登录
23.已知实数$a$，$b$满足$\sqrt{a-5}+\sqrt{2+b}=0$.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$a-2b$的平方根.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$a-2b$的平方根.
答案
解：
(1) 由算术平方根的非负性可知：
$\sqrt{a-5} ≥ 0$，$\sqrt{2+b} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a-5} + \sqrt{2+b} = 0$，
所以$a-5=0$，$2+b=0$，
解得$a=5$，$b=-2$。
(2) 将$a=5$，$b=-2$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 5 - 2×(-2) = 9$，
因为9的平方根是$\pm 3$，
所以$a-2b$的平方根是$\pm 3$。
(1) 由算术平方根的非负性可知：
$\sqrt{a-5} ≥ 0$，$\sqrt{2+b} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a-5} + \sqrt{2+b} = 0$，
所以$a-5=0$，$2+b=0$，
解得$a=5$，$b=-2$。
(2) 将$a=5$，$b=-2$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 5 - 2×(-2) = 9$，
因为9的平方根是$\pm 3$，
所以$a-2b$的平方根是$\pm 3$。
解析
【分析】
(1)解题首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即大于等于0。两个非负数相加的和为0，说明每一个非负数都必须为0，据此分别列关于a、b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。
(2)第二问先将第(1)问求出的a、b的值代入代数式$a-2b$，计算出结果后，再根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 由算术平方根的非负性可知：
$\sqrt{a-5} ≥ 0$，$\sqrt{2+b} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a-5} + \sqrt{2+b} = 0$，
所以$a-5=0$，$2+b=0$，
解得$a=5$，$b=-2$。
(2) 将$a=5$，$b=-2$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 5 - 2×(-2) = 9$，
因为9的平方根是$\pm 3$，
所以$a-2b$的平方根是$\pm 3$。
【答案】
(1)$a=5$，$b=-2$；(2)$\pm 3$
【知识点】
算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，解题关键是明确若多个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0，求解平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
(1)解题首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即大于等于0。两个非负数相加的和为0，说明每一个非负数都必须为0，据此分别列关于a、b的一元一次方程，求解即可得到a、b的值。
(2)第二问先将第(1)问求出的a、b的值代入代数式$a-2b$，计算出结果后，再根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 由算术平方根的非负性可知：
$\sqrt{a-5} ≥ 0$，$\sqrt{2+b} ≥ 0$，
又因为$\sqrt{a-5} + \sqrt{2+b} = 0$，
所以$a-5=0$，$2+b=0$，
解得$a=5$，$b=-2$。
(2) 将$a=5$，$b=-2$代入$a-2b$，得：
$a-2b = 5 - 2×(-2) = 9$，
因为9的平方根是$\pm 3$，
所以$a-2b$的平方根是$\pm 3$。
【答案】
(1)$a=5$，$b=-2$；(2)$\pm 3$
【知识点】
算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，解题关键是明确若多个非负数的和为0，则每一个非负数的值都为0，求解平方根时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
24. 阅读理解：$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即 $2＜\sqrt{7}＜3$。
$\therefore \sqrt{7}$ 的整数部分为 $2$，小数部分为 $\sqrt{7}-2$。
$\therefore 1＜\sqrt{7}-1＜2$。
$\therefore \sqrt{7}-1$ 的整数部分为 $1$。
$\therefore \sqrt{7}-1$ 的小数部分为 $\sqrt{7}-1-1=\sqrt{7}-2$。
解决问题：
（1）填空：$\sqrt{33}$ 的小数部分是 ；
（2）如果 $\sqrt{7}+1$ 的小数部分为 $a$，$3-\sqrt{7}$ 的整数部分为 $b$，求 $a+b-\sqrt{7}$ 的值。
$\therefore \sqrt{7}$ 的整数部分为 $2$，小数部分为 $\sqrt{7}-2$。
$\therefore 1＜\sqrt{7}-1＜2$。
$\therefore \sqrt{7}-1$ 的整数部分为 $1$。
$\therefore \sqrt{7}-1$ 的小数部分为 $\sqrt{7}-1-1=\sqrt{7}-2$。
解决问题：
（1）填空：$\sqrt{33}$ 的小数部分是 ；
（2）如果 $\sqrt{7}+1$ 的小数部分为 $a$，$3-\sqrt{7}$ 的整数部分为 $b$，求 $a+b-\sqrt{7}$ 的值。
答案
解：
(1)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \sqrt{33}$的整数部分为5，
$\therefore \sqrt{33}$的小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2)
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore 3＜\sqrt{7}+1＜4$，
$\therefore \sqrt{7}+1$的整数部分为3，
$\therefore$ 小数部分$a=\sqrt{7}+1-3=\sqrt{7}-2$。
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore -3＜-\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore 0＜3-\sqrt{7}＜1$，
$\therefore 3-\sqrt{7}$的整数部分$b=0$。
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=0$代入$a+b-\sqrt{7}$：
$a+b-\sqrt{7}=(\sqrt{7}-2)+0-\sqrt{7}=-2$。
综上，(1)的答案为$\sqrt{33}-5$；(2)的结果为$-2$。
(1)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \sqrt{33}$的整数部分为5，
$\therefore \sqrt{33}$的小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2)
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore 3＜\sqrt{7}+1＜4$，
$\therefore \sqrt{7}+1$的整数部分为3，
$\therefore$ 小数部分$a=\sqrt{7}+1-3=\sqrt{7}-2$。
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore -3＜-\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore 0＜3-\sqrt{7}＜1$，
$\therefore 3-\sqrt{7}$的整数部分$b=0$。
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=0$代入$a+b-\sqrt{7}$：
$a+b-\sqrt{7}=(\sqrt{7}-2)+0-\sqrt{7}=-2$。
综上，(1)的答案为$\sqrt{33}-5$；(2)的结果为$-2$。
解析
【分析】
解决这类求无理数整数、小数部分的问题，核心方法是先通过相邻整数的平方估算出无理数位于哪两个连续整数之间，确定其整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分。
第（1）问先找到和33相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{33}$的取值范围，即可求出它的小数部分；第（2）问先根据$\sqrt{7}$的范围，分别求出$\sqrt{7}+1$的小数部分$a$和$3-\sqrt{7}$的整数部分$b$，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \sqrt{33}$的整数部分为5，
$\therefore \sqrt{33}$的小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2)
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore 3＜\sqrt{7}+1＜4$，
$\therefore \sqrt{7}+1$的整数部分为3，
$\therefore$ 小数部分$a=\sqrt{7}+1-3=\sqrt{7}-2$。
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore -3＜-\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore 0＜3-\sqrt{7}＜1$，
$\therefore 3-\sqrt{7}$的整数部分$b=0$。
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=0$代入$a+b-\sqrt{7}$：
$a+b-\sqrt{7}=(\sqrt{7}-2)+0-\sqrt{7}=-2$。
【答案】
（1）$\sqrt{33}-5$；（2）$-2$
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题是无理数估算的典型常考题，解题关键是先确定无理数的取值范围，再推导得到含无理数的式子的整数部分和小数部分，掌握估算方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.75
解决这类求无理数整数、小数部分的问题，核心方法是先通过相邻整数的平方估算出无理数位于哪两个连续整数之间，确定其整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分。
第（1）问先找到和33相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{33}$的取值范围，即可求出它的小数部分；第（2）问先根据$\sqrt{7}$的范围，分别求出$\sqrt{7}+1$的小数部分$a$和$3-\sqrt{7}$的整数部分$b$，再代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{33}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{33}＜6$，
$\therefore \sqrt{33}$的整数部分为5，
$\therefore \sqrt{33}$的小数部分是$\sqrt{33}-5$。
(2)
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore 3＜\sqrt{7}+1＜4$，
$\therefore \sqrt{7}+1$的整数部分为3，
$\therefore$ 小数部分$a=\sqrt{7}+1-3=\sqrt{7}-2$。
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore -3＜-\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore 0＜3-\sqrt{7}＜1$，
$\therefore 3-\sqrt{7}$的整数部分$b=0$。
将$a=\sqrt{7}-2$，$b=0$代入$a+b-\sqrt{7}$：
$a+b-\sqrt{7}=(\sqrt{7}-2)+0-\sqrt{7}=-2$。
【答案】
（1）$\sqrt{33}-5$；（2）$-2$
【知识点】
无理数的估算，实数的整数与小数部分，代数式求值
【点评】
本题是无理数估算的典型常考题，解题关键是先确定无理数的取值范围，再推导得到含无理数的式子的整数部分和小数部分，掌握估算方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.75
