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7.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:
$AB=AD$(答案不唯一)
,使矩形ABCD是正方形.答案
7.$AB=AD$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD是矩形，矩形已经满足四个角都是直角、对角线相等且平分的性质。而正方形是特殊的矩形，需要额外满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的特征，所以我们只需要添加对应能满足上述特征的条件即可。
【解析】
根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，我们可以添加一组邻边相等的条件，例如$AB=AD$，此时矩形ABCD满足邻边相等，即为正方形。也可添加$AC⊥ BD$等其他符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
$AB=AD$(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题是开放性基础题，考查特殊四边形的判定关联，只要熟练掌握矩形和正方形的性质与判定规则，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确已知条件：四边形ABCD是矩形，矩形已经满足四个角都是直角、对角线相等且平分的性质。而正方形是特殊的矩形，需要额外满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的特征，所以我们只需要添加对应能满足上述特征的条件即可。
【解析】
根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，我们可以添加一组邻边相等的条件，例如$AB=AD$，此时矩形ABCD满足邻边相等，即为正方形。也可添加$AC⊥ BD$等其他符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
$AB=AD$(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质、正方形的判定
【点评】
本题是开放性基础题，考查特殊四边形的判定关联，只要熟练掌握矩形和正方形的性质与判定规则，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8.如图所示，点O为正方形ABCD的两条对角线AC，BD的交点。若正方形ABCD的周长为8 cm，则阴影部分的面积为
$1\ \mathrm{cm}^2$
。答案
8.$1\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先根据正方形周长公式求出正方形的边长，再计算正方形的总面积；接下来结合正方形的中心对称性，观察发现两个阴影部分可以通过割补拼接成正方形内由对角线分成的4个全等等腰直角三角形中的一个，即阴影面积等于正方形面积的四分之一，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知正方形ABCD的周长为8 cm，
根据正方形周长公式，可得正方形的边长为：$8÷4=2\ \mathrm{cm}$，
则正方形ABCD的面积为：$2×2=4\ \mathrm{cm}^2$，
∵正方形是中心对称图形，对角线交点O为其对称中心，
∴阴影部分的面积之和等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，
因此阴影部分的面积为：$4×\frac{1}{4}=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形的性质，中心对称的应用，割补法求面积
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题的核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，简化计算过程，也可通过分别计算两个阴影三角形面积求和验证结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形周长公式求出正方形的边长，再计算正方形的总面积；接下来结合正方形的中心对称性，观察发现两个阴影部分可以通过割补拼接成正方形内由对角线分成的4个全等等腰直角三角形中的一个，即阴影面积等于正方形面积的四分之一，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知正方形ABCD的周长为8 cm，
根据正方形周长公式，可得正方形的边长为：$8÷4=2\ \mathrm{cm}$，
则正方形ABCD的面积为：$2×2=4\ \mathrm{cm}^2$，
∵正方形是中心对称图形，对角线交点O为其对称中心，
∴阴影部分的面积之和等于正方形面积的$\frac{1}{4}$，
因此阴影部分的面积为：$4×\frac{1}{4}=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形的性质，中心对称的应用，割补法求面积
【点评】
本题属于基础的面积计算类题目，解题的核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，简化计算过程，也可通过分别计算两个阴影三角形面积求和验证结果。
【难度系数】
0.7
9. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图(1)所示的菱形教具，此时测得∠D=60°，对角线AC的长为16 cm. 改变教具的形状，使之成为如图(2)所示的正方形，则正方形的边长为
$16\ \mathrm{cm}$
。答案
9.$16\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先抓住“四根长度相等的木条制作教具”这一条件，可知菱形和正方形的边长相等，只需要求出菱形的边长即可。已知菱形中∠D=60°，且菱形的邻边相等，可联想到有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合对角线AC的长度就能推出菱形的边长，进而得到正方形的边长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=DC（菱形的四条边相等），
又
∵ ∠D=60°，
∴ △ACD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AD=AC=16 cm，
∵ 教具是由四根长度相等的木条制成，变形前后边长不变，
∴ 得到的正方形的边长等于菱形的边长，即16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{16\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；正方形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与等边三角形判定的综合应用，解题的核心是抓住图形变形前后边长不变的特点，结合特殊图形的性质推导边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“四根长度相等的木条制作教具”这一条件，可知菱形和正方形的边长相等，只需要求出菱形的边长即可。已知菱形中∠D=60°，且菱形的邻边相等，可联想到有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，结合对角线AC的长度就能推出菱形的边长，进而得到正方形的边长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=DC（菱形的四条边相等），
又
∵ ∠D=60°，
∴ △ACD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AD=AC=16 cm，
∵ 教具是由四根长度相等的木条制成，变形前后边长不变，
∴ 得到的正方形的边长等于菱形的边长，即16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{16\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；正方形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与等边三角形判定的综合应用，解题的核心是抓住图形变形前后边长不变的特点，结合特殊图形的性质推导边长，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.如图所示,图形①是一个边长为 24 cm 的正方形.从图形①中剪去两个等边三角形③(边长为 8 cm)和④(边长为 16 cm)后,形成了图形②,则图形②的周长是
$120\ \mathrm{cm}$
.答案
10.$120\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先对比图形①和图形②的周长差异：图形①是边长24cm的正方形，剪去两个等边三角形得到图形②时，原正方形的右侧整条边被移除，同时新增了等边三角形③的2条边、等边三角形④的2条边，剩余3条正方形的边保持不变，将保留的边长和新增的边长加总即可得到图形②的周长。
【解析】
1. 计算正方形保留的3条边的总长度：$24× 3=72\ \mathrm{cm}$
2. 等边三角形三条边长度相等，因此边长为8cm的等边三角形③的2条边长之和：$8× 2=16\ \mathrm{cm}$
3. 边长为16cm的等边三角形④的2条边长之和：$16× 2=32\ \mathrm{cm}$
4. 图形②的总周长：$72+16+32=120\ \mathrm{cm}$
【答案】
$120\ \mathrm{cm}$
【知识点】
周长的计算；等边三角形的性质；图形剪切的周长变化
【点评】
本题属于周长计算的基础变形题，解题核心是准确梳理图形剪切后周长的增减变化，区分保留的原有边长和新增的边长，避免漏算或错算移除的边即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解题时先对比图形①和图形②的周长差异：图形①是边长24cm的正方形，剪去两个等边三角形得到图形②时，原正方形的右侧整条边被移除，同时新增了等边三角形③的2条边、等边三角形④的2条边，剩余3条正方形的边保持不变，将保留的边长和新增的边长加总即可得到图形②的周长。
【解析】
1. 计算正方形保留的3条边的总长度：$24× 3=72\ \mathrm{cm}$
2. 等边三角形三条边长度相等，因此边长为8cm的等边三角形③的2条边长之和：$8× 2=16\ \mathrm{cm}$
3. 边长为16cm的等边三角形④的2条边长之和：$16× 2=32\ \mathrm{cm}$
4. 图形②的总周长：$72+16+32=120\ \mathrm{cm}$
【答案】
$120\ \mathrm{cm}$
【知识点】
周长的计算；等边三角形的性质；图形剪切的周长变化
【点评】
本题属于周长计算的基础变形题，解题核心是准确梳理图形剪切后周长的增减变化，区分保留的原有边长和新增的边长，避免漏算或错算移除的边即可正确解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，BD＝10，点E，F是BD上的两点，BE＝DF＝2.求四边形AECF的周长.
答案
11.解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore OD=OB,OA=OC,BD⊥ AC$.
$\because BE=DF,\therefore OE=OF.\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形. 又 $\because EF⊥ AC,\therefore$ 四边形 $AECF$ 为菱形.
$\because BD=10,BE=DF=2,\therefore OE=5-2=3,OC=5.\therefore CE=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的周长为 $4\sqrt{34}$.
$\because BE=DF,\therefore OE=OF.\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形. 又 $\because EF⊥ AC,\therefore$ 四边形 $AECF$ 为菱形.
$\because BD=10,BE=DF=2,\therefore OE=5-2=3,OC=5.\therefore CE=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的周长为 $4\sqrt{34}$.
解析
【分析】
解题时先从正方形的已知条件入手，回忆正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，结合BE=DF的条件推导出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形；再利用AC与BD垂直的特点，判定该平行四边形是菱形，根据菱形四条边相等的性质，只需计算出一条边的长度，再乘4即可得到周长；边长计算可通过勾股定理完成，先求出OC和OE的长度，再代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore OD=OB,OA=OC,BD⊥ AC,AC=BD=10$。
$\because BE=DF$，
$\therefore OB-BE=OD-DF$，即 $OE=OF$，
$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又 $\because EF⊥ AC$，
$\therefore$ 平行四边形 $AECF$ 为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
$\because BD=10$，$\therefore OC=OB=\frac{1}{2}BD=5$，
$\because BE=2$，$\therefore OE=OB-BE=5-2=3$，
在$\mathrm{Rt}△ COE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的周长为 $4× CE=4\sqrt{34}$。
【答案】
$4\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的常见基础题型，解题核心是先利用正方形对角线的性质判定目标四边形为菱形，将周长计算简化为单条边长的求解，再结合勾股定理计算即可，能有效考查学生对特殊四边形判定、性质及勾股定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从正方形的已知条件入手，回忆正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质，结合BE=DF的条件推导出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形；再利用AC与BD垂直的特点，判定该平行四边形是菱形，根据菱形四条边相等的性质，只需计算出一条边的长度，再乘4即可得到周长；边长计算可通过勾股定理完成，先求出OC和OE的长度，再代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore OD=OB,OA=OC,BD⊥ AC,AC=BD=10$。
$\because BE=DF$，
$\therefore OB-BE=OD-DF$，即 $OE=OF$，
$\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又 $\because EF⊥ AC$，
$\therefore$ 平行四边形 $AECF$ 为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
$\because BD=10$，$\therefore OC=OB=\frac{1}{2}BD=5$，
$\because BE=2$，$\therefore OE=OB-BE=5-2=3$，
在$\mathrm{Rt}△ COE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，
$\therefore$ 菱形 $AECF$ 的周长为 $4× CE=4\sqrt{34}$。
【答案】
$4\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的常见基础题型，解题核心是先利用正方形对角线的性质判定目标四边形为菱形，将周长计算简化为单条边长的求解，再结合勾股定理计算即可，能有效考查学生对特殊四边形判定、性质及勾股定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图所示,在正方形ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,在AE上截取AM＝BE,延长AD到点F,使AF＝AE,连接MF,EF.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ FMA$;
(2)若$AB＝4,BE＝3$,求$EF$的长.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ FMA$;
(2)若$AB＝4,BE＝3$,求$EF$的长.
答案
12.(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,$\therefore ∠ B=∠ BAD=90°$.
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ BAE+∠ EAF=90°.\therefore ∠ AEB=∠ EAF$.
在 $△ ABE$ 和 $△ FMA$ 中,$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠ AEB=∠ MAF, \\ BE=AM, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FMA(\mathrm{SAS})$.
(2)解: 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
$\because △ ABE≌△ FMA,\therefore AM=BE=3,FM=AB=4,∠ AMF=∠ ABC=90°$.
$\therefore ME=AE-AM=5-3=2$.
在 $\mathrm{Rt}△ EFM$ 中,$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ BAE+∠ EAF=90°.\therefore ∠ AEB=∠ EAF$.
在 $△ ABE$ 和 $△ FMA$ 中,$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠ AEB=∠ MAF, \\ BE=AM, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FMA(\mathrm{SAS})$.
(2)解: 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
$\because △ ABE≌△ FMA,\therefore AM=BE=3,FM=AB=4,∠ AMF=∠ ABC=90°$.
$\therefore ME=AE-AM=5-3=2$.
在 $\mathrm{Rt}△ EFM$ 中,$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABE≌△FMA，先结合已知条件找全等所需的要素：已知AM=BE、AF=AE，只需证明两组边的夹角相等即可。根据正方形的内角为90°，可得∠B=∠BAD=90°，利用同角的余角相等可推出∠AEB=∠MAF，满足SAS全等判定条件。
(2)要求EF的长，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长度，再利用全等三角形的性质得到FM的长度以及∠AMF=90°，可得△EFM为直角三角形，算出ME的长度后，再次用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B=∠BAD=90°。
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴ ∠AEB=∠EAF。
在△ABE和△FMA中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠AEB=∠MAF, \\ BE=AM, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FMA(SAS)。
(2)解：在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ △ABE≌△FMA，
∴ AM=BE=3，FM=AB=4，∠AMF=∠ABC=90°，即FM⊥AE。
∴ $ME=AE-AM=5-3=2$。
在Rt△EFM中，由勾股定理得$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)已证△ABE≌△FMA；(2)$EF=2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将正方形、全等三角形、勾股定理三个考点结合考查，解题核心是先利用正方形的直角特征推导等角关系完成全等证明，再借助全等的性质转化边和角的条件，构造直角三角形计算线段长度，能较好地考查学生的逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABE≌△FMA，先结合已知条件找全等所需的要素：已知AM=BE、AF=AE，只需证明两组边的夹角相等即可。根据正方形的内角为90°，可得∠B=∠BAD=90°，利用同角的余角相等可推出∠AEB=∠MAF，满足SAS全等判定条件。
(2)要求EF的长，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长度，再利用全等三角形的性质得到FM的长度以及∠AMF=90°，可得△EFM为直角三角形，算出ME的长度后，再次用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B=∠BAD=90°。
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴ ∠AEB=∠EAF。
在△ABE和△FMA中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠AEB=∠MAF, \\ BE=AM, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FMA(SAS)。
(2)解：在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ △ABE≌△FMA，
∴ AM=BE=3，FM=AB=4，∠AMF=∠ABC=90°，即FM⊥AE。
∴ $ME=AE-AM=5-3=2$。
在Rt△EFM中，由勾股定理得$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)已证△ABE≌△FMA；(2)$EF=2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，将正方形、全等三角形、勾股定理三个考点结合考查，解题核心是先利用正方形的直角特征推导等角关系完成全等证明，再借助全等的性质转化边和角的条件，构造直角三角形计算线段长度，能较好地考查学生的逻辑推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
