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17.如图所示,在$△ ABC$中,$AB:BC:CA=3:4:5$,且周长为36 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动,两点同时出发.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形；
(2)当运动了3 s时,求$△ BPQ$的面积.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形；
(2)当运动了3 s时,求$△ BPQ$的面积.
答案
17.(1)证明:设AB=3x,则BC=4x,CA=5x.
∵AB²+BC²=(3x)²+(4x)²=25x²,CA²=(5x)²=25x²,
∴AB²+BC²=CA².
∴△ABC是直角三角形.
(2)解:
∵△ABC是直角三角形,∠B=90°,根据题意,得3x+4x+5x=36,解得x=3,
∴AB=3x=9(cm),BC=4x=12(cm).
当运动了3 s时,PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm).
∴△BPQ的面积为$\frac{6×6}{2}$=18(cm²).
∵AB²+BC²=(3x)²+(4x)²=25x²,CA²=(5x)²=25x²,
∴AB²+BC²=CA².
∴△ABC是直角三角形.
(2)解:
∵△ABC是直角三角形,∠B=90°,根据题意,得3x+4x+5x=36,解得x=3,
∴AB=3x=9(cm),BC=4x=12(cm).
当运动了3 s时,PB=9-1×3=6(cm),BQ=2×3=6(cm).
∴△BPQ的面积为$\frac{6×6}{2}$=18(cm²).
解析
【分析】
(1)要证明△ABC是直角三角形，已知三边比例关系，可使用勾股定理的逆定理证明：先设参数表示出三边长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。(2)要求运动3s后△BPQ的面积，首先根据△ABC的周长结合三边比例列方程求出参数，得到AB、BC的实际长度；再结合点P、Q的运动速度和时间，计算出PB、BQ的长度；由(1)可知∠B=90°，△BPQ为直角三角形，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：设$AB=3x$，则$BC=4x$，$CA=5x$。
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2$，$CA^2=(5x)^2=25x^2$，
∴$AB^2+BC^2=CA^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
(2)解：由(1)得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$。
根据$△ ABC$周长为36 cm，列方程得：$3x+4x+5x=36$，
解得$x=3$，
∴$AB=3x=9\ \mathrm{cm}$，$BC=4x=12\ \mathrm{cm}$。
当运动时间为3 s时：
$PB=AB-AP=9-1×3=6\ \mathrm{cm}$，
$BQ=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)证明成立，$△ ABC$是直角三角形；(2)$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与动点结合的基础综合题，第一问侧重考查勾股定理逆定理的直接应用，第二问需要结合行程的数量关系求解线段长度，再计算面积，能够考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC是直角三角形，已知三边比例关系，可使用勾股定理的逆定理证明：先设参数表示出三边长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。(2)要求运动3s后△BPQ的面积，首先根据△ABC的周长结合三边比例列方程求出参数，得到AB、BC的实际长度；再结合点P、Q的运动速度和时间，计算出PB、BQ的长度；由(1)可知∠B=90°，△BPQ为直角三角形，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：设$AB=3x$，则$BC=4x$，$CA=5x$。
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2$，$CA^2=(5x)^2=25x^2$，
∴$AB^2+BC^2=CA^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形。
(2)解：由(1)得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$。
根据$△ ABC$周长为36 cm，列方程得：$3x+4x+5x=36$，
解得$x=3$，
∴$AB=3x=9\ \mathrm{cm}$，$BC=4x=12\ \mathrm{cm}$。
当运动时间为3 s时：
$PB=AB-AP=9-1×3=6\ \mathrm{cm}$，
$BQ=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)证明成立，$△ ABC$是直角三角形；(2)$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与动点结合的基础综合题，第一问侧重考查勾股定理逆定理的直接应用，第二问需要结合行程的数量关系求解线段长度，再计算面积，能够考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
18.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长$a,b,c$都是正整数，则$a,b,c$为一组勾股数.下表中的每一组数都是勾股数.
| 3,4,5 | 7,24,25 | 11,60,61 | 15,112,113 | 19,180,181 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 16,12,20 | 8,15,17 | 12,35,37 | 16,63,65 | 20,21,29 |
| 5,12,13 | 9,12,15 |
| 17,144,145 | 21,28,35 |
| 6,8,10 | 10,
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据的规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案.该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
| 3,4,5 | 7,24,25 | 11,60,61 | 15,112,113 | 19,180,181 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 16,12,20 | 8,15,17 | 12,35,37 | 16,63,65 | 20,21,29 |
| 5,12,13 | 9,12,15 |
| 17,144,145 | 21,28,35 || 6,8,10 | 10,
24
,26 | 14,48,50 | 18,80,82 | 22,120,122 |(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据的规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案.该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?
答案
18.(1)24
(2)解:本原勾股数:由题意,得a=m²-n²,b=2mn,c=m²+n²(m＞n＞0,m,n互质且一奇一偶).
非本原勾股数:a=k(m²-n²),b=k(2mn),c=k(m²+n²)(k为正整数).
证明:对于本原勾股数,
a²+b²=(m²-n²)²+(2mn)²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴=(m²+n²)²=c².
非本原勾股数为本原勾股数的k倍,
故a²+b²=k²[(m²-n²)²+(2mn)²]=k²(m²+n²)²=c².
同理,a=2kmn,b=k(m²-n²),c=k(m²+n²)时也成立.
(3)解:由题意知它的最短边长是20 m,
查表可知它的各边长(单位:m)是20,21,29这组勾股数,
这个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29=70(m).
∵该图案是由四个全等的直角三角形组成的,
∴这块绿地需要种花70×4=280(株).
(2)解:本原勾股数:由题意,得a=m²-n²,b=2mn,c=m²+n²(m＞n＞0,m,n互质且一奇一偶).
非本原勾股数:a=k(m²-n²),b=k(2mn),c=k(m²+n²)(k为正整数).
证明:对于本原勾股数,
a²+b²=(m²-n²)²+(2mn)²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴=(m²+n²)²=c².
非本原勾股数为本原勾股数的k倍,
故a²+b²=k²[(m²-n²)²+(2mn)²]=k²(m²+n²)²=c².
同理,a=2kmn,b=k(m²-n²),c=k(m²+n²)时也成立.
(3)解:由题意知它的最短边长是20 m,
查表可知它的各边长(单位:m)是20,21,29这组勾股数,
这个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29=70(m).
∵该图案是由四个全等的直角三角形组成的,
∴这块绿地需要种花70×4=280(株).
解析
【分析】
(1) 依据勾股数的定义：正整数a、b、c满足a²+b²=c²，已知两个数为10和26，斜边为26，代入公式计算即可求出缺失的数。
(2) 先观察表格内的勾股数，可分为本原勾股数（三数最大公约数为1）和非本原勾股数（本原勾股数乘正整数k得到）两类，结合完全平方公式的结构归纳出通用表达式，再代入勾股定理验证等式成立即可。
(3) 首先根据“两端都植树时，间隔数=棵数-1”求出最短边的长度，再查找周长最小的对应勾股数组，计算单个直角三角形三边的种花总数，乘4即可得到整块绿地的种花总数。
【解析】
(1) 设缺失的数为x，由勾股数定义得：$10^2 + x^2 = 26^2$，计算得$x^2=26^2-10^2=676-100=576$，x为正整数，故$x=24$。
(2) 勾股数通用表达式：当$m＞n＞0$，k、m、n均为正整数时，勾股数可表示为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（a、b顺序可互换，本原勾股数即$k=1$，且m、n互质、一奇一偶的情况）。
证明：
$a^2+b^2=[k(m^2-n^2)]^2 + (2kmn)^2 =k^2(m^4-2m^2n^2+n^4) +4k^2m^2n^2 =k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)=k^2(m^2+n^2)^2 =c^2$，满足勾股定理，故该表达式成立。
(3) 已知最短边种21株花，相邻间距1m，且顶点都种花，故最短边长为$(21-1)×1=20m$。
要使总种花数最少，需直角三角形周长最小，查找可得最短边为20m的勾股数中，周长最小的是20,21,29。
单个直角三角形三边种花总株数等于三边长度和，即$20+21+29=70$株。
因图案由4个全等的直角三角形组成，故总种花数为$70×4=280$株。
【答案】
(1)24
(2)勾股数可表示为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n＞0$，k、m、n均为正整数，a、b可互换），证明见解析。
(3)280株
【知识点】
1.勾股定理
2.勾股数
3.植树问题
【点评】
本题结合古代数学著作背景，兼顾基础考查与能力提升，既考查了勾股数的识别、规律推导，又结合生活实际考查知识应用能力，能有效锻炼学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 依据勾股数的定义：正整数a、b、c满足a²+b²=c²，已知两个数为10和26，斜边为26，代入公式计算即可求出缺失的数。
(2) 先观察表格内的勾股数，可分为本原勾股数（三数最大公约数为1）和非本原勾股数（本原勾股数乘正整数k得到）两类，结合完全平方公式的结构归纳出通用表达式，再代入勾股定理验证等式成立即可。
(3) 首先根据“两端都植树时，间隔数=棵数-1”求出最短边的长度，再查找周长最小的对应勾股数组，计算单个直角三角形三边的种花总数，乘4即可得到整块绿地的种花总数。
【解析】
(1) 设缺失的数为x，由勾股数定义得：$10^2 + x^2 = 26^2$，计算得$x^2=26^2-10^2=676-100=576$，x为正整数，故$x=24$。
(2) 勾股数通用表达式：当$m＞n＞0$，k、m、n均为正整数时，勾股数可表示为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（a、b顺序可互换，本原勾股数即$k=1$，且m、n互质、一奇一偶的情况）。
证明：
$a^2+b^2=[k(m^2-n^2)]^2 + (2kmn)^2 =k^2(m^4-2m^2n^2+n^4) +4k^2m^2n^2 =k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)=k^2(m^2+n^2)^2 =c^2$，满足勾股定理，故该表达式成立。
(3) 已知最短边种21株花，相邻间距1m，且顶点都种花，故最短边长为$(21-1)×1=20m$。
要使总种花数最少，需直角三角形周长最小，查找可得最短边为20m的勾股数中，周长最小的是20,21,29。
单个直角三角形三边种花总株数等于三边长度和，即$20+21+29=70$株。
因图案由4个全等的直角三角形组成，故总种花数为$70×4=280$株。
【答案】
(1)24
(2)勾股数可表示为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$m＞n＞0$，k、m、n均为正整数，a、b可互换），证明见解析。
(3)280株
【知识点】
1.勾股定理
2.勾股数
3.植树问题
【点评】
本题结合古代数学著作背景，兼顾基础考查与能力提升，既考查了勾股数的识别、规律推导，又结合生活实际考查知识应用能力，能有效锻炼学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
