登录
1. 正方形具有而菱形不具有的性质是 （
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
）A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
这道题的核心是对比正方形和菱形的性质差异，解题思路如下：首先回忆菱形、正方形各自的性质，菱形是特殊的平行四边形，除平行四边形的性质外，还有四边相等、对角线互相垂直的特点；正方形既是特殊菱形也是特殊矩形，兼具菱形和矩形的所有性质，我们只需要找出属于矩形特有、普通菱形没有的性质，再逐一核对选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角相等：菱形和正方形都是特殊的平行四边形，均满足对角相等，该性质二者都具备，不符合要求；
B. 对边相等：所有平行四边形都具备对边相等的性质，菱形、正方形都属于平行四边形，该性质二者都具备，不符合要求；
C. 对角线相等：菱形的对角线仅满足互相垂直平分，长度不一定相等；正方形的对角线同时满足互相垂直、平分、相等，该性质是正方形有而菱形没有的，符合要求；
D. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形、正方形都满足该性质，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查特殊平行四边形的性质区分，只要熟练掌握菱形、正方形的性质，梳理清楚二者的异同点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是对比正方形和菱形的性质差异，解题思路如下：首先回忆菱形、正方形各自的性质，菱形是特殊的平行四边形，除平行四边形的性质外，还有四边相等、对角线互相垂直的特点；正方形既是特殊菱形也是特殊矩形，兼具菱形和矩形的所有性质，我们只需要找出属于矩形特有、普通菱形没有的性质，再逐一核对选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对角相等：菱形和正方形都是特殊的平行四边形，均满足对角相等，该性质二者都具备，不符合要求；
B. 对边相等：所有平行四边形都具备对边相等的性质，菱形、正方形都属于平行四边形，该性质二者都具备，不符合要求；
C. 对角线相等：菱形的对角线仅满足互相垂直平分，长度不一定相等；正方形的对角线同时满足互相垂直、平分、相等，该性质是正方形有而菱形没有的，符合要求；
D. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形、正方形都满足该性质，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查特殊平行四边形的性质区分，只要熟练掌握菱形、正方形的性质，梳理清楚二者的异同点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知正方形的对角线长为4,则正方形的面积为 （
A.16
B.12
C.8
D.4
C
）A.16
B.12
C.8
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，可从两个符合八年级知识范围的思路入手：①结合勾股定理计算：正方形内角为直角，边长与对角线满足勾股定理关系，且正方形面积等于边长的平方，无需单独算出边长即可直接求出面积；②利用特殊四边形面积公式：正方形是特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入对角线长度就能快速算出结果。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$，
因为正方形的四个内角均为直角，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$，
整理得$2a^2=16$，
而正方形的面积$S=a^2$，因此$S=16÷2=8$。
方法二：正方形属于特殊的菱形，菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× d_1× d_2$（$d_1$、$d_2$为菱形两条对角线的长度），
已知正方形两条对角线长均为4，代入公式得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查正方形面积的计算，两种解题方法都依托于图形的基本性质，熟练掌握特殊四边形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可从两个符合八年级知识范围的思路入手：①结合勾股定理计算：正方形内角为直角，边长与对角线满足勾股定理关系，且正方形面积等于边长的平方，无需单独算出边长即可直接求出面积；②利用特殊四边形面积公式：正方形是特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入对角线长度就能快速算出结果。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$，
因为正方形的四个内角均为直角，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$，
整理得$2a^2=16$，
而正方形的面积$S=a^2$，因此$S=16÷2=8$。
方法二：正方形属于特殊的菱形，菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}× d_1× d_2$（$d_1$、$d_2$为菱形两条对角线的长度），
已知正方形两条对角线长均为4，代入公式得：
$S=\frac{1}{2}×4×4=8$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查正方形面积的计算，两种解题方法都依托于图形的基本性质，熟练掌握特殊四边形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,2),则点C的坐标为 （
A.$(-2,1)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(1,-2)$
A
）A.$(-2,1)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(1,-2)$
答案
3.A
解析
【分析】
要求点C的坐标，我们可以借助正方形的性质分析：正方形的邻边相等且互相垂直，因此OC=OA，∠AOC=90°。我们通过作辅助线构造全等三角形，把点A的坐标转化为对应线段的长度，再结合全等三角形对应边相等的性质，就能推导点C的坐标。具体思路是：过A、C分别向x轴作垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形的锐角相等，结合边相等证明三角形全等，最后根据点C所在象限确定坐标的正负。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COE + ∠AOD = 90°。
又
∵AD⊥x轴，
∴∠OAD + ∠AOD = 90°，
∴∠COE=∠OAD。
在△COE和△OAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEO=∠ ODA=90°\\∠ COE=∠ OAD\\OC=OA\end{array} $
∴△COE≌△OAD（AAS）。
已知A(1,2)，则OD=1，AD=2，
由全等得：OE=AD=2，CE=OD=1。
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为(-2,1)。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是坐标系与几何图形结合的典型题，解题核心是通过构造全等三角形实现线段长度和坐标的转化，需要注意不同象限内点的坐标符号特征，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要求点C的坐标，我们可以借助正方形的性质分析：正方形的邻边相等且互相垂直，因此OC=OA，∠AOC=90°。我们通过作辅助线构造全等三角形，把点A的坐标转化为对应线段的长度，再结合全等三角形对应边相等的性质，就能推导点C的坐标。具体思路是：过A、C分别向x轴作垂线，得到两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形的锐角相等，结合边相等证明三角形全等，最后根据点C所在象限确定坐标的正负。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COE + ∠AOD = 90°。
又
∵AD⊥x轴，
∴∠OAD + ∠AOD = 90°，
∴∠COE=∠OAD。
在△COE和△OAD中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEO=∠ ODA=90°\\∠ COE=∠ OAD\\OC=OA\end{array} $
∴△COE≌△OAD（AAS）。
已知A(1,2)，则OD=1，AD=2，
由全等得：OE=AD=2，CE=OD=1。
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为(-2,1)。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是坐标系与几何图形结合的典型题，解题核心是通过构造全等三角形实现线段长度和坐标的转化，需要注意不同象限内点的坐标符号特征，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4.若菱形ABCD的周长是20，对角线BD=8，则菱形ABCD的面积是 （
A.20
B.16
C.25
D.24
D
）A.20
B.16
C.25
D.24
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：1.菱形四条边长度相等；2.菱形的对角线互相垂直且平分；3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。第一步根据周长求出菱形的边长；第二步结合已知对角线的长度，利用勾股定理求出另一条对角线的长度；第三步代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20
∴ 菱形的边长AB = 20÷4 = 5，且对角线AC⊥BD，BO = BD÷2
∵ BD = 8
∴ BO = 8÷2 = 4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AO = √(AB² - BO²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3
∴ 另一条对角线AC = 2AO = 2×3 = 6
∴ 菱形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}$ × AC × BD = $\frac{1}{2}$ × 6 × 8 = 24
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对菱形性质的灵活运用，熟练掌握菱形的边长、对角线相关性质以及面积计算公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：1.菱形四条边长度相等；2.菱形的对角线互相垂直且平分；3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。第一步根据周长求出菱形的边长；第二步结合已知对角线的长度，利用勾股定理求出另一条对角线的长度；第三步代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20
∴ 菱形的边长AB = 20÷4 = 5，且对角线AC⊥BD，BO = BD÷2
∵ BD = 8
∴ BO = 8÷2 = 4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AO = √(AB² - BO²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3
∴ 另一条对角线AC = 2AO = 2×3 = 6
∴ 菱形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}$ × AC × BD = $\frac{1}{2}$ × 6 × 8 = 24
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对菱形性质的灵活运用，熟练掌握菱形的边长、对角线相关性质以及面积计算公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 (
A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥BD$时,它是菱形
C.当$∠ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是正方形
D
)A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥BD$时,它是菱形
C.当$∠ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是正方形
答案
5.D
解析
【分析】
这道题考查平行四边形基础上特殊平行四边形的判定，解题时需结合菱形、矩形、正方形的判定定理，逐个判断选项正误，最终选出错误的结论。首先明确判定规则：平行四边形前提下，邻边相等或对角线垂直可判定为菱形；有一个内角为直角或对角线相等可判定为矩形；正方形需要同时满足菱形和矩形的判定条件。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：平行四边形ABCD中，AB=BC即一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，该结论正确，不符合题意；
B选项：平行四边形ABCD中，AC⊥BD即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，该结论正确，不符合题意；
C选项：平行四边形ABCD中，∠ABC=90°即有一个内角是直角，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，该结论正确，不符合题意；
D选项：平行四边形ABCD中，AC=BD即对角线相等，此时可判定该平行四边形是矩形，不一定是正方形（正方形还需满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件），该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查特殊平行四边形的判定定理，解题的关键是准确区分不同特殊平行四边形的判定条件，尤其要注意正方形需要同时具备矩形和菱形的特征，避免和矩形、菱形的判定混淆。
【难度系数】
0.8
这道题考查平行四边形基础上特殊平行四边形的判定，解题时需结合菱形、矩形、正方形的判定定理，逐个判断选项正误，最终选出错误的结论。首先明确判定规则：平行四边形前提下，邻边相等或对角线垂直可判定为菱形；有一个内角为直角或对角线相等可判定为矩形；正方形需要同时满足菱形和矩形的判定条件。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：平行四边形ABCD中，AB=BC即一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，该结论正确，不符合题意；
B选项：平行四边形ABCD中，AC⊥BD即对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，该结论正确，不符合题意；
C选项：平行四边形ABCD中，∠ABC=90°即有一个内角是直角，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，该结论正确，不符合题意；
D选项：平行四边形ABCD中，AC=BD即对角线相等，此时可判定该平行四边形是矩形，不一定是正方形（正方形还需满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件），该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查特殊平行四边形的判定定理，解题的关键是准确区分不同特殊平行四边形的判定条件，尤其要注意正方形需要同时具备矩形和菱形的特征，避免和矩形、菱形的判定混淆。
【难度系数】
0.8
6. 两张全等的矩形纸片$ABCD$，$AECF$按如图所示方式交叉叠放在一起，$AB=AF$，$AE=BC$。若$AB=2$，$BC=6$，则图中阴影部分的面积为 （
A.$4$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$6$
B
）A.$4$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$6$
答案
6.B
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察可知阴影为直角三角形ABG，已知AB的长，只需求出直角边BG的长度即可。首先利用矩形的性质和全等矩形的特征，得到证明△ABG和△CEG全等的条件，推出AG=GC；再设BG为未知数，用含未知数的式子表示AG，在Rt△ABG中利用勾股定理列方程求解BG的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设AE与BC的交点为G。
∵ 四边形ABCD、AECF是全等的矩形，
∴ ∠B=∠E=90°，AB=CE=2，BC=6。
在△ABG和△CEG中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ E\\ ∠ AGB=∠ CGE(\mathrm{对顶角相等})\\ AB=CE\end{array} $
∴ △ABG≌△CEG（AAS），
∴ AG=CG。
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，即AG=6-x。
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$AB^2+BG^2=AG^2$
代入数值得：$2^2+x^2=(6-x)^2$
展开整理得：$4+x^2=36-12x+x^2$
消去$x^2$，解得$x=\frac{8}{3}$。
∴ 阴影部分面积$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× AB× BG=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题结合矩形叠放的场景，考查几何综合计算，解题的关键是通过全等三角形得到边的等量关系，利用方程思想结合勾股定理求出未知边长，再计算面积。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察可知阴影为直角三角形ABG，已知AB的长，只需求出直角边BG的长度即可。首先利用矩形的性质和全等矩形的特征，得到证明△ABG和△CEG全等的条件，推出AG=GC；再设BG为未知数，用含未知数的式子表示AG，在Rt△ABG中利用勾股定理列方程求解BG的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设AE与BC的交点为G。
∵ 四边形ABCD、AECF是全等的矩形，
∴ ∠B=∠E=90°，AB=CE=2，BC=6。
在△ABG和△CEG中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ E\\ ∠ AGB=∠ CGE(\mathrm{对顶角相等})\\ AB=CE\end{array} $
∴ △ABG≌△CEG（AAS），
∴ AG=CG。
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，即AG=6-x。
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
$AB^2+BG^2=AG^2$
代入数值得：$2^2+x^2=(6-x)^2$
展开整理得：$4+x^2=36-12x+x^2$
消去$x^2$，解得$x=\frac{8}{3}$。
∴ 阴影部分面积$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}× AB× BG=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题结合矩形叠放的场景，考查几何综合计算，解题的关键是通过全等三角形得到边的等量关系，利用方程思想结合勾股定理求出未知边长，再计算面积。
【难度系数】
0.6
