登录
12. 如图所示,在$△ ABC$中,$AB=8\sqrt{2},BC=14,∠ B=45°,D$是线段$BC$上的动点(不含端点$B,C$).若线段$AD$的长为正整数,则点$D$共有 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
12.C
解析
【分析】
要确定AD为正整数时点D的个数，首先需要明确AD的取值范围：根据垂线段最短，先求A到BC的垂线段长度，得到AD的最小值；再结合D在BC上（不含端点），分别求出AD向B、向C移动的最大取值，再对范围内的正整数逐个分析对应点的个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点A作$AH ⊥ BC$于点H：
1. 求AD的最小值：
$\because ∠ B=45°$，$∠ AHB=90°$，$\therefore △ ABH$是等腰直角三角形。
$\because AB=8\sqrt{2}$，$\therefore AH=BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8$，即AD的最小值为8。
2. 求AC长度：
$\because BC=14$，$\therefore HC=BC-BH=14-8=6$。
在$Rt△ AHC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
3. 分析AD取值范围及对应点个数：
$\because$ D是BC上的动点（不含端点B、C）：
D在BH段时，$8≤ AD＜AB=8\sqrt{2}\approx11.31$；
D在HC段时，$8≤ AD＜AC=10$。
AD为正整数，可取8、9、10、11：
① $AD=8$：仅垂点H符合，共1个点；
② $AD=9$：BH段、HC段各有1个符合条件的点，共2个点；
③ $AD=10$：仅BH段有1个符合条件的点（HC段对应点为C，不符合要求），共1个点；
④ $AD=11$：仅BH段有1个符合条件的点（HC段最大AD为10，达不到11），共1个点。
总个数：$1+2+1+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略D不含端点B、C的限制，容易多算C点对应的AD=10的情况，解题时要先明确取值边界，再分类计数。
【难度系数】
0.6
要确定AD为正整数时点D的个数，首先需要明确AD的取值范围：根据垂线段最短，先求A到BC的垂线段长度，得到AD的最小值；再结合D在BC上（不含端点），分别求出AD向B、向C移动的最大取值，再对范围内的正整数逐个分析对应点的个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点A作$AH ⊥ BC$于点H：
1. 求AD的最小值：
$\because ∠ B=45°$，$∠ AHB=90°$，$\therefore △ ABH$是等腰直角三角形。
$\because AB=8\sqrt{2}$，$\therefore AH=BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8$，即AD的最小值为8。
2. 求AC长度：
$\because BC=14$，$\therefore HC=BC-BH=14-8=6$。
在$Rt△ AHC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
3. 分析AD取值范围及对应点个数：
$\because$ D是BC上的动点（不含端点B、C）：
D在BH段时，$8≤ AD＜AB=8\sqrt{2}\approx11.31$；
D在HC段时，$8≤ AD＜AC=10$。
AD为正整数，可取8、9、10、11：
① $AD=8$：仅垂点H符合，共1个点；
② $AD=9$：BH段、HC段各有1个符合条件的点，共2个点；
③ $AD=10$：仅BH段有1个符合条件的点（HC段对应点为C，不符合要求），共1个点；
④ $AD=11$：仅BH段有1个符合条件的点（HC段最大AD为10，达不到11），共1个点。
总个数：$1+2+1+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是忽略D不含端点B、C的限制，容易多算C点对应的AD=10的情况，解题时要先明确取值边界，再分类计数。
【难度系数】
0.6
13.如图所示,在底面周长约为6 m的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为（
A.20 m
B.25 m
C.30 m
D.15 m
A
）A.20 m
B.25 m
C.30 m
D.15 m
答案
13.A
解析
【分析】
要计算石柱表面盘绕的巨龙最短长度，属于圆柱表面最短路径问题，解题思路是将立体的圆柱侧面展开为平面的长方形，把曲线路径转化为平面内的线段，利用勾股定理计算。首先明确：龙盘绕2圈，展开后对应的水平总长度为2倍的底面周长，竖直方向长度就是柱身的高度，最短路径就是以这两个长度为直角边的直角三角形的斜边长。
【解析】
将石柱侧面沿竖直方向展开，因雕龙盘绕2圈，展开后水平方向的总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，竖直方向的长度为柱身高度$16\ \mathrm{m}$。
根据“两点之间线段最短”，巨龙的最短长度为该直角三角形的斜边长，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{12^2 + 16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题通过将立体图形转化为平面图形求解最短路径，核心是准确找到展开后直角三角形的两条直角边长度，解题的易错点是容易误将1倍底面周长作为水平边长计算，掌握曲面转平面的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算石柱表面盘绕的巨龙最短长度，属于圆柱表面最短路径问题，解题思路是将立体的圆柱侧面展开为平面的长方形，把曲线路径转化为平面内的线段，利用勾股定理计算。首先明确：龙盘绕2圈，展开后对应的水平总长度为2倍的底面周长，竖直方向长度就是柱身的高度，最短路径就是以这两个长度为直角边的直角三角形的斜边长。
【解析】
将石柱侧面沿竖直方向展开，因雕龙盘绕2圈，展开后水平方向的总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，竖直方向的长度为柱身高度$16\ \mathrm{m}$。
根据“两点之间线段最短”，巨龙的最短长度为该直角三角形的斜边长，由勾股定理可得：
$l=\sqrt{12^2 + 16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径计算
【点评】
本题通过将立体图形转化为平面图形求解最短路径，核心是准确找到展开后直角三角形的两条直角边长度，解题的易错点是容易误将1倍底面周长作为水平边长计算，掌握曲面转平面的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=22.5°,BC=1$,求$AC$的长.可在$AC$上取点$D$,使$CD=CB$,连接$BD$,将$△ ABC$分割成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形,从而求得$AC$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
14.$\sqrt{2} + 1$
解析
【分析】
解题时先按照题目给出的辅助线构造思路分析：因为$CD=CB$且$∠ C=90°$，可知构造出的$△ BCD$是等腰直角三角形，先求出$BD$的长度和$∠ BDC$的度数；再利用三角形外角的性质，推出$∠ ABD=∠ A$，得到$AD=BD$，最后将$AC$拆分为$AD+DC$两段求和，即可求出$AC$的长度。
【解析】
在$AC$上取点$D$，使$CD=CB=1$，连接$BD$。
$\because ∠ C=90°$，$CD=CB$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$∠ BDC=45°$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD$，
已知$∠ A=22.5°$，代入得：
$∠ ABD=∠ BDC-∠ A=45°-22.5°=22.5°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ A$，
$\therefore AD=BD=\sqrt{2}$（等角对等边）。
$\therefore AC=AD+DC=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定
【点评】
本题通过构造辅助线，将含22.5°特殊角的直角三角形转化为等腰直角三角形和普通等腰三角形，结合几何基本性质求解线段长度，考查了学生对几何基础定理的运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
解题时先按照题目给出的辅助线构造思路分析：因为$CD=CB$且$∠ C=90°$，可知构造出的$△ BCD$是等腰直角三角形，先求出$BD$的长度和$∠ BDC$的度数；再利用三角形外角的性质，推出$∠ ABD=∠ A$，得到$AD=BD$，最后将$AC$拆分为$AD+DC$两段求和，即可求出$AC$的长度。
【解析】
在$AC$上取点$D$，使$CD=CB=1$，连接$BD$。
$\because ∠ C=90°$，$CD=CB$，
$\therefore △ BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$∠ BDC=45°$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD$，
已知$∠ A=22.5°$，代入得：
$∠ ABD=∠ BDC-∠ A=45°-22.5°=22.5°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ A$，
$\therefore AD=BD=\sqrt{2}$（等角对等边）。
$\therefore AC=AD+DC=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定
【点评】
本题通过构造辅助线，将含22.5°特殊角的直角三角形转化为等腰直角三角形和普通等腰三角形，结合几何基本性质求解线段长度，考查了学生对几何基础定理的运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
15.如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$BC=10$,$AB=6$,动点$P$从点$C$出发,以每秒1个单位长度的速度向点$B$运动,到达点$B$后停止.
(1)$AC=$
(2)设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当$△ ABP$是以$AB$为腰的等腰三角形时,$t$的值为
(1)$AC=$
8
;(2)设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当$△ ABP$是以$AB$为腰的等腰三角形时,$t$的值为
4或2.8
.答案
15.(1)8 (2)4或2.8
解析
【分析】
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠A为直角，已知斜边BC和直角边AB的长度，直接运用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。
(2) △ABP是以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①AB=BP；②AB=AP。分别计算两种情况对应的BP长度，再结合点P的运动规律，CP=t，BP=10-t，即可求出t的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠A=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + AB^2 = BC^2$
代入$BC=10$，$AB=6$得：
$AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
∵$AC＞0$，
∴$AC=8$。
(2) 动点P从点C向点B运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$CP=t$，$BP=BC - CP=10 - t$（$0≤t≤10$）。
△ABP以AB为腰的等腰三角形，分两种情况：
情况1：$AB=BP$
∵$AB=6$，
∴$BP=6$，即$10 - t = 6$，解得$t=4$。
情况2：$AB=AP$
过点A作$AD⊥BC$于点D。
先计算$△ABC$的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×6×8=24$
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入$BC=10$得：
$24=\frac{1}{2}×10×AD$，解得$AD=4.8$。
在$Rt△ABD$中，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2 - AD^2=6^2 - 4.8^2=36 - 23.04=12.96$，
∴$BD=3.6$。
∵$AB=AP$，$AD⊥BP$，根据等腰三角形三线合一性质，D是BP中点，
∴$BP=2BD=2×3.6=7.2$。
即$10 - t=7.2$，解得$t=10 - 7.2=2.8$。
综上，$t$的值为4或2.8。
【答案】
(1)8；(2)4或2.8
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查直角三角形和等腰三角形的相关性质，解题关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，避免漏解，结合运动规律计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠A为直角，已知斜边BC和直角边AB的长度，直接运用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。
(2) △ABP是以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①AB=BP；②AB=AP。分别计算两种情况对应的BP长度，再结合点P的运动规律，CP=t，BP=10-t，即可求出t的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠A=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + AB^2 = BC^2$
代入$BC=10$，$AB=6$得：
$AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
∵$AC＞0$，
∴$AC=8$。
(2) 动点P从点C向点B运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$CP=t$，$BP=BC - CP=10 - t$（$0≤t≤10$）。
△ABP以AB为腰的等腰三角形，分两种情况：
情况1：$AB=BP$
∵$AB=6$，
∴$BP=6$，即$10 - t = 6$，解得$t=4$。
情况2：$AB=AP$
过点A作$AD⊥BC$于点D。
先计算$△ABC$的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×6×8=24$
又
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，代入$BC=10$得：
$24=\frac{1}{2}×10×AD$，解得$AD=4.8$。
在$Rt△ABD$中，根据勾股定理：
$BD^2=AB^2 - AD^2=6^2 - 4.8^2=36 - 23.04=12.96$，
∴$BD=3.6$。
∵$AB=AP$，$AD⊥BP$，根据等腰三角形三线合一性质，D是BP中点，
∴$BP=2BD=2×3.6=7.2$。
即$10 - t=7.2$，解得$t=10 - 7.2=2.8$。
综上，$t$的值为4或2.8。
【答案】
(1)8；(2)4或2.8
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查直角三角形和等腰三角形的相关性质，解题关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，避免漏解，结合运动规律计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.6
16. 小明同学在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下表格.
| 课题 | 在放风筝时测量风筝距离地面的高度AD |
| --- | --- |
| 模型抽象 |
|
| 测绘数据 | ①测得水平距离ED的长为15 m
②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线AB的长为17 m
③测得牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6 m |
| 说明 | 点A,B,E,D在同一平面内 |
请根据表格信息,解答下列问题:
(1)求线段AD的长;
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12 m,则在ED长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米线?
| 课题 | 在放风筝时测量风筝距离地面的高度AD |
| --- | --- |
| 模型抽象 |
|| 测绘数据 | ①测得水平距离ED的长为15 m
②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线AB的长为17 m
③测得牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6 m |
| 说明 | 点A,B,E,D在同一平面内 |
请根据表格信息,解答下列问题:
(1)求线段AD的长;
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12 m,则在ED长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米线?
答案
(1)如图所示,过点$B$作$BC⊥AD$于点$C$，
则$BC=ED=15\ \mathrm{m}$,$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=8(\mathrm{m})$，
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m})$.
答:线段$AD$的长为$9.6\ \mathrm{m}$.
(2)如图所示,设风筝沿$DA$方向再上升$12\ \mathrm{m}$后到达点$F$处,连接$BF$，
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m})$,$\therefore BF=\sqrt{CF^2 + BC^2}=\sqrt{20^2 + 15^2}=25(\mathrm{m})$.
$\because$ 原来的风筝线的长为$17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m})$.
答:小明同学应该再放出$8\ \mathrm{m}$线。
解析
【分析】
(1)求AD的长度时，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：过点B作BC⊥AD于点C，此时四边形BCDE为矩形，可得BC=ED=15m，CD=BE=1.6m。已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理可求出AC的长度，AD的长度即为AC与CD的长度和。
(2)风筝沿DA上升12m后到达F点，此时竖直方向的直角边CF为AC长度加12m，水平边BC长度不变，再次用勾股定理求出新风筝线BF的长度，用BF减去原风筝线AB的长度，即可得到需要再放出的线长。
【解析】
(1)过点$B$作$BC⊥AD$于点$C$，
则$BC=ED=15\ \mathrm{m}$,$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=8(\mathrm{m})$，
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m})$.
(2)设风筝沿$DA$方向再上升$12\ \mathrm{m}$后到达点$F$处,连接$BF$，
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m})$,$\therefore BF=\sqrt{CF^2 + BC^2}=\sqrt{20^2 + 15^2}=25(\mathrm{m})$.
$\because$ 原来的风筝线的长为$17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m})$.
【答案】
(1)线段$AD$的长为$9.6\ \mathrm{m}$；
(2)小明同学应该再放出$8\ \mathrm{m}$线。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；实际问题建模
【点评】
本题以放风筝的生活场景为载体，考查了勾股定理在实际测量问题中的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的数据转化为直角三角形的边长计算，贴近生活实际，能有效锻炼学生的数学应用能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
(1)求AD的长度时，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：过点B作BC⊥AD于点C，此时四边形BCDE为矩形，可得BC=ED=15m，CD=BE=1.6m。已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC的长度，利用勾股定理可求出AC的长度，AD的长度即为AC与CD的长度和。
(2)风筝沿DA上升12m后到达F点，此时竖直方向的直角边CF为AC长度加12m，水平边BC长度不变，再次用勾股定理求出新风筝线BF的长度，用BF减去原风筝线AB的长度，即可得到需要再放出的线长。
【解析】
(1)过点$B$作$BC⊥AD$于点$C$，
则$BC=ED=15\ \mathrm{m}$,$CD=BE=1.6\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=8(\mathrm{m})$，
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m})$.
(2)设风筝沿$DA$方向再上升$12\ \mathrm{m}$后到达点$F$处,连接$BF$，
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m})$,$\therefore BF=\sqrt{CF^2 + BC^2}=\sqrt{20^2 + 15^2}=25(\mathrm{m})$.
$\because$ 原来的风筝线的长为$17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m})$.
【答案】
(1)线段$AD$的长为$9.6\ \mathrm{m}$；
(2)小明同学应该再放出$8\ \mathrm{m}$线。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；实际问题建模
【点评】
本题以放风筝的生活场景为载体，考查了勾股定理在实际测量问题中的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的数据转化为直角三角形的边长计算，贴近生活实际，能有效锻炼学生的数学应用能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
