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13.(1)我们知道3,4,5是一组勾股数，那么$3k$,$4k$,$5k$($k$是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由。
(2)如果$a$,$b$,$c$是一组勾股数，那么$ak$,$bk$,$ck$($k$是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由。
(3)如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$,$b=m^2-1$,$c=m^2+1$，请说明$a$,$b$,$c$为一组勾股数。
(2)如果$a$,$b$,$c$是一组勾股数，那么$ak$,$bk$,$ck$($k$是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由。
(3)如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$,$b=m^2-1$,$c=m^2+1$，请说明$a$,$b$,$c$为一组勾股数。
答案
13.解:(1)是勾股数.理由:
∵3k,4k,5k(k是正整数)是一组正整数,且(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²,
∴3k,4k,5k是一组勾股数.
(2)是勾股数.理由:
∵a,b,c是一组勾股数,
∴不妨设a²+b²=c².又ak,bk,ck(k是正整数)也是一组正整数,
k²a²+k²b²=k²c²,
∴(ak)²+(bk)²=(ck)².
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数.
(3)
∵m表示大于1的整数,
∴由a=2m,b=m²-1,c=m²+1得到a,b,c均为正整数.
又a²+b²=(2m)²+(m²-1)²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1,c²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1,
∴a²+b²=c².
∴a,b,c为一组勾股数.
∵3k,4k,5k(k是正整数)是一组正整数,且(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²,
∴3k,4k,5k是一组勾股数.
(2)是勾股数.理由:
∵a,b,c是一组勾股数,
∴不妨设a²+b²=c².又ak,bk,ck(k是正整数)也是一组正整数,
k²a²+k²b²=k²c²,
∴(ak)²+(bk)²=(ck)².
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数.
(3)
∵m表示大于1的整数,
∴由a=2m,b=m²-1,c=m²+1得到a,b,c均为正整数.
又a²+b²=(2m)²+(m²-1)²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1,c²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1,
∴a²+b²=c².
∴a,b,c为一组勾股数.
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，每一小问都按这两个条件逐一验证即可：
(1) 先确认3k、4k、5k均为正整数，再计算验证(3k)²+(4k)²是否等于(5k)²；
(2) 先利用已知勾股数的性质得到a²+b²=c²，再确认ak、bk、ck均为正整数，对原等式两边同乘k²即可推导得到新的平方和关系；
(3) 先根据m的取值范围确认a、b、c均为正整数，再分别计算a²+b²和c²，验证二者是否相等即可。
【解析】
(1) $3k$,$4k$,$5k$（$k$是正整数）是一组勾股数，理由：
∵$k$是正整数，
∴$3k$,$4k$,$5k$都是正整数，
且$(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²$，
∴$3k$,$4k$,$5k$是一组勾股数。
(2) $ak$,$bk$,$ck$（$k$是正整数）是一组勾股数，理由：
∵$a$,$b$,$c$是一组勾股数，不妨设$c$为最大边，即$a²+b²=c²$，
∵$k$是正整数，
∴$ak$,$bk$,$ck$都是正整数，
等式两边同乘$k²$得：$k²a²+k²b²=k²c²$，即$(ak)²+(bk)²=(ck)²$，
∴$ak$,$bk$,$ck$（$k$是正整数）是一组勾股数。
(3) $a$,$b$,$c$为一组勾股数，理由：
∵$m$是大于1的整数，
∴$a=2m$,$b=m²-1$,$c=m²+1$均为正整数，且$c$为最大边，
计算得：$a²+b²=(2m)²+(m²-1)²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1$，
$c²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1$，
∴$a²+b²=c²$，
∴$a$,$b$,$c$为一组勾股数。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) 是，理由见解析；
(3) $a$,$b$,$c$是一组勾股数，理由见解析。
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题围绕勾股数的判定设计，考查对勾股数概念的理解和整式运算的能力，解题关键是抓住勾股数的两个判定条件，通过代数运算验证平方和关系即可完成解答，有助于加深对勾股数性质的理解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记勾股数的两个判定条件：①三个数均为正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，每一小问都按这两个条件逐一验证即可：
(1) 先确认3k、4k、5k均为正整数，再计算验证(3k)²+(4k)²是否等于(5k)²；
(2) 先利用已知勾股数的性质得到a²+b²=c²，再确认ak、bk、ck均为正整数，对原等式两边同乘k²即可推导得到新的平方和关系；
(3) 先根据m的取值范围确认a、b、c均为正整数，再分别计算a²+b²和c²，验证二者是否相等即可。
【解析】
(1) $3k$,$4k$,$5k$（$k$是正整数）是一组勾股数，理由：
∵$k$是正整数，
∴$3k$,$4k$,$5k$都是正整数，
且$(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²$，
∴$3k$,$4k$,$5k$是一组勾股数。
(2) $ak$,$bk$,$ck$（$k$是正整数）是一组勾股数，理由：
∵$a$,$b$,$c$是一组勾股数，不妨设$c$为最大边，即$a²+b²=c²$，
∵$k$是正整数，
∴$ak$,$bk$,$ck$都是正整数，
等式两边同乘$k²$得：$k²a²+k²b²=k²c²$，即$(ak)²+(bk)²=(ck)²$，
∴$ak$,$bk$,$ck$（$k$是正整数）是一组勾股数。
(3) $a$,$b$,$c$为一组勾股数，理由：
∵$m$是大于1的整数，
∴$a=2m$,$b=m²-1$,$c=m²+1$均为正整数，且$c$为最大边，
计算得：$a²+b²=(2m)²+(m²-1)²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1$，
$c²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1$，
∴$a²+b²=c²$，
∴$a$,$b$,$c$为一组勾股数。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) 是，理由见解析；
(3) $a$,$b$,$c$是一组勾股数，理由见解析。
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题围绕勾股数的判定设计，考查对勾股数概念的理解和整式运算的能力，解题关键是抓住勾股数的两个判定条件，通过代数运算验证平方和关系即可完成解答，有助于加深对勾股数性质的理解。
【难度系数】
0.8
14.若$△ ABC$的三个顶点$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,则下列条件中能判定$△ ABC$是直角三角形的是（
A.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B.$∠ A=25°,∠ B=75°$
C.$a=2,b=2,c=3$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{5},c=\sqrt{3}$
D
）A.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B.$∠ A=25°,∠ B=75°$
C.$a=2,b=2,c=3$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{5},c=\sqrt{3}$
答案
14.D
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，有两类常用思路：一是从角的维度分析，利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是从边的维度分析，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个验证选项是否符合上述判定规则即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项A：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和为180°，可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠C=$5×15°=75°＜90°$，不是直角三角形，A错误。
2. 验证选项B：已知∠A=25°，∠B=75°，则∠C=$180°-25°-75°=80°＜90°$，无直角，不是直角三角形，B错误。
3. 验证选项C：三边长为2、2、3，最长边为3，计算得$2^2+2^2=8$，$3^2=9$，$8≠9$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，C错误。
4. 验证选项D：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$，计算得$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，即两条短边平方和等于长边平方，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，可根据选项给出的角或边的条件灵活选择判定角度，计算带根号的边长平方时要注意运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，有两类常用思路：一是从角的维度分析，利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是从边的维度分析，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个验证选项是否符合上述判定规则即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项A：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和为180°，可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠C=$5×15°=75°＜90°$，不是直角三角形，A错误。
2. 验证选项B：已知∠A=25°，∠B=75°，则∠C=$180°-25°-75°=80°＜90°$，无直角，不是直角三角形，B错误。
3. 验证选项C：三边长为2、2、3，最长边为3，计算得$2^2+2^2=8$，$3^2=9$，$8≠9$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，C错误。
4. 验证选项D：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$，计算得$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，即两条短边平方和等于长边平方，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，可根据选项给出的角或边的条件灵活选择判定角度，计算带根号的边长平方时要注意运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
15. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （
A.$AB=2\sqrt{5}$
B.$∠ BAC=90°$
C.$S_{△ ABC}=\frac{11}{2}$
D.点A到直线BC的距离是2
C
）A.$AB=2\sqrt{5}$
B.$∠ BAC=90°$
C.$S_{△ ABC}=\frac{11}{2}$
D.点A到直线BC的距离是2
答案
15.C
解析
【分析】
这是网格中的三角形性质判断类问题，解题可按以下思路推进：1.先借助勾股定理计算△ABC三条边的长度，验证A、B选项的结论是否正确；2.利用直角三角形面积公式计算△ABC的面积，判断C选项正误；3.通过面积法，结合BC的长度计算点A到直线BC的距离，验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，逐个验证选项：
1. 验证A选项：
由勾股定理得，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：
计算另外两边长度：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：
$\because △ ABC$是直角三角形，直角边为AC、AB，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5≠\frac{11}{2}$，C选项结论错误，符合题意。
4. 验证D选项：
设点A到直线BC的距离为$h$，由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，
代入$S_{△ ABC}=5$、$BC=5$，得$5=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=2$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是典型的网格几何题型，侧重考查勾股定理的实际应用，解题时结合勾股定理逆定理判断直角三角形可简化面积计算的步骤，用面积法求点到直线的距离是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
这是网格中的三角形性质判断类问题，解题可按以下思路推进：1.先借助勾股定理计算△ABC三条边的长度，验证A、B选项的结论是否正确；2.利用直角三角形面积公式计算△ABC的面积，判断C选项正误；3.通过面积法，结合BC的长度计算点A到直线BC的距离，验证D选项，最终选出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，逐个验证选项：
1. 验证A选项：
由勾股定理得，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：
计算另外两边长度：$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：
$\because △ ABC$是直角三角形，直角边为AC、AB，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5≠\frac{11}{2}$，C选项结论错误，符合题意。
4. 验证D选项：
设点A到直线BC的距离为$h$，由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，
代入$S_{△ ABC}=5$、$BC=5$，得$5=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=2$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是典型的网格几何题型，侧重考查勾股定理的实际应用，解题时结合勾股定理逆定理判断直角三角形可简化面积计算的步骤，用面积法求点到直线的距离是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
16.不少家长在选择婴儿车时,不仅关注其舒适性、便捷性,还关注婴儿车的安全性.如图所示的是其简化结构示意图.在某校综合与实践活动中,同学们帮助工作人员进行了测量,得到如下数据:$AB=CD=10\ \mathrm{dm}$,$BC=5\ \mathrm{dm}$,$AD=15\ \mathrm{dm}$,其中$AB$与$BD$之间由一个固定角为$90°$的零件连接(即$∠ ABD=90°$).根据安全标准需满足$BC⊥ CD$,请你通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
16.解:在△ABD中,∠ABD=90°,AB=10 dm,AD=15 dm,
根据勾股定理,得BD²=AD²-AB²=15²-10²=125.
在△BCD中,BC²+CD²=5²+10²=125,
∴BC²+CD²=BD².
∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°.
∴BC⊥CD.
∴该婴儿车符合安全标准.
根据勾股定理,得BD²=AD²-AB²=15²-10²=125.
在△BCD中,BC²+CD²=5²+10²=125,
∴BC²+CD²=BD².
∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°.
∴BC⊥CD.
∴该婴儿车符合安全标准.
解析
【分析】
要判断婴儿车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°，即BC与CD是否垂直。我们可以借助勾股定理的逆定理判定△BCD是否为直角三角形：首先已知△ABD是直角三角形，给出了AB和AD的长度，可先用勾股定理求出BD²，再计算△BCD中BC²与CD²的和，若二者之和等于BD²，就说明△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，符合安全标准，反之则不符合。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=10\ \mathrm{dm}$，$AD=15\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理可得：$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=225-100=125$。
在$△ BCD$中，$BC=5\ \mathrm{dm}$，$CD=10\ \mathrm{dm}$，
计算得：$BC^2+CD^2=5^2+10^2=25+100=125$，
因此$BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$，所以该婴儿车符合安全标准。
【答案】
该婴儿车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合婴儿车安全性检测的生活场景，考查勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的核心是先利用直角三角形求出公共边BD的平方，再通过逆定理判定三角形形状，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要判断婴儿车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°，即BC与CD是否垂直。我们可以借助勾股定理的逆定理判定△BCD是否为直角三角形：首先已知△ABD是直角三角形，给出了AB和AD的长度，可先用勾股定理求出BD²，再计算△BCD中BC²与CD²的和，若二者之和等于BD²，就说明△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，符合安全标准，反之则不符合。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$AB=10\ \mathrm{dm}$，$AD=15\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理可得：$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=225-100=125$。
在$△ BCD$中，$BC=5\ \mathrm{dm}$，$CD=10\ \mathrm{dm}$，
计算得：$BC^2+CD^2=5^2+10^2=25+100=125$，
因此$BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥ CD$，所以该婴儿车符合安全标准。
【答案】
该婴儿车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合婴儿车安全性检测的生活场景，考查勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的核心是先利用直角三角形求出公共边BD的平方，再通过逆定理判定三角形形状，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
