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1. 下列各组数据中,能作为直角三角形的三边长的是 （
A.$9,40,41$
B.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$
C.$2,7,9$
D.$10,20,30$
A
）A.$9,40,41$
B.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$
C.$2,7,9$
D.$10,20,30$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断各组数据能否作为直角三角形的三边长，需用到勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数据中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可，也可先通过三角形三边关系（两边之和大于第三边）快速排除明显不能构成三角形的选项。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：三边长为9，40，41，最长边为41。
计算短边平方和：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
最长边平方：$41^2 = 1681$
可得$9^2 + 40^2 = 41^2$，满足勾股定理的逆定理，能作为直角三角形的三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，最长边为$\sqrt{4}=2$。
计算短边平方和：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$
最长边平方：$(\sqrt{4})^2 = 4$
$5 ≠ 4$，不满足勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形的三边长。
C选项：三边长为2，7，9，最长边为9。
$2+7=9$，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，本身无法构成三角形，排除。
D选项：三边长为10，20，30，最长边为30。
$10+20=30$，同样不符合三角形三边关系，无法构成三角形，排除。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系；平方运算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用方法，解题时优先确定最长边再验证平方和关系，能有效提升解题效率，也可先通过三角形三边关系快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
要判断各组数据能否作为直角三角形的三边长，需用到勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数据中的最长边，再分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可，也可先通过三角形三边关系（两边之和大于第三边）快速排除明显不能构成三角形的选项。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：三边长为9，40，41，最长边为41。
计算短边平方和：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$
最长边平方：$41^2 = 1681$
可得$9^2 + 40^2 = 41^2$，满足勾股定理的逆定理，能作为直角三角形的三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，最长边为$\sqrt{4}=2$。
计算短边平方和：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$
最长边平方：$(\sqrt{4})^2 = 4$
$5 ≠ 4$，不满足勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形的三边长。
C选项：三边长为2，7，9，最长边为9。
$2+7=9$，不符合三角形两边之和大于第三边的要求，本身无法构成三角形，排除。
D选项：三边长为10，20，30，最长边为30。
$10+20=30$，同样不符合三角形三边关系，无法构成三角形，排除。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系；平方运算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用方法，解题时优先确定最长边再验证平方和关系，能有效提升解题效率，也可先通过三角形三边关系快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数中，是勾股数的是 （
A.0.6,0.8,1
B.1,2,$\sqrt{3}$
C.4,5,7
D.7,224,225
D
）A.0.6,0.8,1
B.1,2,$\sqrt{3}$
C.4,5,7
D.7,224,225
答案
2.D
解析
【分析】
判断勾股数需牢记两个判定标准：第一，三个数都必须是正整数；第二，两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先根据正整数的要求排除明显错误的选项，再对剩余选项用勾股定理验证，就能快速得出结果。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。
逐项分析如下：
A选项：0.6和0.8都是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除；
B选项：$\sqrt{3}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
C选项：计算可得$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不满足勾股定理，排除；
D选项：7、224、225都是正整数，且满足勾股定理的关系，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股数的判定，先通过正整数的要求排除错误选项可以大幅提升解题速度，再验证勾股定理即可选出正确答案，掌握判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
判断勾股数需牢记两个判定标准：第一，三个数都必须是正整数；第二，两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先根据正整数的要求排除明显错误的选项，再对剩余选项用勾股定理验证，就能快速得出结果。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数$a、b、c$叫做勾股数。
逐项分析如下：
A选项：0.6和0.8都是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除；
B选项：$\sqrt{3}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数的要求，排除；
C选项：计算可得$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不满足勾股定理，排除；
D选项：7、224、225都是正整数，且满足勾股定理的关系，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题考查勾股数的判定，先通过正整数的要求排除错误选项可以大幅提升解题速度，再验证勾股定理即可选出正确答案，掌握判定标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.已知某三角形的三边长分别是9 cm,12 cm,15 cm,则该三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
3.B
解析
【分析】
拿到已知三边长度判断三角形类型的题目，可按思路逐步推导：首先观察是否有边长相等，可先判断是否为等腰三角形，本题三边长9cm、12cm、15cm互不相等，可先排除D选项；接下来判断是锐角、直角还是钝角三角形，可运用所学的勾股定理逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此只需计算较短两边的平方和，与最长边的平方对比即可得出结论。
【解析】
1. 排除等腰三角形：该三角形三边长为9cm、12cm、15cm，三边长度均不相等，因此不是等腰三角形，排除D选项。
2. 确定最长边：对比三边大小可得9＜12＜15，因此最长边为15cm。
3. 利用勾股定理逆定理验证：
计算两条较短边的平方和：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
计算最长边的平方：$15^2 = 225$
可得$9^2 + 12^2 = 15^2$，符合勾股定理逆定理的判定条件，因此该三角形是直角三角形，排除A、C选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础考查题，核心是勾股定理逆定理的应用，解题时注意先锁定最长边再计算平方关系，避免计算出错，熟练掌握定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到已知三边长度判断三角形类型的题目，可按思路逐步推导：首先观察是否有边长相等，可先判断是否为等腰三角形，本题三边长9cm、12cm、15cm互不相等，可先排除D选项；接下来判断是锐角、直角还是钝角三角形，可运用所学的勾股定理逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此只需计算较短两边的平方和，与最长边的平方对比即可得出结论。
【解析】
1. 排除等腰三角形：该三角形三边长为9cm、12cm、15cm，三边长度均不相等，因此不是等腰三角形，排除D选项。
2. 确定最长边：对比三边大小可得9＜12＜15，因此最长边为15cm。
3. 利用勾股定理逆定理验证：
计算两条较短边的平方和：$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
计算最长边的平方：$15^2 = 225$
可得$9^2 + 12^2 = 15^2$，符合勾股定理逆定理的判定条件，因此该三角形是直角三角形，排除A、C选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础考查题，核心是勾股定理逆定理的应用，解题时注意先锁定最长边再计算平方关系，避免计算出错，熟练掌握定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 如图所示，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边 AB 和 BC 的长，再测量点 A 和点 C 间的距离，由此可推断∠B 是否为直角.这样做的依据是 （
A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
C
）A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先明确题目的操作和目的：操作是测量AB、BC、AC三条边的长度，目的是判断∠B是否为直角。接下来辨析相关定理的适用场景：勾股定理是已知直角三角形，推导三边的数量关系，属于“由形推数”；勾股定理的逆定理是已知三角形三边的数量关系，判断三角形是否为直角三角形，属于“由数推形”。本题是通过三边长度判断是否存在直角，符合勾股定理逆定理的应用场景，据此即可选出答案。
【解析】
要判断∠B是否为直角，本质是判断△ABC是否为直角三角形，且直角顶点为B。若测量后满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，就可以推出△ABC是直角三角形，且∠B为直角。因此该检测方法的依据是勾股定理的逆定理，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念辨析题，主要考查勾股定理与其逆定理的区别，牢记勾股定理是直角三角形的性质、逆定理是直角三角形的判定方法，即可快速解题，避免混淆两者的适用场景。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目的操作和目的：操作是测量AB、BC、AC三条边的长度，目的是判断∠B是否为直角。接下来辨析相关定理的适用场景：勾股定理是已知直角三角形，推导三边的数量关系，属于“由形推数”；勾股定理的逆定理是已知三角形三边的数量关系，判断三角形是否为直角三角形，属于“由数推形”。本题是通过三边长度判断是否存在直角，符合勾股定理逆定理的应用场景，据此即可选出答案。
【解析】
要判断∠B是否为直角，本质是判断△ABC是否为直角三角形，且直角顶点为B。若测量后满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，就可以推出△ABC是直角三角形，且∠B为直角。因此该检测方法的依据是勾股定理的逆定理，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念辨析题，主要考查勾股定理与其逆定理的区别，牢记勾股定理是直角三角形的性质、逆定理是直角三角形的判定方法，即可快速解题，避免混淆两者的适用场景。
【难度系数】
0.85
5.若3,4,a为勾股数,则a的值为 （
A.$\sqrt{7}$
B.5
C.5或7
D.5或$\sqrt{7}$
B
）A.$\sqrt{7}$
B.5
C.5或7
D.5或$\sqrt{7}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题首先要明确勾股数的核心定义：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此a必须为正整数，可先排除含无理数的错误选项；接下来分两种情况讨论：a为斜边、a为直角边，结合勾股定理计算后，再根据勾股数是正整数的要求筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
首先回忆勾股数的定义：能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，需满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），且三个数均为正整数。
分两种情况讨论：
1. 若a为斜边：根据勾股定理可得$a^2=3^2+4^2=9+16=25$，解得$a=5$（边长为正，舍去负根），5是正整数，符合勾股数要求；
2. 若a为直角边：此时最长边4为斜边，根据勾股定理可得$a^2=4^2-3^2=16-9=7$，解得$a=\sqrt{7}$，不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去。
因此a的值只能是5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略勾股数必须为正整数的限制，仅盲目套用勾股定理计算误选D，解题时要先明确概念细节，再分类讨论计算，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确勾股数的核心定义：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此a必须为正整数，可先排除含无理数的错误选项；接下来分两种情况讨论：a为斜边、a为直角边，结合勾股定理计算后，再根据勾股数是正整数的要求筛选出符合条件的a值即可。
【解析】
首先回忆勾股数的定义：能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，需满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），且三个数均为正整数。
分两种情况讨论：
1. 若a为斜边：根据勾股定理可得$a^2=3^2+4^2=9+16=25$，解得$a=5$（边长为正，舍去负根），5是正整数，符合勾股数要求；
2. 若a为直角边：此时最长边4为斜边，根据勾股定理可得$a^2=4^2-3^2=16-9=7$，解得$a=\sqrt{7}$，不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去。
因此a的值只能是5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念，勾股定理
【点评】
本题易错点是忽略勾股数必须为正整数的限制，仅盲目套用勾股定理计算误选D，解题时要先明确概念细节，再分类讨论计算，避免遗漏限制条件出错。
【难度系数】
0.7
6.如图所示，已知每个小正方形的边长均为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则∠CAB的度数为（
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
B
）A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
答案
6.B
解析
【分析】
要计算∠CAB的度数，我们可以先连接BC，结合网格特点，利用勾股定理分别求出△ABC三边的长度，再根据三边的数量关系判断△ABC的形状，最终推导得到∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC，设每个小正方形边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，故$AC=\sqrt{5}$；
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，故$BC=\sqrt{5}$；
$AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，故$AB=\sqrt{10}$。
由此可得：$AC^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AB^2$，且$AC=BC$。
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
所以$∠ CAB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，解题核心是借助网格和勾股定理得到三角形的三边长度，再通过判定三角形的形状求解角度，计算边长时要准确对应边的水平、垂直格数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要计算∠CAB的度数，我们可以先连接BC，结合网格特点，利用勾股定理分别求出△ABC三边的长度，再根据三边的数量关系判断△ABC的形状，最终推导得到∠CAB的度数。
【解析】
解：连接BC，设每个小正方形边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，故$AC=\sqrt{5}$；
$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，故$BC=\sqrt{5}$；
$AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，故$AB=\sqrt{10}$。
由此可得：$AC^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AB^2$，且$AC=BC$。
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
所以$∠ CAB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格中角度计算的典型题型，解题核心是借助网格和勾股定理得到三角形的三边长度，再通过判定三角形的形状求解角度，计算边长时要准确对应边的水平、垂直格数，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
7.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且满足$|a-5|+|b-12|+(c-13)^2=0$，则$△ ABC$是
直角
三角形。答案
7.直角
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，等式由两个绝对值和一个平方的和组成，绝对值和平方都具有非负性，即它们的值都大于等于0。几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此可以先求出a、b、c三边的长度。得到三边长后，再运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ |a-5|≥0，|b-12|≥0，(c-13)²≥0，且|a-5|+|b-12|+(c-13)²=0
∴ 每个非负项的值都为0，即：
a-5=0，解得a=5
b-12=0，解得b=12
c-13=0，解得c=13
接下来验证三边的平方关系：
a²+b²=5²+12²=25+144=169
c²=13²=169
∴ a²+b²=c²
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，将非负数的性质与三角形形状判定结合考查，解题的关键是牢记非负数的性质和勾股定理逆定理的适用条件，计算三边长和验证平方关系时注意不要算错数值。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知等式的结构，等式由两个绝对值和一个平方的和组成，绝对值和平方都具有非负性，即它们的值都大于等于0。几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此可以先求出a、b、c三边的长度。得到三边长后，再运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ |a-5|≥0，|b-12|≥0，(c-13)²≥0，且|a-5|+|b-12|+(c-13)²=0
∴ 每个非负项的值都为0，即：
a-5=0，解得a=5
b-12=0，解得b=12
c-13=0，解得c=13
接下来验证三边的平方关系：
a²+b²=5²+12²=25+144=169
c²=13²=169
∴ a²+b²=c²
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，将非负数的性质与三角形形状判定结合考查，解题的关键是牢记非负数的性质和勾股定理逆定理的适用条件，计算三边长和验证平方关系时注意不要算错数值。
【难度系数】
0.9
