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15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C＞∠ B$，$AD⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$.
(1)若$∠ B=30°$，$∠ C=64°$，则$∠ DAE=$
(2)计算：若$∠ C-∠ B=50°$，求$∠ DAE$的度数；
(3)猜想：$∠ DAE$、$∠ B$、$∠ C$的关系是
(1)若$∠ B=30°$，$∠ C=64°$，则$∠ DAE=$
$17°$
；(2)计算：若$∠ C-∠ B=50°$，求$∠ DAE$的度数；
(3)猜想：$∠ DAE$、$∠ B$、$∠ C$的关系是
$∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$
.答案
15.(1)$17°$ (2)$∠DAE=25°$
(3)$∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$
(3)$∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是结合三角形内角和、角平分线性质、直角三角形的锐角特征逐步推导角度：首先利用三角形内角和求出∠BAC，再由角平分线得到∠BAE的度数，接着根据AD⊥BC求出Rt△ABD中∠BAD的度数，最后通过角度差计算∠DAE；对于无具体角度的问题，用代数式表示各角后化简即可得到通用关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 64° = 86°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×86° = 43°
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中：
∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°
∴∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 60° - 43° = 17°
(2) 推导如下：
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中：
∠BAD = 90° - ∠B
∴∠DAE = ∠BAD - ∠BAE
= (90° - ∠B) - (90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C)
= $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)
当∠C - ∠B = 50°时，∠DAE = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
(3) 由(2)的推导过程，可直接得出三者关系：∠DAE = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)
【答案】
(1) $17°$；(2) $∠DAE=25°$；(3) $∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的经典题型，通过从特殊值到一般关系的推导，能帮助大家掌握角度关系推导的通用方法，记住推导得出的通用公式可快速求解同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路是结合三角形内角和、角平分线性质、直角三角形的锐角特征逐步推导角度：首先利用三角形内角和求出∠BAC，再由角平分线得到∠BAE的度数，接着根据AD⊥BC求出Rt△ABD中∠BAD的度数，最后通过角度差计算∠DAE；对于无具体角度的问题，用代数式表示各角后化简即可得到通用关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 64° = 86°
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×86° = 43°
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中：
∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°
∴∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 60° - 43° = 17°
(2) 推导如下：
在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中：
∠BAD = 90° - ∠B
∴∠DAE = ∠BAD - ∠BAE
= (90° - ∠B) - (90° - $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠C)
= $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)
当∠C - ∠B = 50°时，∠DAE = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
(3) 由(2)的推导过程，可直接得出三者关系：∠DAE = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)
【答案】
(1) $17°$；(2) $∠DAE=25°$；(3) $∠DAE=\frac{1}{2}(∠C-∠B)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的经典题型，通过从特殊值到一般关系的推导，能帮助大家掌握角度关系推导的通用方法，记住推导得出的通用公式可快速求解同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.6
16. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=36°$，$∠ ACB=110°$，$AE$是$∠ BAC$的平分线.
(1)求$∠ AEC$的度数；
(2)过$△ ABC$的顶点$A$作$BC$边上的高$AD$. 求$∠ DAE$的度数.
(1)求$∠ AEC$的度数；
(2)过$△ ABC$的顶点$A$作$BC$边上的高$AD$. 求$∠ DAE$的度数.
答案
16.(1)$∠AEC=53°$ (2)$∠DAE=37°$
解析
【分析】
(1) 求∠AEC的度数时，首先利用三角形内角和为180°，先计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠BAE的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEC是△ABE的外角，代入数值即可求解。
(2) 求∠DAE的度数时，首先根据高的定义得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再用∠BAD减去第一问得到的∠BAE的度数，即可求出∠DAE。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-36°-110°=34°$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×34°=17°$
$\because ∠ AEC$是$△ ABE$的外角
$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=36°+17°=53°$
(2) $\because AD$是$BC$边上的高
$\therefore ∠ ADB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD+∠ B=90°$
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=90°-36°=54°$
由(1)可知$∠ BAE=17°$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=54°-17°=37°$
【答案】
(1)$∠ AEC=53°$；(2)$∠ DAE=37°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练运用三角形相关的角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠AEC的度数时，首先利用三角形内角和为180°，先计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠BAE的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEC是△ABE的外角，代入数值即可求解。
(2) 求∠DAE的度数时，首先根据高的定义得到∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再用∠BAD减去第一问得到的∠BAE的度数，即可求出∠DAE。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-36°-110°=34°$
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×34°=17°$
$\because ∠ AEC$是$△ ABE$的外角
$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=36°+17°=53°$
(2) $\because AD$是$BC$边上的高
$\therefore ∠ ADB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD+∠ B=90°$
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=90°-36°=54°$
由(1)可知$∠ BAE=17°$
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=54°-17°=37°$
【答案】
(1)$∠ AEC=53°$；(2)$∠ DAE=37°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练运用三角形相关的角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
