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三、解答题
11. 已知三角形的三边长分别为4，$a-3$，5，求$a$的取值范围.
11. 已知三角形的三边长分别为4，$a-3$，5，求$a$的取值范围.
答案
11.$4＜a＜12$
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的性质：三角形任意一边的长度大于其余两边的长度之差，小于其余两边的长度之和。题中已知三角形的另外两条边长为4和5，因此可直接列出关于边长$a-3$的不等式，再解不等式即可得到$a$的取值范围，无需额外验证其他三边关系，因为只要第三边满足上述范围，其余两边之和必然大于第三边。
【解析】
解：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$5 - 4 ＜ a - 3 ＜ 5 + 4$
化简不等式得：
$1 ＜ a - 3 ＜ 9$
不等式三边同时加3，得：
$1 + 3 ＜ a ＜ 9 + 3$
即$4 ＜ a ＜ 12$
【答案】
4＜a＜12
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对三角形三边关系的掌握，解题的关键是根据三边性质正确列出不等式，计算过程较为简单，只要牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的性质：三角形任意一边的长度大于其余两边的长度之差，小于其余两边的长度之和。题中已知三角形的另外两条边长为4和5，因此可直接列出关于边长$a-3$的不等式，再解不等式即可得到$a$的取值范围，无需额外验证其他三边关系，因为只要第三边满足上述范围，其余两边之和必然大于第三边。
【解析】
解：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得：
$5 - 4 ＜ a - 3 ＜ 5 + 4$
化简不等式得：
$1 ＜ a - 3 ＜ 9$
不等式三边同时加3，得：
$1 + 3 ＜ a ＜ 9 + 3$
即$4 ＜ a ＜ 12$
【答案】
4＜a＜12
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对三角形三边关系的掌握，解题的关键是根据三边性质正确列出不等式，计算过程较为简单，只要牢记相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
12. 如图，分别过△ABC的顶点A、B作AD//BE，且AD平分∠BAC。若∠BAC=70°，∠EBC=80°，求∠ABC的度数。
（第12题）
（第12题）答案
12.$∠ABC=45°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据AD是∠BAC的角平分线，可先求出∠BAD的度数；再结合AD//BE的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到∠EBA和∠BAD的等量关系，算出∠EBA的度数；最后观察图形可知∠EBC由∠EBA和∠ABC组成，用∠EBC的度数减去∠EBA的度数即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=70°
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×70°=35°$
∵AD//BE，AB为两条平行线的截线
∴$∠ EBA = ∠ BAD=35°$（两直线平行，内错角相等）
又
∵$∠ EBC = ∠ EBA + ∠ ABC=80°$
∴$∠ ABC = ∠ EBC - ∠ EBA=80°-35°=45°$
【答案】
$∠ ABC=45°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，结合图形找准角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据AD是∠BAC的角平分线，可先求出∠BAD的度数；再结合AD//BE的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到∠EBA和∠BAD的等量关系，算出∠EBA的度数；最后观察图形可知∠EBC由∠EBA和∠ABC组成，用∠EBC的度数减去∠EBA的度数即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=70°
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×70°=35°$
∵AD//BE，AB为两条平行线的截线
∴$∠ EBA = ∠ BAD=35°$（两直线平行，内错角相等）
又
∵$∠ EBC = ∠ EBA + ∠ ABC=80°$
∴$∠ ABC = ∠ EBC - ∠ EBA=80°-35°=45°$
【答案】
$∠ ABC=45°$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，结合图形找准角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD$、$AF$分别是$△ ABC$的中线和高，$BE$是$△ ABD$的角平分线.
(1)若$AB=6$，$AC=4$，则$△ ABD$与$△ ACD$的周长差为________；
(2)若$∠ BED=40°$，$∠ BAD=26°$，求$∠ DAF$的大小.
(1)若$AB=6$，$AC=4$，则$△ ABD$与$△ ACD$的周长差为________；
(2)若$∠ BED=40°$，$∠ BAD=26°$，求$∠ DAF$的大小.
答案
13.(1)2 (2)$∠DAF=36°$
解析
【分析】
(1) 求两个三角形的周长差时，先利用中线的性质得到BD=CD，观察两个三角形的周长组成，抵消公共边和相等的边后，周长差就等于AB与AC的差，代入数值即可计算。
(2) 求∠DAF的大小时，首先利用三角形外角的性质算出∠ABE的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABC的度数，之后根据高的性质在直角三角形中求出∠BAF的度数，最后用∠BAF减去∠BAD即可得到结果。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
则两三角形周长差为：
$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2$。
(2)
∵∠BED是△ABE的外角，
∴$∠BED=∠ABE+∠BAD$，
代入$∠BED=40°$，$∠BAD=26°$，得：
$∠ABE=40°-26°=14°$。
∵BE是△ABD的角平分线，
∴$∠ABD=2∠ABE=2×14°=28°$。
∵AF是△ABC的高，
∴$∠AFB=90°$，
在Rt△ABF中，$∠BAF=90°-∠ABD=90°-28°=62°$，
∴$∠DAF=∠BAF-∠BAD=62°-26°=36°$。
【答案】
(1)2；(2)$∠DAF=36°$
【知识点】
三角形中线性质，三角形外角性质，角平分线定义
【点评】
本题属于三角形基础应用题，核心是结合图形梳理边角的数量关系，灵活运用各类基本性质转化所求量，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求两个三角形的周长差时，先利用中线的性质得到BD=CD，观察两个三角形的周长组成，抵消公共边和相等的边后，周长差就等于AB与AC的差，代入数值即可计算。
(2) 求∠DAF的大小时，首先利用三角形外角的性质算出∠ABE的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABC的度数，之后根据高的性质在直角三角形中求出∠BAF的度数，最后用∠BAF减去∠BAD即可得到结果。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，△ACD的周长为$AC+CD+AD$，
则两三角形周长差为：
$(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2$。
(2)
∵∠BED是△ABE的外角，
∴$∠BED=∠ABE+∠BAD$，
代入$∠BED=40°$，$∠BAD=26°$，得：
$∠ABE=40°-26°=14°$。
∵BE是△ABD的角平分线，
∴$∠ABD=2∠ABE=2×14°=28°$。
∵AF是△ABC的高，
∴$∠AFB=90°$，
在Rt△ABF中，$∠BAF=90°-∠ABD=90°-28°=62°$，
∴$∠DAF=∠BAF-∠BAD=62°-26°=36°$。
【答案】
(1)2；(2)$∠DAF=36°$
【知识点】
三角形中线性质，三角形外角性质，角平分线定义
【点评】
本题属于三角形基础应用题，核心是结合图形梳理边角的数量关系，灵活运用各类基本性质转化所求量，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$△ ABC$内部有一点$F$，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$边上的点，$AB// EF$，$∠ A=∠ F$.
(1)判断$AC$与$DF$是否平行，并说明理由；
(2)若$EF$平分$∠ CED$，$∠ BDF=2∠ EDF$，求$∠ A$的度数.
(1)判断$AC$与$DF$是否平行，并说明理由；
(2)若$EF$平分$∠ CED$，$∠ BDF=2∠ EDF$，求$∠ A$的度数.
答案
14.(1)$AC// DF$，理由略。
(2)$∠A=72°$
(2)$∠A=72°$
解析
【分析】
(1) 判断AC与DF是否平行，可通过角的关系推导：首先利用AB//EF的性质得到对应角相等，结合已知∠A=∠F进行等量代换，得到可判定两直线平行的角的关系即可证明。
(2) 求解∠A的度数时，先设∠EDF为未知数，结合∠BDF=2∠EDF表示出∠BDF，再根据AC//DF的性质得到∠A和∠BDF的数量关系，结合角平分线性质、平行线的性质推导各角之间的关系，最后利用平角为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) $AC// DF$，理由如下：
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠ A=∠ CEF$，
又$\because ∠ A=∠ F$，
$\therefore ∠ CEF=∠ F$，
根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore AC// DF$。
(2) 设$∠ EDF=x$，则$∠ BDF=2∠ EDF=2x$，
$\because AC// DF$，根据两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠ A=∠ BDF=2x$，
$\because EF$平分$∠ CED$，$\therefore ∠ CEF=∠ DEF$，
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同位角相等可得$∠ A=∠ CEF$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ ADE=∠ DEF$，
$\therefore ∠ A=∠ DEF=∠ ADE=2x$，
$\because$点D在AB上，$∠ BDF+∠ EDF+∠ ADE=180°$，
代入得：$2x+x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ A=2x=72°$。
【答案】
(1) $AC// DF$，理由见解析；
(2) $∠ A=72°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，解题核心是灵活运用平行线的判定和性质完成角的等量代换，第二问利用方程思想求解角度是几何题中常用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 判断AC与DF是否平行，可通过角的关系推导：首先利用AB//EF的性质得到对应角相等，结合已知∠A=∠F进行等量代换，得到可判定两直线平行的角的关系即可证明。
(2) 求解∠A的度数时，先设∠EDF为未知数，结合∠BDF=2∠EDF表示出∠BDF，再根据AC//DF的性质得到∠A和∠BDF的数量关系，结合角平分线性质、平行线的性质推导各角之间的关系，最后利用平角为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) $AC// DF$，理由如下：
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠ A=∠ CEF$，
又$\because ∠ A=∠ F$，
$\therefore ∠ CEF=∠ F$，
根据内错角相等，两直线平行，
$\therefore AC// DF$。
(2) 设$∠ EDF=x$，则$∠ BDF=2∠ EDF=2x$，
$\because AC// DF$，根据两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠ A=∠ BDF=2x$，
$\because EF$平分$∠ CED$，$\therefore ∠ CEF=∠ DEF$，
$\because AB// EF$，根据两直线平行，同位角相等可得$∠ A=∠ CEF$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ ADE=∠ DEF$，
$\therefore ∠ A=∠ DEF=∠ ADE=2x$，
$\because$点D在AB上，$∠ BDF+∠ EDF+∠ ADE=180°$，
代入得：$2x+x+2x=180°$，
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ A=2x=72°$。
【答案】
(1) $AC// DF$，理由见解析；
(2) $∠ A=72°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，解题核心是灵活运用平行线的判定和性质完成角的等量代换，第二问利用方程思想求解角度是几何题中常用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
