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17. 已知$△ ABC$，$∠ A＝60°$.
(1)如图①，$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线交于点$O$，则$∠ BOC＝$
(2)如图②，$∠ ABC$、$∠ ACB$的三等分线分别对应交于$O_1$、$O_2$，则$∠ BO_2C＝$
(3)如图③，$∠ ABC$、$∠ ACB$的$n$等分线分别对应交于$O_1$、$O_2$、…、$O_{n-1}$(内部有$n-1$个点)，求$∠ BO_{n-1}C$(用含$n$的代数式表示).
(4)如图③，$∠ ABC$和$∠ ACB$的$n$等分线分别对应交于点$O_1$，$O_2$、…、$O_{n-1}$，若$∠ BO_{n-1}C＝90°$，求$n$的值.
(1)如图①，$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线交于点$O$，则$∠ BOC＝$
$120°$
.(2)如图②，$∠ ABC$、$∠ ACB$的三等分线分别对应交于$O_1$、$O_2$，则$∠ BO_2C＝$
$100°$
.(3)如图③，$∠ ABC$、$∠ ACB$的$n$等分线分别对应交于$O_1$、$O_2$、…、$O_{n-1}$(内部有$n-1$个点)，求$∠ BO_{n-1}C$(用含$n$的代数式表示).
(4)如图③，$∠ ABC$和$∠ ACB$的$n$等分线分别对应交于点$O_1$，$O_2$、…、$O_{n-1}$，若$∠ BO_{n-1}C＝90°$，求$n$的值.
答案
17.(1)$120°$ (2)$100°$
(3)
∵ 点$O_{n-1}$是$∠ABC$与$∠ACB$的$n$等分线的交点，
∴ $∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}(∠ABC+∠ACB)=\frac{n-1}{n}×120°$,
∴ $∠BO_{n-1}C = 180° - \frac{n-1}{n}×120° = (1+\frac{2}{n})×60°$.
(4)由(3)得$(1+\frac{2}{n})×60°=90°$,
解得$n=4$.
(3)
∵ 点$O_{n-1}$是$∠ABC$与$∠ACB$的$n$等分线的交点，
∴ $∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}(∠ABC+∠ACB)=\frac{n-1}{n}×120°$,
∴ $∠BO_{n-1}C = 180° - \frac{n-1}{n}×120° = (1+\frac{2}{n})×60°$.
(4)由(3)得$(1+\frac{2}{n})×60°=90°$,
解得$n=4$.
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形内角和为180°，首先由已知∠A=60°，可先算出∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，这是所有小问的计算基础：
1. 第(1)问中，角平分线将∠ABC、∠ACB各分为相等的2份，因此∠OBC+∠OCB是∠ABC与∠ACB和的$\frac{1}{2}$，再用180°减去这个和即可得到∠BOC的度数。
2. 第(2)问中，三等分线将∠ABC、∠ACB各分为相等的3份，交点O₂对应的∠O₂BC+∠O₂CB是两个角和的$\frac{2}{3}$，同理用内角和减去该和计算∠BO₂C。
3. 第(3)问推广到n等分的一般情况，交点$O_{n-1}$对应的$∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB$是∠ABC与∠ACB和的$\frac{n-1}{n}$，代入计算后化简即可得到通用表达式。
4. 第(4)问将$∠BO_{n-1}C=90°$代入第(3)问得到的表达式，解一元一次方程即可求出n的值。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。
(1)
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°。
(2)
∵BO₂、CO₂分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，
∴∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{2}{3}$×120°=80°，
∴∠BO₂C=180°-(∠O₂BC+∠O₂CB)=180°-80°=100°。
(3)
∵点$O_{n-1}$是$∠ABC$与$∠ACB$的$n$等分线的交点，
∴ $∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}(∠ABC+∠ACB)=\frac{n-1}{n}×120°$,
∴ $∠BO_{n-1}C = 180° - \frac{n-1}{n}×120° = (1+\frac{2}{n})×60°$。
(4)将$∠BO_{n-1}C＝90°$代入(3)的结论得：
$(1+\frac{2}{n})×60°=90°$,
解得$n=4$。
【答案】
(1)$120°$；(2)$100°$；(3)$∠BO_{n-1}C=(1+\frac{2}{n})×60°$；(4)$n=4$
【知识点】
三角形内角和定理；角等分线的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题从特殊的角二等分、三等分到一般的n等分，结合三角形内角和定理考查规律探究能力，同时运用方程思想求解参数，能够很好地锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形内角和为180°，首先由已知∠A=60°，可先算出∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，这是所有小问的计算基础：
1. 第(1)问中，角平分线将∠ABC、∠ACB各分为相等的2份，因此∠OBC+∠OCB是∠ABC与∠ACB和的$\frac{1}{2}$，再用180°减去这个和即可得到∠BOC的度数。
2. 第(2)问中，三等分线将∠ABC、∠ACB各分为相等的3份，交点O₂对应的∠O₂BC+∠O₂CB是两个角和的$\frac{2}{3}$，同理用内角和减去该和计算∠BO₂C。
3. 第(3)问推广到n等分的一般情况，交点$O_{n-1}$对应的$∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB$是∠ABC与∠ACB和的$\frac{n-1}{n}$，代入计算后化简即可得到通用表达式。
4. 第(4)问将$∠BO_{n-1}C=90°$代入第(3)问得到的表达式，解一元一次方程即可求出n的值。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。
(1)
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°。
(2)
∵BO₂、CO₂分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，
∴∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{2}{3}$×120°=80°，
∴∠BO₂C=180°-(∠O₂BC+∠O₂CB)=180°-80°=100°。
(3)
∵点$O_{n-1}$是$∠ABC$与$∠ACB$的$n$等分线的交点，
∴ $∠O_{n-1}BC+∠O_{n-1}CB=\frac{n-1}{n}(∠ABC+∠ACB)=\frac{n-1}{n}×120°$,
∴ $∠BO_{n-1}C = 180° - \frac{n-1}{n}×120° = (1+\frac{2}{n})×60°$。
(4)将$∠BO_{n-1}C＝90°$代入(3)的结论得：
$(1+\frac{2}{n})×60°=90°$,
解得$n=4$。
【答案】
(1)$120°$；(2)$100°$；(3)$∠BO_{n-1}C=(1+\frac{2}{n})×60°$；(4)$n=4$
【知识点】
三角形内角和定理；角等分线的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题从特殊的角二等分、三等分到一般的n等分，结合三角形内角和定理考查规律探究能力，同时运用方程思想求解参数，能够很好地锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
