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9. 用合适的方法解下列方程：
(1)$(x+4)^2 = 5(x+4)$；
(2)$(x+1)^2 = 4x$；
(3)$(x+3)^2 = (1-2x)^2$；
(4)$(x-2)^2 + 2(x-2) - 3 = 0$。
(1)$(x+4)^2 = 5(x+4)$；
(2)$(x+1)^2 = 4x$；
(3)$(x+3)^2 = (1-2x)^2$；
(4)$(x-2)^2 + 2(x-2) - 3 = 0$。
答案
9. (1)移项、因式分解,得$(x+4)(x-1)=0$,$x+4=0$或$x-1=0$,解得 $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
(2)整理,得$x^2-2x+1=0$,$(x-1)^2=0$,解得 $x_1 = x_2 = 1$.
(3)移项,得$(x+3)^2-(1-2x)^2=0$,因式分解,得$(4-x)(3x+2)=0$,解得 $x_1=4$,$x_2=-\dfrac{2}{3}$.
(4)整理,得$(x-2)^2+2(x-2)+1=3+1$,$(x-2+1)^2=4$,$x-1=±2$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$.
(2)整理,得$x^2-2x+1=0$,$(x-1)^2=0$,解得 $x_1 = x_2 = 1$.
(3)移项,得$(x+3)^2-(1-2x)^2=0$,因式分解,得$(4-x)(3x+2)=0$,解得 $x_1=4$,$x_2=-\dfrac{2}{3}$.
(4)整理,得$(x-2)^2+2(x-2)+1=3+1$,$(x-2+1)^2=4$,$x-1=±2$,解得 $x_1=3$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
解这组一元二次方程时，要先观察方程的结构特征，选择最简便的方法，避免不必要的计算：
(1) 方程两边都有公因式$(x+4)$，注意不能直接两边除以$(x+4)$（会漏掉$x=-4$的根），优先选择移项后提公因式因式分解求解；
(2) 先展开方程左边，整理后可得到完全平方式，用因式分解或配方法都可快速求解；
(3) 方程两边都是完全平方式，移项后可利用平方差公式因式分解，比直接展开计算更简便；
(4) 把$(x-2)$看成一个整体，用配方法求解，不需要先展开括号，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 移项得：$(x+4)^2 - 5(x+4) = 0$，
提公因式因式分解得：$(x+4)(x+4 - 5) = 0$，即$(x+4)(x-1)=0$，
$\therefore x+4=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=1$。
(2) 展开左边得：$x^2 + 2x + 1 = 4x$，
移项整理得：$x^2 - 2x + 1 = 0$，
因式分解得：$(x-1)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 1$。
(3) 移项得：$(x+3)^2 - (1-2x)^2 = 0$，
利用平方差公式因式分解得：$[(x+3)+(1-2x)][(x+3)-(1-2x)] = 0$，
化简得：$(4 - x)(3x + 2) = 0$，
$\therefore 4 - x = 0$或$3x + 2 = 0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
(4) 把$(x-2)$看成整体，配方得：$(x-2)^2 + 2(x-2) + 1 = 3 + 1$，
即$(x-2 + 1)^2 = 4$，也就是$(x - 1)^2 = 4$，
开方得：$x - 1 = ±2$，
$\therefore x - 1 = 2$或$x - 1 = -2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=-4$，$x_2=1$；
(2) $x_1=x_2=1$；
(3) $x_1=4$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$；
(4) $x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，解题时优先观察方程结构，选择因式分解、配方法、整体代换等简便方法，可有效减少计算量，避免漏根、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
解这组一元二次方程时，要先观察方程的结构特征，选择最简便的方法，避免不必要的计算：
(1) 方程两边都有公因式$(x+4)$，注意不能直接两边除以$(x+4)$（会漏掉$x=-4$的根），优先选择移项后提公因式因式分解求解；
(2) 先展开方程左边，整理后可得到完全平方式，用因式分解或配方法都可快速求解；
(3) 方程两边都是完全平方式，移项后可利用平方差公式因式分解，比直接展开计算更简便；
(4) 把$(x-2)$看成一个整体，用配方法求解，不需要先展开括号，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 移项得：$(x+4)^2 - 5(x+4) = 0$，
提公因式因式分解得：$(x+4)(x+4 - 5) = 0$，即$(x+4)(x-1)=0$，
$\therefore x+4=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=1$。
(2) 展开左边得：$x^2 + 2x + 1 = 4x$，
移项整理得：$x^2 - 2x + 1 = 0$，
因式分解得：$(x-1)^2 = 0$，
解得$x_1 = x_2 = 1$。
(3) 移项得：$(x+3)^2 - (1-2x)^2 = 0$，
利用平方差公式因式分解得：$[(x+3)+(1-2x)][(x+3)-(1-2x)] = 0$，
化简得：$(4 - x)(3x + 2) = 0$，
$\therefore 4 - x = 0$或$3x + 2 = 0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
(4) 把$(x-2)$看成整体，配方得：$(x-2)^2 + 2(x-2) + 1 = 3 + 1$，
即$(x-2 + 1)^2 = 4$，也就是$(x - 1)^2 = 4$，
开方得：$x - 1 = ±2$，
$\therefore x - 1 = 2$或$x - 1 = -2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=-4$，$x_2=1$；
(2) $x_1=x_2=1$；
(3) $x_1=4$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$；
(4) $x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，解题时优先观察方程结构，选择因式分解、配方法、整体代换等简便方法，可有效减少计算量，避免漏根、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2x - 3m^2 = 0 $。
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为$ α $,$ β $,且$ α + 2β = 5 $,求$ m $的值.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为$ α $,$ β $,且$ α + 2β = 5 $,求$ m $的值.
答案
10. (1)
∵ $a=1$,$b=-2$,$c=-3m^2$,
∴ $Δ = (-2)^2-4×1×(-3m^2)=4+12m^2＞0$.
∴ 方程总有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得$\begin{cases}α+β=2,\\α+2β=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}α=-1,\\β=3.\end{cases}$
∵ $αβ = -3m^2$,
∴ $-3m^2=-3$.
∴ $m=±1$.
∴ $m$ 的值为$±1$.
∵ $a=1$,$b=-2$,$c=-3m^2$,
∴ $Δ = (-2)^2-4×1×(-3m^2)=4+12m^2＞0$.
∴ 方程总有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得$\begin{cases}α+β=2,\\α+2β=5.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}α=-1,\\β=3.\end{cases}$
∵ $αβ = -3m^2$,
∴ $-3m^2=-3$.
∴ $m=±1$.
∴ $m$ 的值为$±1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是验证判别式Δ＞0。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac计算，再结合平方的非负性即可判断Δ的符号，完成证明。
（2）已知方程两根为α、β，首先根据根与系数的关系得到α+β的取值，结合题干给出的α+2β=5，联立二元一次方程组求出α、β的具体值，再利用两根之积的关系列关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
∵ 无论m取任意实数，都有$m^2≥0$，
∴ $12m^2≥0$，可得$\Delta=4+12m^2≥4＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = 2$，
结合题意$α + 2β = 5$，联立得到方程组：
$\begin{cases}α+β=2\\α+2β=5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$β=3$，
将$β=3$代入$α+β=2$，解得$α=2-3=-1$，
再根据根与系数的关系，两根之积满足$αβ = \frac{c}{a} = -3m^2$，
将$α=-1$、$β=3$代入得：$(-1)×3 = -3m^2$，
化简得$-3 = -3m^2$，即$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式、根与系数关系的应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关基础公式，按步骤联立计算即可完成解答，是巩固一元二次方程核心性质的典型习题。
【难度系数】
0.75
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是验证判别式Δ＞0。首先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入Δ=b²-4ac计算，再结合平方的非负性即可判断Δ的符号，完成证明。
（2）已知方程两根为α、β，首先根据根与系数的关系得到α+β的取值，结合题干给出的α+2β=5，联立二元一次方程组求出α、β的具体值，再利用两根之积的关系列关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
∵ 无论m取任意实数，都有$m^2≥0$，
∴ $12m^2≥0$，可得$\Delta=4+12m^2≥4＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = 2$，
结合题意$α + 2β = 5$，联立得到方程组：
$\begin{cases}α+β=2\\α+2β=5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$β=3$，
将$β=3$代入$α+β=2$，解得$α=2-3=-1$，
再根据根与系数的关系，两根之积满足$αβ = \frac{c}{a} = -3m^2$，
将$α=-1$、$β=3$代入得：$(-1)×3 = -3m^2$，
化简得$-3 = -3m^2$，即$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$\pm1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式、根与系数关系的应用，解题思路清晰，只要熟练掌握相关基础公式，按步骤联立计算即可完成解答，是巩固一元二次方程核心性质的典型习题。
【难度系数】
0.75
三、实际问题与一元二次方程
1. 李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元. 若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是 (
A.10.5%
B.10%
C.20%
D.21%
1. 李师傅家的超市今年1月盈利3 000元,3月盈利3 630元. 若从1月到3月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是 (
B
)A.10.5%
B.10%
C.20%
D.21%
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用等量关系：若初始值为a，平均增长率为x，经过n轮增长后得到的终值为b，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中初始值是1月盈利3000元，从1月到3月共经过2次增长，终值是3月盈利3630元，代入等量关系列方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
设每月盈利的平均增长率为x。
根据题意，1月盈利为3000元，经过2次增长后3月盈利为3630元，可列方程：
$3000(1+x)^2 = 3630$
方程两边同时除以3000，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+x = ±1.1$
因为盈利的增长率为正数，所以$1+x＞0$，舍去$1+x=-1.1$的情况，即：
$1+x=1.1$
解得$x=0.1=10\%$
因此平均增长率为10%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心考查平均增长率公式的运用，解题的关键是找准初始值、增长次数、终值这三个核心量，列出正确的方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用等量关系：若初始值为a，平均增长率为x，经过n轮增长后得到的终值为b，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中初始值是1月盈利3000元，从1月到3月共经过2次增长，终值是3月盈利3630元，代入等量关系列方程，求解后结合增长率为正数的实际要求舍去不符合的解即可得到答案。
【解析】
设每月盈利的平均增长率为x。
根据题意，1月盈利为3000元，经过2次增长后3月盈利为3630元，可列方程：
$3000(1+x)^2 = 3630$
方程两边同时除以3000，得：
$(1+x)^2 = 1.21$
开平方得：
$1+x = ±1.1$
因为盈利的增长率为正数，所以$1+x＞0$，舍去$1+x=-1.1$的情况，即：
$1+x=1.1$
解得$x=0.1=10\%$
因此平均增长率为10%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心考查平均增长率公式的运用，解题的关键是找准初始值、增长次数、终值这三个核心量，列出正确的方程，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图 1,某小区计划在一块长为32 m、宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为 570 $\mathrm{m}^2$. 若设道路的宽为$x$ m,则下面所列方程正确的是 (
A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
A
)A.$(32-2x)(20-x)=570$
B.$32x+2×20x=32×20-570$
C.$(32-x)(20-x)=32×20-570$
D.$32x+2×20x-2x^2=570$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是列一元二次方程解决几何面积的问题，可采用平移法简化计算：我们可以把三条道路分别向矩形的边缘平移，剩余的草坪区域会拼成一个完整的矩形，只需要求出这个新矩形的长和宽，再根据草坪面积列方程即可。首先观察道路分布：有2条竖直方向的道路，宽均为x m，所以新矩形的长等于原矩形长减去2个道路宽度，即$(32-2x)\ \mathrm{m}$；有1条水平方向的道路，宽为x m，所以新矩形的宽等于原矩形宽减去1个道路宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
使用平移法处理道路区域：将2条竖直道路向矩形右侧平移，1条水平道路向矩形下侧平移，此时剩余种植草坪的区域恰好形成一个完整的矩形。
1. 求草坪矩形的长：原矩形长32m减去2条竖直道路的宽度，即$(32-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 求草坪矩形的宽：原矩形宽20m减去1条水平道路的宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知草坪面积为$570\ \mathrm{m}^2$，根据“矩形面积=长×宽”，可列方程：
$(32-2x)(20-x)=570$，对应选项A。
也可通过排除法验证其他选项：选项B计算道路面积时未减去道路交叉处重复计算的$2x^2$部分，错误；选项C未减去2条竖直道路的总宽度2x，错误；选项D左侧为道路面积表达式，不应等于草坪面积570，错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、平移法求面积
【点评】
本题是几何面积类方程应用的常见题型，平移法的使用可以有效避免重复计算道路交叉部分的面积，简化列式过程。
【难度系数】
0.7
本题是列一元二次方程解决几何面积的问题，可采用平移法简化计算：我们可以把三条道路分别向矩形的边缘平移，剩余的草坪区域会拼成一个完整的矩形，只需要求出这个新矩形的长和宽，再根据草坪面积列方程即可。首先观察道路分布：有2条竖直方向的道路，宽均为x m，所以新矩形的长等于原矩形长减去2个道路宽度，即$(32-2x)\ \mathrm{m}$；有1条水平方向的道路，宽为x m，所以新矩形的宽等于原矩形宽减去1个道路宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$，再根据矩形面积公式即可列出对应方程。
【解析】
使用平移法处理道路区域：将2条竖直道路向矩形右侧平移，1条水平道路向矩形下侧平移，此时剩余种植草坪的区域恰好形成一个完整的矩形。
1. 求草坪矩形的长：原矩形长32m减去2条竖直道路的宽度，即$(32-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 求草坪矩形的宽：原矩形宽20m减去1条水平道路的宽度，即$(20-x)\ \mathrm{m}$；
3. 已知草坪面积为$570\ \mathrm{m}^2$，根据“矩形面积=长×宽”，可列方程：
$(32-2x)(20-x)=570$，对应选项A。
也可通过排除法验证其他选项：选项B计算道路面积时未减去道路交叉处重复计算的$2x^2$部分，错误；选项C未减去2条竖直道路的总宽度2x，错误；选项D左侧为道路面积表达式，不应等于草坪面积570，错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、平移法求面积
【点评】
本题是几何面积类方程应用的常见题型，平移法的使用可以有效避免重复计算道路交叉部分的面积，简化列式过程。
【难度系数】
0.7
