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7. 若$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，斜边长$c=2$，则$a^2 + b^2 =$
4
.答案
7.4
解析
【分析】
这道题考查勾股定理的直接应用，首先明确题目给出的是直角三角形，且已知斜边长c=2，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，只需将斜边长度代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$中$c$为斜边长
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
又
∵$c=2$
∴$a^2 + b^2 = 2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，解题时只需明确直角三角形的斜边，对应代入公式计算即可，解题难度低。
【难度系数】
0.9
这道题考查勾股定理的直接应用，首先明确题目给出的是直角三角形，且已知斜边长c=2，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，只需将斜边长度代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$中$c$为斜边长
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
又
∵$c=2$
∴$a^2 + b^2 = 2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，解题时只需明确直角三角形的斜边，对应代入公式计算即可，解题难度低。
【难度系数】
0.9
8.如图所示，某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成.若BC=5 cm，AC=13 cm，则AB的长为
12
cm. 答案
8.12
解析
【分析】
由题意可知AB为水平方向、BC为竖直方向，因此∠ABC是直角，△ABC为直角三角形。题目已知直角三角形的斜边AC和一条直角边BC的长度，要求另一条直角边AB的长度，直接利用勾股定理列式计算即可。
【解析】
解：
∵AB为水平方向，BC为竖直方向，
∴∠ABC=90°，△ABC是直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将BC=5 cm，AC=13 cm代入公式：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵线段长度为正数，
∴$AB=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是结合实际场景判断出三角形为直角三角形，再准确代入勾股定理计算即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
由题意可知AB为水平方向、BC为竖直方向，因此∠ABC是直角，△ABC为直角三角形。题目已知直角三角形的斜边AC和一条直角边BC的长度，要求另一条直角边AB的长度，直接利用勾股定理列式计算即可。
【解析】
解：
∵AB为水平方向，BC为竖直方向，
∴∠ABC=90°，△ABC是直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将BC=5 cm，AC=13 cm代入公式：
$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
∵线段长度为正数，
∴$AB=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是结合实际场景判断出三角形为直角三角形，再准确代入勾股定理计算即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
9.已知数$a$，8和15，使这三个数恰好是一个直角三角形三边的长，则$a$的值为
17或$\sqrt{161}$
。答案
9.17或$\sqrt{161}$
解析
【分析】
题目未明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论求解。首先根据边长大小判断，8小于15，所以8不可能是斜边，仅存在两种可能：斜边为a，或斜边为15，再结合勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），且边长为正数，分别计算a的值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理：
$a^2=8^2+15^2=64+225=289$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{289}=17$
2. 当15为直角三角形的斜边时，a为直角边，根据勾股定理：
$a^2+8^2=15^2$
整理得$a^2=15^2-8^2=225-64=161$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{161}$
综上，a的取值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是直接默认a为斜边，忽略15作为斜边的情况导致漏解，求解未明确斜边的直角三角形边长问题时，需先分析斜边的所有可能情况，再结合勾股定理计算。
【难度系数】
0.7
题目未明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论求解。首先根据边长大小判断，8小于15，所以8不可能是斜边，仅存在两种可能：斜边为a，或斜边为15，再结合勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），且边长为正数，分别计算a的值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理：
$a^2=8^2+15^2=64+225=289$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{289}=17$
2. 当15为直角三角形的斜边时，a为直角边，根据勾股定理：
$a^2+8^2=15^2$
整理得$a^2=15^2-8^2=225-64=161$
由于边长为正数，因此$a=\sqrt{161}$
综上，a的取值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是直接默认a为斜边，忽略15作为斜边的情况导致漏解，求解未明确斜边的直角三角形边长问题时，需先分析斜边的所有可能情况，再结合勾股定理计算。
【难度系数】
0.7
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$.
(1)已知$a=6,c=10$，求$b$；
(2)已知$a=5,b=12$，求$c$.
(1)已知$a=6,c=10$，求$b$；
(2)已知$a=5,b=12$，求$c$.
答案
(1)$\because ∠C=90°,a=6,c=10,\therefore b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$.即$b$的值为8.
(2)$\because ∠C=90°,a=5,b=12,\therefore c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$.即$c$的值为13.
(2)$\because ∠C=90°,a=5,b=12,\therefore c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$.即$c$的值为13.
解析
【分析】
本题考查直角三角形中勾股定理的应用，解题思路如下：首先明确在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ C$的对边$c$是斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。(1)问已知直角边$a$和斜边$c$，求另一条直角边$b$，可将勾股定理变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可，注意边长为正数，仅取算术平方根；(2)问已知两条直角边$a$、$b$，求斜边$c$，直接套用勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=6$，$c=10$，$c$为斜边
$\therefore$ 由勾股定理可得：$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
即$b$的值为8。
(2) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=5$，$b=12$，$c$为斜边
$\therefore$ 由勾股定理可得：$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
即$c$的值为13。
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=13$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是先确定直角所对的斜边，再根据已知边的类型选择合适的勾股定理变形公式计算，是后续学习解直角三角形相关内容的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形中勾股定理的应用，解题思路如下：首先明确在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ C$的对边$c$是斜边，满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$。(1)问已知直角边$a$和斜边$c$，求另一条直角边$b$，可将勾股定理变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可，注意边长为正数，仅取算术平方根；(2)问已知两条直角边$a$、$b$，求斜边$c$，直接套用勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=6$，$c=10$，$c$为斜边
$\therefore$ 由勾股定理可得：$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
即$b$的值为8。
(2) $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=5$，$b=12$，$c$为斜边
$\therefore$ 由勾股定理可得：$c=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
即$c$的值为13。
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=13$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是先确定直角所对的斜边，再根据已知边的类型选择合适的勾股定理变形公式计算，是后续学习解直角三角形相关内容的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
11. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$是$BC$的中点，$DE ⊥ AB$于点$E$，求证：$AE^2 = AC^2 + BE^2$。
答案
证明:在$△ ABC$ 中,$∠C=90°$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥AB$于点$E$，如图所示，连接$AD$，
$\therefore BD=CD.\therefore AE^2=AD^2 - DE^2=AC^2 + CD^2 - (BD^2 - BE^2)=AC^2 + BE^2$。
解析
【分析】
要证明平方形式的线段等量关系，优先考虑用勾股定理求解。观察图形已知∠C=90°、DE⊥AB两个直角条件，但现有直角三角形无法直接将AE、AC、BE的平方建立关联，因此考虑连接AD作为公共斜边，构造Rt△ACD、Rt△ADE、Rt△BDE三个直角三角形，分别写出勾股定理表达式，再结合D是BC中点（BD=CD）的条件，对表达式进行化简，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接AD。
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
∵ ∠C=90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 + CD^2$。
∵ DE⊥AB，在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，即$AE^2 = AD^2 - DE^2$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$BE^2 + DE^2 = BD^2$，即$DE^2 = BD^2 - BE^2$。
将$AD^2 = AC^2 + CD^2$、$DE^2 = BD^2 - BE^2$代入$AE^2 = AD^2 - DE^2$，得：
$AE^2 = AC^2 + CD^2 - (BD^2 - BE^2)$
又
∵ CD=BD，
∴ $CD^2=BD^2$，代入化简可得：
$AE^2 = AC^2 + BE^2$，原式得证。
【答案】
证明:在$△ ABC$ 中,$∠C=90°$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥AB$于点$E$，如图所示，连接$AD$，
$\therefore BD=CD.\therefore AE^2=AD^2 - DE^2=AC^2 + CD^2 - (BD^2 - BE^2)=AC^2 + BE^2$。
【知识点】
勾股定理；中点性质；辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是通过连接辅助线AD，将分散的线段平方关系通过公共边AD建立关联，结合中点条件化简即可得证，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要证明平方形式的线段等量关系，优先考虑用勾股定理求解。观察图形已知∠C=90°、DE⊥AB两个直角条件，但现有直角三角形无法直接将AE、AC、BE的平方建立关联，因此考虑连接AD作为公共斜边，构造Rt△ACD、Rt△ADE、Rt△BDE三个直角三角形，分别写出勾股定理表达式，再结合D是BC中点（BD=CD）的条件，对表达式进行化简，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接AD。
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
∵ ∠C=90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 + CD^2$。
∵ DE⊥AB，在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，即$AE^2 = AD^2 - DE^2$。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$BE^2 + DE^2 = BD^2$，即$DE^2 = BD^2 - BE^2$。
将$AD^2 = AC^2 + CD^2$、$DE^2 = BD^2 - BE^2$代入$AE^2 = AD^2 - DE^2$，得：
$AE^2 = AC^2 + CD^2 - (BD^2 - BE^2)$
又
∵ CD=BD，
∴ $CD^2=BD^2$，代入化简可得：
$AE^2 = AC^2 + BE^2$，原式得证。
【答案】
证明:在$△ ABC$ 中,$∠C=90°$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥AB$于点$E$，如图所示，连接$AD$，
$\therefore BD=CD.\therefore AE^2=AD^2 - DE^2=AC^2 + CD^2 - (BD^2 - BE^2)=AC^2 + BE^2$。
【知识点】
勾股定理；中点性质；辅助线构造
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是通过连接辅助线AD，将分散的线段平方关系通过公共边AD建立关联，结合中点条件化简即可得证，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
