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3. 随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某品牌新能源汽车的月销售量由1月份的8 000辆增加到3月份的12 000辆,设该汽车1月至3月销售量平均每月增长率为x,则可列方程为 (
A.$8000(1+2x)=1200$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
B
)A.$8000(1+2x)=1200$
B.$8000(1+x)^2=12000$
C.$8000+8000(1+x)+8000(1+x)^2=12000$
D.$8000×2(1+x)=12000$
答案
3.B
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确题干中的已知量：1月销量为基期量8000辆，3月销量为增长两个月后的单月销量12000辆，每月平均增长率为x；其次回忆增长率的计算逻辑：后一个月的销量是在前一个月销量的基础上乘以(1+增长率)；最后注意题干要求的是3月单月的销量，不是1-3月的总销量，排除求和类的错误选项。
【解析】
已知1月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x：
1. 2月份销售量为1月份销量乘(1+增长率)，即$8000(1+x)$辆；
2. 3月份销售量为2月份销量乘(1+增长率)，即$8000(1+x)×(1+x)=8000(1+x)^2$辆；
结合3月份销售量为12000辆，可列方程为$8000(1+x)^2=12000$。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题考查增长率类方程的列写，解题时要注意区分题干要求的是单个时间节点的量还是多个时间段的累计总量，避免混淆概念选错选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确题干中的已知量：1月销量为基期量8000辆，3月销量为增长两个月后的单月销量12000辆，每月平均增长率为x；其次回忆增长率的计算逻辑：后一个月的销量是在前一个月销量的基础上乘以(1+增长率)；最后注意题干要求的是3月单月的销量，不是1-3月的总销量，排除求和类的错误选项。
【解析】
已知1月份销售量为8000辆，平均每月增长率为x：
1. 2月份销售量为1月份销量乘(1+增长率)，即$8000(1+x)$辆；
2. 3月份销售量为2月份销量乘(1+增长率)，即$8000(1+x)×(1+x)=8000(1+x)^2$辆；
结合3月份销售量为12000辆，可列方程为$8000(1+x)^2=12000$。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题考查增长率类方程的列写，解题时要注意区分题干要求的是单个时间节点的量还是多个时间段的累计总量，避免混淆概念选错选项。
【难度系数】
0.8
4. 村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事. 经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制(即每两支球队之间进行两场比赛)，已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（
A.9支
B.10支
C.11支
D.12支
C
）A.9支
B.10支
C.11支
D.12支
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先要明确双循环赛制的比赛规则：每两支参赛球队之间都要进行2场比赛。我们可以通过设未知数的方法求解：第一步，设参赛球队的数量为x支；第二步，推导总比赛场数的表达式：单循环赛制（每两队赛1场）的总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环是单循环场数的2倍，因此总场数为$x(x-1)$；第三步，根据总场数为110场的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确结果。
【解析】
设参加比赛的球队有$x$支。
根据双循环赛制的规则，总比赛场数满足：每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，去掉重复计数的情况后，总场数为$x(x-1)$。
已知小组赛共比赛110场，因此可列方程：
$x(x-1)=110$
整理得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$。
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x_2=-10$，即参加比赛的球队有11支。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，比赛场次计算
【点评】
本题结合热门的村“BA”赛事情境命题，贴近生活实际，主要考查学生把实际问题转化为数学方程模型的能力，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，得到方程后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确双循环赛制的比赛规则：每两支参赛球队之间都要进行2场比赛。我们可以通过设未知数的方法求解：第一步，设参赛球队的数量为x支；第二步，推导总比赛场数的表达式：单循环赛制（每两队赛1场）的总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环是单循环场数的2倍，因此总场数为$x(x-1)$；第三步，根据总场数为110场的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确结果。
【解析】
设参加比赛的球队有$x$支。
根据双循环赛制的规则，总比赛场数满足：每支球队需要和其余$(x-1)$支球队各赛2场，去掉重复计数的情况后，总场数为$x(x-1)$。
已知小组赛共比赛110场，因此可列方程：
$x(x-1)=110$
整理得：
$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得：
$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$。
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x_2=-10$，即参加比赛的球队有11支。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，比赛场次计算
【点评】
本题结合热门的村“BA”赛事情境命题，贴近生活实际，主要考查学生把实际问题转化为数学方程模型的能力，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，得到方程后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5. 为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为$1200\ \mathrm{m}^2$的矩形绿地，并且长比宽多40 m.设绿地宽为$x\ \mathrm{m}$，根据题意，可列方程为________.
答案
5.$x(x+40)=1\ 200$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目的核心等量关系，本题的等量关系为矩形面积=长×宽。第一步先根据宽为$x\ \mathrm{m}$，结合“长比宽多40 m”的条件，表示出矩形的长；第二步将长、宽、已知的矩形面积代入面积公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设绿地宽为$x\ \mathrm{m}$，因为长比宽多40 m，所以绿地的长为$(x+40)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$1200\ \mathrm{m}^2$，将对应量代入公式可得方程：
$x(x+40)=1200$
【答案】
$x(x+40)=1200$
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，重点考查提取题目等量关系、结合几何公式列方程的能力，只要理清长和宽的数量关系，熟记矩形面积公式即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确题目的核心等量关系，本题的等量关系为矩形面积=长×宽。第一步先根据宽为$x\ \mathrm{m}$，结合“长比宽多40 m”的条件，表示出矩形的长；第二步将长、宽、已知的矩形面积代入面积公式，就能列出对应的方程。
【解析】
设绿地宽为$x\ \mathrm{m}$，因为长比宽多40 m，所以绿地的长为$(x+40)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$1200\ \mathrm{m}^2$，将对应量代入公式可得方程：
$x(x+40)=1200$
【答案】
$x(x+40)=1200$
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，重点考查提取题目等量关系、结合几何公式列方程的能力，只要理清长和宽的数量关系，熟记矩形面积公式即可正确作答。
【难度系数】
0.9
6. 某公司5月份的营业额为25万元,7月份的营业额为36万元,已知5,6月的增长率相同,则增长率为
20%
.答案
6.20%
解析
【分析】
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的等量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数。本题中5月营业额是初始量25万元，到7月经过了2次增长（5月到6月1次，6月到7月1次），7月营业额为36万元，我们可以设增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不合理解，就能得到答案。
【解析】
设该公司营业额的月平均增长率为$ x $。
根据平均增长率的计算公式，5月到7月经过2次增长，可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
分情况计算：
当$ 1+x = \frac{6}{5} $时，解得$ x = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $
当$ 1+x = -\frac{6}{5} $时，解得$ x = -2.2 $，增长率不能为负数，不符合实际意义，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，核心是掌握“增长后量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的等量关系，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率问题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的等量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)^增长次数。本题中5月营业额是初始量25万元，到7月经过了2次增长（5月到6月1次，6月到7月1次），7月营业额为36万元，我们可以设增长率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去不合理解，就能得到答案。
【解析】
设该公司营业额的月平均增长率为$ x $。
根据平均增长率的计算公式，5月到7月经过2次增长，可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
分情况计算：
当$ 1+x = \frac{6}{5} $时，解得$ x = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $
当$ 1+x = -\frac{6}{5} $时，解得$ x = -2.2 $，增长率不能为负数，不符合实际意义，舍去。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，核心是掌握“增长后量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的等量关系，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
7. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$的一个根,则此三角形的周长是
16
.答案
7.16
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到腰长的两个可能取值；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分别写出两种腰长对应的三角形三边长；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合要求的三角形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$：
对左边因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即腰长可能为3或5。
2. 分情况验证并计算周长：
① 若腰长为3，此时三角形三边长为3、3、6，
因为$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故舍去该情况；
② 若腰长为5，此时三角形三边长为5、5、6，
因为$5+5＞6$，$5+6＞5$，满足三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$5+5+6=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意在得到方程的根后，不能直接代入计算周长，一定要结合三角形三边关系验证取值是否合理，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到腰长的两个可能取值；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分别写出两种腰长对应的三角形三边长；第三步根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合要求的三角形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 - 8x + 15 = 0$：
对左边因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即腰长可能为3或5。
2. 分情况验证并计算周长：
① 若腰长为3，此时三角形三边长为3、3、6，
因为$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，故舍去该情况；
② 若腰长为5，此时三角形三边长为5、5、6，
因为$5+5＞6$，$5+6＞5$，满足三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$5+5+6=16$。
【答案】
16
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时需注意在得到方程的根后，不能直接代入计算周长，一定要结合三角形三边关系验证取值是否合理，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8. 如图2,某小区矩形绿地的长、宽分别为35 m,15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.
(1)若扩充后的矩形绿地面积为$800\ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地的长与宽;
(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$,求新的矩形绿地面积.
(1)若扩充后的矩形绿地面积为$800\ \mathrm{m}^2$,求新的矩形绿地的长与宽;
(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为$5:3$,求新的矩形绿地面积.
答案
8. (1)设将绿地的长、宽都增加$x$ m,则新的矩形绿地的长为$(35+x)$m,宽为$(15+x)$m. 根据题意,得$(35+x)(15+x)=800$. 整理,得$x^2+50x-275=0$. 解得 $x_1=5$,$x_2=-55$(不符合题意,舍去),所以$35+x=35+5=40$,$15+x=15+5=20$. 所以新的矩形绿地的长为40 m,宽为20 m.
(2)设将绿地的长、宽都增加$y$ m,则新的矩形绿地的长为$(35+y)$m,宽为$(15+y)$m. 根据题意得$(35+y):(15+y)=5:3$,即$3(35+y)=5(15+y)$. 解得 $y=15$,符合题意. 所以$(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1\ 500$. 所以新的矩形绿地面积为$1\ 500\ \mathrm{m}^2$.
(2)设将绿地的长、宽都增加$y$ m,则新的矩形绿地的长为$(35+y)$m,宽为$(15+y)$m. 根据题意得$(35+y):(15+y)=5:3$,即$3(35+y)=5(15+y)$. 解得 $y=15$,符合题意. 所以$(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1\ 500$. 所以新的矩形绿地面积为$1\ 500\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题是方程在矩形几何问题中的实际应用题，解题思路如下：(1)第一问为面积类问题，先设长和宽增加的相同长度为x m，即可表示出新矩形的长和宽，再结合“扩充后面积为800$\mathrm{m}^2$”的条件，利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到新矩形的长宽；(2)第二问为比例类问题，设长和宽增加的相同长度为y m，结合新矩形长宽比为5:3，根据比例的基本性质列方程，求出y的值后代入长宽表达式，再计算面积即可。
【解析】
(1) 设绿地的长、宽都增加$x$ m，则新矩形绿地的长为$(35+x)$ m，宽为$(15+x)$ m。
根据题意得：
$(35+x)(15+x)=800$
整理得$x^2+50x-275=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-55$，增加的长度不能为负，因此$x_2=-55$不符合题意舍去。
则新矩形长为$35+5=40$（m），宽为$15+5=20$（m）。
(2) 设绿地的长、宽都增加$y$ m，则新矩形绿地的长为$(35+y)$ m，宽为$(15+y)$ m。
根据题意得：
$(35+y):(15+y)=5:3$
根据比例性质得$3(35+y)=5(15+y)$
解得$y=15$，符合实际意义。
新矩形面积为$(35+15)×(15+15)=1500$（$\mathrm{m}^2$）。
【答案】
(1) 新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m；
(2) 新的矩形绿地面积为$1500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，主要考查学生根据等量关系列方程求解的能力，解题时需注意结合实际情况对解得的根进行取舍，是实际应用类问题的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是方程在矩形几何问题中的实际应用题，解题思路如下：(1)第一问为面积类问题，先设长和宽增加的相同长度为x m，即可表示出新矩形的长和宽，再结合“扩充后面积为800$\mathrm{m}^2$”的条件，利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到新矩形的长宽；(2)第二问为比例类问题，设长和宽增加的相同长度为y m，结合新矩形长宽比为5:3，根据比例的基本性质列方程，求出y的值后代入长宽表达式，再计算面积即可。
【解析】
(1) 设绿地的长、宽都增加$x$ m，则新矩形绿地的长为$(35+x)$ m，宽为$(15+x)$ m。
根据题意得：
$(35+x)(15+x)=800$
整理得$x^2+50x-275=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-55$，增加的长度不能为负，因此$x_2=-55$不符合题意舍去。
则新矩形长为$35+5=40$（m），宽为$15+5=20$（m）。
(2) 设绿地的长、宽都增加$y$ m，则新矩形绿地的长为$(35+y)$ m，宽为$(15+y)$ m。
根据题意得：
$(35+y):(15+y)=5:3$
根据比例性质得$3(35+y)=5(15+y)$
解得$y=15$，符合实际意义。
新矩形面积为$(35+15)×(15+15)=1500$（$\mathrm{m}^2$）。
【答案】
(1) 新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m；
(2) 新的矩形绿地面积为$1500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，比例的性质，矩形面积计算
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，主要考查学生根据等量关系列方程求解的能力，解题时需注意结合实际情况对解得的根进行取舍，是实际应用类问题的常考题型。
【难度系数】
0.7
