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20. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ x^2 - \dfrac{121}{49} = 0 $；
(2) $ (x + 3)^3 - 27 = 0 $。
(1) $ x^2 - \dfrac{121}{49} = 0 $；
(2) $ (x + 3)^3 - 27 = 0 $。
答案
解：
(1) 移项，得 $x^2 = \dfrac{121}{49}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\dfrac{121}{49}}$，
所以 $x = \pm\dfrac{11}{7}$。
(2) 移项，得 $(x+3)^3 = 27$，
由立方根的定义，得 $x+3 = \sqrt[3]{27} = 3$，
解得 $x = 0$。
(1) 移项，得 $x^2 = \dfrac{121}{49}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\dfrac{121}{49}}$，
所以 $x = \pm\dfrac{11}{7}$。
(2) 移项，得 $(x+3)^3 = 27$，
由立方根的定义，得 $x+3 = \sqrt[3]{27} = 3$，
解得 $x = 0$。
解析
【分析】
这道题包含两道求未知数$x$的小题，均涉及乘方运算，解题思路清晰：(1)第一题是含$x^2$的方程，首先通过移项把常数项移到等号右侧，得到$x^2$等于一个正数，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的两个取值；(2)第二题是含$(x+3)^3$的方程，先移项得到三次式等于常数，再根据立方根的定义，任意实数的立方根唯一，开立方后得到关于$x$的一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 = \dfrac{121}{49}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\dfrac{121}{49}}$，
所以 $x = \pm\dfrac{11}{7}$。
(2) 移项，得 $(x+3)^3 = 27$，
由立方根的定义，得 $x+3 = \sqrt[3]{27} = 3$，
解得 $x = 0$。
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{11}{7}$；(2) $x=0$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解含乘方的方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题核心是准确区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个且互为相反数，而任意数的立方根仅有一个，计算时注意不要漏解或多解。
【难度系数】
0.75
这道题包含两道求未知数$x$的小题，均涉及乘方运算，解题思路清晰：(1)第一题是含$x^2$的方程，首先通过移项把常数项移到等号右侧，得到$x^2$等于一个正数，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出$x$的两个取值；(2)第二题是含$(x+3)^3$的方程，先移项得到三次式等于常数，再根据立方根的定义，任意实数的立方根唯一，开立方后得到关于$x$的一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 = \dfrac{121}{49}$，
由平方根的定义，得 $x = \pm\sqrt{\dfrac{121}{49}}$，
所以 $x = \pm\dfrac{11}{7}$。
(2) 移项，得 $(x+3)^3 = 27$，
由立方根的定义，得 $x+3 = \sqrt[3]{27} = 3$，
解得 $x = 0$。
【答案】
(1) $x=\pm\dfrac{11}{7}$；(2) $x=0$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解含乘方的方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题核心是准确区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个且互为相反数，而任意数的立方根仅有一个，计算时注意不要漏解或多解。
【难度系数】
0.75
21.已知一个正数的平方根是$2a - 4$与$-3 - a$.
(1)求$a$的值和这个正数；
(2)求$3a + 4$的平方根.
(1)求$a$的值和这个正数；
(2)求$3a + 4$的平方根.
答案
解：
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(2a - 4) + (-3 - a) = 0$，
化简得：$a - 7 = 0$，
解得：$a = 7$。
将$a=7$代入$2a-4$，得$2×7 - 4 = 10$，
所以这个正数为$10^2 = 100$。
(2) 把$a=7$代入$3a+4$，得$3×7 + 4 = 25$，
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$3a+4$的平方根是$\pm5$。
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(2a - 4) + (-3 - a) = 0$，
化简得：$a - 7 = 0$，
解得：$a = 7$。
将$a=7$代入$2a-4$，得$2×7 - 4 = 10$，
所以这个正数为$10^2 = 100$。
(2) 把$a=7$代入$3a+4$，得$3×7 + 4 = 25$，
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$3a+4$的平方根是$\pm5$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，二者相加和为0。第(1)问我们可以利用该性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数；第(2)问先把求出的a代入3a+4计算出数值，再根据平方根的定义求出它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(2a - 4) + (-3 - a) = 0$，
化简得：$a - 7 = 0$，
解得：$a = 7$。
将$a=7$代入$2a-4$，得$2×7 - 4 = 10$，
所以这个正数为$10^2 = 100$。
(2) 把$a=7$代入$3a+4$，得$3×7 + 4 = 25$，
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$3a+4$的平方根是$\pm5$。
【答案】
(1) $a=7$，这个正数为$100$；(2) $\pm5$
【知识点】
正数平方根的性质，解一元一次方程，平方根的计算
【点评】
本题是平方根模块的基础题型，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，求解平方根时注意不要遗漏负根，养成严谨的答题习惯。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，二者相加和为0。第(1)问我们可以利用该性质列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数；第(2)问先把求出的a代入3a+4计算出数值，再根据平方根的定义求出它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 因为一个正数的两个平方根互为相反数，
所以 $(2a - 4) + (-3 - a) = 0$，
化简得：$a - 7 = 0$，
解得：$a = 7$。
将$a=7$代入$2a-4$，得$2×7 - 4 = 10$，
所以这个正数为$10^2 = 100$。
(2) 把$a=7$代入$3a+4$，得$3×7 + 4 = 25$，
因为25的平方根是$\pm5$，
所以$3a+4$的平方根是$\pm5$。
【答案】
(1) $a=7$，这个正数为$100$；(2) $\pm5$
【知识点】
正数平方根的性质，解一元一次方程，平方根的计算
【点评】
本题是平方根模块的基础题型，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，求解平方根时注意不要遗漏负根，养成严谨的答题习惯。
【难度系数】
0.8
22.已知$4a+7$的立方根是3，$2a+2b+2$的算术平方根是4.
(1)求$a,b$的值；
(2)求$6a+3b$的平方根.
(1)求$a,b$的值；
(2)求$6a+3b$的平方根.
答案
解：
(1) ∵ 4a+7的立方根是3，
∴ 4a + 7 = 3³ = 27，
解得a = 5。
∵ 2a+2b+2的算术平方根是4，
∴ 2a + 2b + 2 = 4² = 16，
将a=5代入上式，得2×5 + 2b + 2 = 16，
解得b = 2。
(2) 把a=5，b=2代入6a+3b，得
6a + 3b = 6×5 + 3×2 = 36，
∵ 36的平方根是±6，
∴ 6a+3b的平方根是±6。
(1) ∵ 4a+7的立方根是3，
∴ 4a + 7 = 3³ = 27，
解得a = 5。
∵ 2a+2b+2的算术平方根是4，
∴ 2a + 2b + 2 = 4² = 16，
将a=5代入上式，得2×5 + 2b + 2 = 16，
解得b = 2。
(2) 把a=5，b=2代入6a+3b，得
6a + 3b = 6×5 + 3×2 = 36，
∵ 36的平方根是±6，
∴ 6a+3b的平方根是±6。
解析
【分析】
第(1)问利用立方根和算术平方根的定义解题：若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方；若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，据此分别列方程，先求出a的值，再代入第二个方程求出b的值。第(2)问将求得的a、b代入6a+3b算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1)
∵ 4a+7的立方根是3，
∴ 4a + 7 = 3³ = 27，
解得a = 5。
∵ 2a+2b+2的算术平方根是4，
∴ 2a + 2b + 2 = 4² = 16，
将a=5代入上式，得2×5 + 2b + 2 = 16，
解得b = 2。
(2) 把a=5，b=2代入6a+3b，得
6a + 3b = 6×5 + 3×2 = 36，
∵ 36的平方根是±6，
∴ 6a+3b的平方根是±6。
【答案】
(1) $a=5$，$b=2$；(2) $\pm6$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于根式概念的基础应用题型，解题关键是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念，根据定义列方程求解参数即可，注意正数的平方根有两个，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
第(1)问利用立方根和算术平方根的定义解题：若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方；若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，据此分别列方程，先求出a的值，再代入第二个方程求出b的值。第(2)问将求得的a、b代入6a+3b算出结果，再根据平方根的定义求结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1)
∵ 4a+7的立方根是3，
∴ 4a + 7 = 3³ = 27，
解得a = 5。
∵ 2a+2b+2的算术平方根是4，
∴ 2a + 2b + 2 = 4² = 16，
将a=5代入上式，得2×5 + 2b + 2 = 16，
解得b = 2。
(2) 把a=5，b=2代入6a+3b，得
6a + 3b = 6×5 + 3×2 = 36，
∵ 36的平方根是±6，
∴ 6a+3b的平方根是±6。
【答案】
(1) $a=5$，$b=2$；(2) $\pm6$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于根式概念的基础应用题型，解题关键是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念，根据定义列方程求解参数即可，注意正数的平方根有两个，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
