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25. 对于非负实数$a$，我们规定：用符号$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数，称$[\sqrt{a}]$为$a$的根整数，例如，$[\sqrt{16}]=4$，$[\sqrt{3}]=1$。
(1)计算：$[\sqrt{4}]=$，$[\sqrt{53}]=$；
(2)若$[\sqrt{x}]=3$，则满足条件的$x$的最小值是；
(3)如图，数轴上的点$A$，$B$表示的数分别为1和$\sqrt{2}$，$C$是数轴上一点，且$A$是$BC$的中点。设点$C$表示的数为$x$，求$[|x-1|+3\sqrt{2}+1]$。
(1)计算：$[\sqrt{4}]=$，$[\sqrt{53}]=$；
(2)若$[\sqrt{x}]=3$，则满足条件的$x$的最小值是；
(3)如图，数轴上的点$A$，$B$表示的数分别为1和$\sqrt{2}$，$C$是数轴上一点，且$A$是$BC$的中点。设点$C$表示的数为$x$，求$[|x-1|+3\sqrt{2}+1]$。
答案
解：
(1) 因为$\sqrt{4}=2$，所以$[\sqrt{4}]=2$；
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜53＜64$，所以$7＜\sqrt{53}＜8$，所以$[\sqrt{53}]=7$。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{7}$。
(2) 因为$[\sqrt{x}]=3$，所以$3≤\sqrt{x}＜4$，
两边同时平方得$9≤ x＜16$，
所以满足条件的$x$的最小值是$\boldsymbol{9}$。
(3) 因为A是BC的中点，点A、B表示的数分别为$1$和$\sqrt{2}$，点C表示的数为$x$，
所以$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$，
解得$x=2-\sqrt{2}$。
所以$|x-1|=|2-\sqrt{2}-1|=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
代入得：
$|x-1|+3\sqrt{2}+1=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}$。
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜4\sqrt{2}\approx5.656＜9$，
所以$2＜\sqrt{4\sqrt{2}}＜3$，
根据根整数的定义，不大于$\sqrt{4\sqrt{2}}$的最大整数为$2$，
所以$[\sqrt{|x-1|+3\sqrt{2}+1}]=2$。
(1) 因为$\sqrt{4}=2$，所以$[\sqrt{4}]=2$；
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜53＜64$，所以$7＜\sqrt{53}＜8$，所以$[\sqrt{53}]=7$。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{7}$。
(2) 因为$[\sqrt{x}]=3$，所以$3≤\sqrt{x}＜4$，
两边同时平方得$9≤ x＜16$，
所以满足条件的$x$的最小值是$\boldsymbol{9}$。
(3) 因为A是BC的中点，点A、B表示的数分别为$1$和$\sqrt{2}$，点C表示的数为$x$，
所以$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$，
解得$x=2-\sqrt{2}$。
所以$|x-1|=|2-\sqrt{2}-1|=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
代入得：
$|x-1|+3\sqrt{2}+1=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}$。
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜4\sqrt{2}\approx5.656＜9$，
所以$2＜\sqrt{4\sqrt{2}}＜3$，
根据根整数的定义，不大于$\sqrt{4\sqrt{2}}$的最大整数为$2$，
所以$[\sqrt{|x-1|+3\sqrt{2}+1}]=2$。
解析
【分析】
本题围绕新定义“根整数”展开，解题核心是准确理解$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数：
(1) 第一问直接根据定义计算：先算出$\sqrt{4}$的准确值，再找相邻平方数确定$\sqrt{53}$的范围，即可得到对应的根整数；
(2) 第二问根据根整数的定义转化为不等式：$[\sqrt{x}]=3$说明$\sqrt{x}$大于等于3且小于4，两边平方即可得到x的取值范围，进而找到最小值；
(3) 第三问先利用数轴中点的性质：中点对应的数是两端点对应数的平均数，先求出点C对应的x值，再代入式子计算出$|x-1|+3\sqrt{2}+1$的值，最后估算该值开平方后的范围，结合根整数的定义得到结果。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，所以$[\sqrt{4}]=2$；
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜53＜64$，所以$7＜\sqrt{53}＜8$，不大于$\sqrt{53}$的最大整数是7，所以$[\sqrt{53}]=7$。
(2) 由$[\sqrt{x}]=3$，根据根整数的定义可得：$3≤\sqrt{x}＜4$，
对不等式三边同时平方（均为非负数，不等号方向不变），得$9≤ x＜16$，
所以满足条件的x的最小值是9。
(3) 因为A是BC的中点，点A、B表示的数分别为1和$\sqrt{2}$，点C表示的数为x，
根据中点公式可得：$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$，
解得$x=2-\sqrt{2}$。
代入计算$|x-1|$：$|2-\sqrt{2}-1|=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（因为$\sqrt{2}＞1$，绝对值化简后为$\sqrt{2}-1$），
再代入式子得：$|x-1|+3\sqrt{2}+1=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}$。
估算$\sqrt{4\sqrt{2}}$的范围：$4\sqrt{2}\approx5.656$，因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5.656＜9$，所以$2＜\sqrt{4\sqrt{2}}＜3$，
根据根整数的定义，不大于$\sqrt{4\sqrt{2}}$的最大整数是2，因此结果为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
新定义运算，无理数估算，数轴中点计算
【点评】
本题结合新定义考察了根整数的理解、无理数范围估算以及数轴中点公式的应用，解题的关键是准确把握新定义的内涵，将新定义问题转化为常规的不等式和实数运算问题，侧重对知识迁移能力的考察。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义“根整数”展开，解题核心是准确理解$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数：
(1) 第一问直接根据定义计算：先算出$\sqrt{4}$的准确值，再找相邻平方数确定$\sqrt{53}$的范围，即可得到对应的根整数；
(2) 第二问根据根整数的定义转化为不等式：$[\sqrt{x}]=3$说明$\sqrt{x}$大于等于3且小于4，两边平方即可得到x的取值范围，进而找到最小值；
(3) 第三问先利用数轴中点的性质：中点对应的数是两端点对应数的平均数，先求出点C对应的x值，再代入式子计算出$|x-1|+3\sqrt{2}+1$的值，最后估算该值开平方后的范围，结合根整数的定义得到结果。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，所以$[\sqrt{4}]=2$；
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜53＜64$，所以$7＜\sqrt{53}＜8$，不大于$\sqrt{53}$的最大整数是7，所以$[\sqrt{53}]=7$。
(2) 由$[\sqrt{x}]=3$，根据根整数的定义可得：$3≤\sqrt{x}＜4$，
对不等式三边同时平方（均为非负数，不等号方向不变），得$9≤ x＜16$，
所以满足条件的x的最小值是9。
(3) 因为A是BC的中点，点A、B表示的数分别为1和$\sqrt{2}$，点C表示的数为x，
根据中点公式可得：$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$，
解得$x=2-\sqrt{2}$。
代入计算$|x-1|$：$|2-\sqrt{2}-1|=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（因为$\sqrt{2}＞1$，绝对值化简后为$\sqrt{2}-1$），
再代入式子得：$|x-1|+3\sqrt{2}+1=\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}$。
估算$\sqrt{4\sqrt{2}}$的范围：$4\sqrt{2}\approx5.656$，因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5.656＜9$，所以$2＜\sqrt{4\sqrt{2}}＜3$，
根据根整数的定义，不大于$\sqrt{4\sqrt{2}}$的最大整数是2，因此结果为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{7}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
新定义运算，无理数估算，数轴中点计算
【点评】
本题结合新定义考察了根整数的理解、无理数范围估算以及数轴中点公式的应用，解题的关键是准确把握新定义的内涵，将新定义问题转化为常规的不等式和实数运算问题，侧重对知识迁移能力的考察。
【难度系数】
0.7
