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8.已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是
$\frac{60}{13}$
.答案
8.$\frac{60}{13}$
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长度5、12、13，属于常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状；其次点P是AC上的动点，根据“垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小，此时BP是AC边上的高；最后利用直角三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出BP的最小值。
【解析】
解：已知AB=5，BC=12，AC=13，
∵AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，AC² = 13² = 169，
∴AB² + BC² = AC²，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
根据垂线段最短的性质，当BP⊥AC时，线段BP的长度最小，此时BP为Rt△ABC斜边AC上的高。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × BP$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × BP$，
化简得：60 = 13BP，解得$BP=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，面积法求高
【点评】
本题综合考查直角三角形的判定、垂线段最短的性质，利用面积法求直角三角形斜边上的高是非常常用的解题技巧，需要熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长度5、12、13，属于常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状；其次点P是AC上的动点，根据“垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小，此时BP是AC边上的高；最后利用直角三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出BP的最小值。
【解析】
解：已知AB=5，BC=12，AC=13，
∵AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，AC² = 13² = 169，
∴AB² + BC² = AC²，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°。
根据垂线段最短的性质，当BP⊥AC时，线段BP的长度最小，此时BP为Rt△ABC斜边AC上的高。
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × BP$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × BP$，
化简得：60 = 13BP，解得$BP=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，面积法求高
【点评】
本题综合考查直角三角形的判定、垂线段最短的性质，利用面积法求直角三角形斜边上的高是非常常用的解题技巧，需要熟练掌握该类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
9.当$m＞0$时,若一个三角形的三边长分别为$3,m+2,m+3$,则当$m=$
2
时,此三角形是直角三角形.答案
9.2
解析
【分析】要判断该三角形为直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先结合m＞0的条件确定三边长中的最长边（即直角三角形的斜边），再根据逆定理列方程求解，最后结合m的取值范围筛选符合要求的解即可。
【解析】
解：
∵m＞0，
∴三边长的大小关系为：$3 ＜ m+2 ＜ m+3$，即最长边为$m+3$，为直角三角形的斜边。
根据勾股定理的逆定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$3^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开等式两边：
$9 + m^2 + 4m + 4 = m^2 + 6m + 9$
整理得：
$m^2 + 4m +13 = m^2 +6m +9$
移项、合并同类项：
$2m = 4$
解得：$m=2$
检验：当m=2时，三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，且符合m＞0的条件，是有效解。
【答案】2
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的解法
【点评】本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的关键是先明确最长边为斜边，避免错列等式，求解后要注意验证结果是否符合题目的限制条件和三角形三边要求。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵m＞0，
∴三边长的大小关系为：$3 ＜ m+2 ＜ m+3$，即最长边为$m+3$，为直角三角形的斜边。
根据勾股定理的逆定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$3^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开等式两边：
$9 + m^2 + 4m + 4 = m^2 + 6m + 9$
整理得：
$m^2 + 4m +13 = m^2 +6m +9$
移项、合并同类项：
$2m = 4$
解得：$m=2$
检验：当m=2时，三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，且符合m＞0的条件，是有效解。
【答案】2
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的解法
【点评】本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题的关键是先明确最长边为斜边，避免错列等式，求解后要注意验证结果是否符合题目的限制条件和三角形三边要求。
【难度系数】0.7
10.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图,在距离洗手台面22 cm的点C处连接着出水口D所在的水管,水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15 cm,出水口D到点E的距离为17 cm,且CD⊥AB,则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为
14
cm.答案
10.14
解析
【分析】
首先观察图形，CD垂直AB，可知△DCE是直角三角形，已知直角边CD和斜边DE的长度，可先利用勾股定理求出CE的长度；再结合点C到洗手台面的距离CB为22cm，通过线段的和差关系BE=CB-CE即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠DCE=90°，即△DCE是直角三角形。
在Rt△DCE中，CD=15cm，DE=17cm，根据勾股定理可得：
$CE=\sqrt{DE^2 - CD^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$
已知点C距离洗手台面的高度CB=22cm，
∴$BE=CB - CE=22 - 8=14\mathrm{cm}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理、线段的和差计算、垂直的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是从实际图形中提取出直角三角形，灵活运用勾股定理计算未知线段长度，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
首先观察图形，CD垂直AB，可知△DCE是直角三角形，已知直角边CD和斜边DE的长度，可先利用勾股定理求出CE的长度；再结合点C到洗手台面的距离CB为22cm，通过线段的和差关系BE=CB-CE即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠DCE=90°，即△DCE是直角三角形。
在Rt△DCE中，CD=15cm，DE=17cm，根据勾股定理可得：
$CE=\sqrt{DE^2 - CD^2}=\sqrt{17^2 - 15^2}=\sqrt{289 - 225}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$
已知点C距离洗手台面的高度CB=22cm，
∴$BE=CB - CE=22 - 8=14\mathrm{cm}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理、线段的和差计算、垂直的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是从实际图形中提取出直角三角形，灵活运用勾股定理计算未知线段长度，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
11.如图所示，在四边形ABCD中，AB=20，BC=16，CD=15，AD=9，AC⊥BC.求AC的长和四边形ABCD的面积.
答案
11.解:
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵AB=20,BC=16,
∴AC²=AB²-BC²=20²-16²=144.
∴AC=12.
∵CD²=225,AD²=81,
∴CD²=AC²+AD².
∴△ACD是直角三角形.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·BC+$\frac{1}{2}$AC·AD=$\frac{1}{2}$×12×16+$\frac{1}{2}$×12×9=150.
∴四边形ABCD的面积为150.
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵AB=20,BC=16,
∴AC²=AB²-BC²=20²-16²=144.
∴AC=12.
∵CD²=225,AD²=81,
∴CD²=AC²+AD².
∴△ACD是直角三角形.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=$\frac{1}{2}$AC·BC+$\frac{1}{2}$AC·AD=$\frac{1}{2}$×12×16+$\frac{1}{2}$×12×9=150.
∴四边形ABCD的面积为150.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：①首先AC⊥BC，可知△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度；②求出AC后，观察△ACD的三边长，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；③四边形ABCD的面积可拆分为△ABC和△ACD的面积之和，若△ACD是直角三角形，即可分别计算两个三角形面积相加得到结果。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=20，BC=16，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=20^2-16^2=400-256=144$，
∴AC=12（边长为正，舍去负值）。
在△ACD中，AD=9，CD=15，AC=12，
∵$AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°。
∴四边形ABCD的面积=$S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
= $\frac{1}{2}$×AC×BC + $\frac{1}{2}$×AC×AD
= $\frac{1}{2}$×12×16 + $\frac{1}{2}$×12×9
= 96 + 54
= 150。
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形面积之和求解，解题的关键是先利用勾股定理求出公共边AC的长度，再通过勾股定理逆定理判断另一个三角形为直角三角形，整体解题逻辑清晰，计算难度较低，需要注意验证三角形为直角三角形时要找准对应的边的关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手：①首先AC⊥BC，可知△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC的长度，可直接用勾股定理求出AC的长度；②求出AC后，观察△ACD的三边长，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；③四边形ABCD的面积可拆分为△ABC和△ACD的面积之和，若△ACD是直角三角形，即可分别计算两个三角形面积相加得到结果。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=20，BC=16，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2-BC^2=20^2-16^2=400-256=144$，
∴AC=12（边长为正，舍去负值）。
在△ACD中，AD=9，CD=15，AC=12，
∵$AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°。
∴四边形ABCD的面积=$S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
= $\frac{1}{2}$×AC×BC + $\frac{1}{2}$×AC×AD
= $\frac{1}{2}$×12×16 + $\frac{1}{2}$×12×9
= 96 + 54
= 150。
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形面积之和求解，解题的关键是先利用勾股定理求出公共边AC的长度，再通过勾股定理逆定理判断另一个三角形为直角三角形，整体解题逻辑清晰，计算难度较低，需要注意验证三角形为直角三角形时要找准对应的边的关系。
【难度系数】
0.7
12.如图所示,某小区准备在一块直角三角形土地上规划出图中阴影部分作为草坪.已知$∠ ABC=90°$,$AB=5$,$AC=13$.根据规划要求,$AE=4$,$BE=3$.
(1)试判断$△ AEB$的形状,并说明理由；
(2)计算图中阴影部分的面积.
(1)试判断$△ AEB$的形状,并说明理由；
(2)计算图中阴影部分的面积.
答案
12.解:(1)△AEB是直角三角形.理由如下:
∵AE²+BE²=4²+3²=25=AB²,
∴△AEB是直角三角形.
(2)由勾股定理,得BC=$\sqrt{AC²-AB²}$=$\sqrt{13²-5²}$=12.
∴图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$BC·AB-$\frac{1}{2}$AE·BE=$\frac{1}{2}$×12×5-$\frac{1}{2}$×4×3=24.
∵AE²+BE²=4²+3²=25=AB²,
∴△AEB是直角三角形.
(2)由勾股定理,得BC=$\sqrt{AC²-AB²}$=$\sqrt{13²-5²}$=12.
∴图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$BC·AB-$\frac{1}{2}$AE·BE=$\frac{1}{2}$×12×5-$\frac{1}{2}$×4×3=24.
解析
【分析】
(1) 要判断△AEB的形状，已知三边的长度，可使用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先计算AE²+BE²的值，再与AB²对比即可得出结论。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过割补法求解：阴影面积等于大直角三角形ABC的面积减去小△AEB的面积。首先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) △AEB是直角三角形，理由如下：
已知AE=4，BE=3，AB=5，
∵ $ AE^2 + BE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 $，$ AB^2 = 5^2 = 25 $，
∴ $ AE^2 + BE^2 = AB^2 $，
根据勾股定理的逆定理，可得△AEB是直角三角形。
(2) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，AC=13，
由勾股定理得：$ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $。
阴影部分面积 = $ S_{△ ABC} - S_{△ AEB} $
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AB = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30 $
$ S_{△ AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $
∴ 阴影部分面积 = $ 30 - 6 = 24 $
【答案】
(1) △AEB是直角三角形；
(2) 阴影部分的面积为24。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题侧重基础公式的应用，核心是利用勾股定理及其逆定理解决三角形形状判断和边长计算问题，通过割补法将不规则图形的面积转化为规则三角形面积的差，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.75
(1) 要判断△AEB的形状，已知三边的长度，可使用勾股定理的逆定理验证：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先计算AE²+BE²的值，再与AB²对比即可得出结论。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过割补法求解：阴影面积等于大直角三角形ABC的面积减去小△AEB的面积。首先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度，再分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) △AEB是直角三角形，理由如下：
已知AE=4，BE=3，AB=5，
∵ $ AE^2 + BE^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 $，$ AB^2 = 5^2 = 25 $，
∴ $ AE^2 + BE^2 = AB^2 $，
根据勾股定理的逆定理，可得△AEB是直角三角形。
(2) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，AC=13，
由勾股定理得：$ BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 $。
阴影部分面积 = $ S_{△ ABC} - S_{△ AEB} $
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AB = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30 $
$ S_{△ AEB} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 $
∴ 阴影部分面积 = $ 30 - 6 = 24 $
【答案】
(1) △AEB是直角三角形；
(2) 阴影部分的面积为24。
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，割补法求面积
【点评】
本题侧重基础公式的应用，核心是利用勾股定理及其逆定理解决三角形形状判断和边长计算问题，通过割补法将不规则图形的面积转化为规则三角形面积的差，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.75
