$\sqrt[3]{27}$、化简绝对值$|2-\sqrt{5}|$（根据绝对值性质，负数的绝对值是它的相反数）、去括号、开方$\sqrt{(-3)^2}$，再合并同类项，注意互为相反数的根式可直接抵消，简化计算。
【解析】
(1) 原式先计算乘方、括号、开方、乘法：
$=4 - (-2) - 2 + 6$
去括号后计算加减：
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式先计算开方、化简绝对值、去括号：
$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
去括号后合并同类项：
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值的化简，开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时需注意去括号、绝对值化简时的符号变化，熟练掌握开方运算规则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题遵循“先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先分别计算乘方$(-2)^2$、括号内的$3-5$、开方$\sqrt{4}$、乘法$2×3$，再去括号后做加减运算即可；
(2) 先分别计算立方根$\sqrt[3]{27}$、化简绝对值$|2-\sqrt{5}|$（根据绝对值性质，负数的绝对值是它的相反数）、去括号、开方$\sqrt{(-3)^2}$，再合并同类项，注意互为相反数的根式可直接抵消，简化计算。
【解析】
(1) 原式先计算乘方、括号、开方、乘法：
$=4 - (-2) - 2 + 6$
去括号后计算加减：
$=4 + 2 - 2 + 6$
$=10$
(2) 原式先计算开方、化简绝对值、去括号：
$=3 - (\sqrt{5} - 2) - 1 + \sqrt{5} + 3$
去括号后合并同类项：
$=3 - \sqrt{5} + 2 - 1 + \sqrt{5} + 3$
$=7$
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值的化简，开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时需注意去括号、绝对值化简时的符号变化，熟练掌握开方运算规则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
