17.定义:如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长,那么这个三角形叫“恰等三角形”,这条中线叫“恰等中线”.
【直角三角形中的“恰等中线”】
(1)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=√12,BC=4,AM为△ABC的中线,求证:AM是“恰等中线”;
【等腰三角形中的“恰等中线”】
(2)已知等腰三角形ABC是“恰等三角形”,AB=AC=40,求底边BC的长.

(1)证明:$\because AM$为$△ ABC$的中线,$\therefore CM=MB=\frac{1}{2} CB$.
$\because CB=4$,$\therefore CM=MB=2$.
$\because AC=\sqrt{12}$,$∠C=90°$,$\therefore AM=\sqrt{AC^2 + CM^2}=\sqrt{12+4}=4$.
$\therefore AM=CB=4$.$\therefore AM$是“恰等中线”.
(2)解:等腰三角形$ABC$是“恰等三角形”,$AB=AC=40$,分两种情况:
如图①所示,当腰上的中线$BD=AC$时,$AB=BD$,过点$B$作$BE⊥AD$于点$E$,
$\because AB=AC=40$,$\therefore BD=40$,$ED=\frac{1}{2} AD=\frac{1}{4} AC=10$.
$\therefore CE=20+10=30$.$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE^2=BD^2 - DE^2=1500$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BC^2=BE^2 + CE^2=1500+900=2400$,$BC=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}$.
如图②所示,当底边上的中线$AD=BC$时,$AD⊥BC$,且$AD=2BD$,
设$BD=x$,则$x^2 + (2x)^2=40^2$,
$\therefore x^2=320$.$\therefore BC^2=4x^2=1280$,$\therefore BC=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$.
综上所述,底边$BC$的长为$20\sqrt{6}$或$16\sqrt{5}$。

【分析】
（1）要证明AM是“恰等中线”，需紧扣定义：证明AM的长度等于它所对应的边BC的长度即可。首先利用中线的性质求出CM的长度，再在直角三角形ACM中用勾股定理计算AM的长度，和BC的长度对比就能完成证明。
（2）等腰三角形为“恰等三角形”时，要分两种情况讨论：第一种是恰等中线为腰上的中线，此时中线长度等于腰长；第二种是恰等中线为底边上的中线，此时中线长度等于底边长。两种情况都结合等腰三角形的性质和勾股定理计算底边BC的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵AM为△ABC的BC边上的中线，
∴$CM=MB=\frac{1}{2}CB$，
∵$CB=4$，
∴$CM=2$，
又
∵$∠C=90°$，$AC=\sqrt{12}$，
∴在Rt△ACM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2 + CM^2}=\sqrt{(\sqrt{12})^2 + 2^2}=\sqrt{12+4}=4$，
∴$AM=CB=4$，符合“恰等中线”的定义，
∴AM是“恰等中线”。
(2) 解：等腰△ABC是“恰等三角形”，$AB=AC=40$，分两种情况：
①当腰上的中线为恰等中线：腰AC上的中线$BD=AC$，如图①，
∵BD是AC边的中线，$AC=40$，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}AC=20$，$BD=AC=40$，
过B作$BE⊥AD$于点E，
∵$AB=BD=40$，$BE⊥AD$，
∴$ED=\frac{1}{2}AD=10$，$CE=CD+DE=20+10=30$，
在Rt△BDE中，$BE^2=BD^2 - DE^2=40^2-10^2=1500$，
在Rt△BCE中，$BC^2=BE^2 + CE^2=1500+30^2=2400$，
∴$BC=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}$。
②当底边上的中线为恰等中线：底边BC上的中线$AD=BC$，如图②，
∵$AB=AC$，AD是BC边的中线，
∴$AD⊥BC$，$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，
设$BD=x$，则$BC=AD=2x$，
在Rt△ABD中，由勾股定理得$x^2+(2x)^2=40^2$，
解得$x^2=320$，
∴$BC^2=(2x)^2=4x^2=1280$，$BC=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$。
综上，底边BC的长为$20\sqrt{6}$或$16\sqrt{5}$。
【答案】
(1)证明:$\because AM$为$△ ABC$的中线,$\therefore CM=MB=\frac{1}{2} CB$.
$\because CB=4$,$\therefore CM=MB=2$.
$\because AC=\sqrt{12}$,$∠C=90°$,$\therefore AM=\sqrt{AC^2 + CM^2}=\sqrt{12+4}=4$.
$\therefore AM=CB=4$.$\therefore AM$是“恰等中线”.
(2)解:等腰三角形$ABC$是“恰等三角形”,$AB=AC=40$,分两种情况:
如图①所示,当腰上的中线$BD=AC$时,$AB=BD$,过点$B$作$BE⊥AD$于点$E$,
$\because AB=AC=40$,$\therefore BD=40$,$ED=\frac{1}{2} AD=\frac{1}{4} AC=10$.
$\therefore CE=20+10=30$.$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE^2=BD^2 - DE^2=1500$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BC^2=BE^2 + CE^2=1500+900=2400$,$BC=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}$.
如图②所示,当底边上的中线$AD=BC$时,$AD⊥BC$,且$AD=2BD$,
设$BD=x$,则$x^2 + (2x)^2=40^2$,
$\therefore x^2=320$.$\therefore BC^2=4x^2=1280$,$\therefore BC=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$.
综上所述,底边$BC$的长为$20\sqrt{6}$或$16\sqrt{5}$。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，首先要准确理解题目给出的新定义，第一问较为基础，直接结合勾股定理计算即可验证结论；第二问需要注意分类讨论，分中线在腰上、底边上两种情况分别计算，避免漏解，整体考查了学生的审题能力、分类讨论意识和几何计算能力。
【难度系数】
0.65