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9. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/kg. 在销售过程中发现,当这种水果的价格定在7元/kg时,每天可以卖出160 kg. 在此基础上,这种水果的单价每提高1元,该水果店每天就会少卖出20 kg.
(1)当定价为13元/kg时,求水果店每天的利润.
(2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元,为了让利于顾客,定价应为多少? 请用方程的方法解决问题.
(1)当定价为13元/kg时,求水果店每天的利润.
(2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元,为了让利于顾客,定价应为多少? 请用方程的方法解决问题.
答案
9. (1)当定价为13元/kg时,可以卖出$160-(13-7)×20 = 160-120 = 40(\mathrm{kg})$. 利润为$(13-5)×40=8×40=320(\mathrm{元})$.
(2)设该水果定价为$x$元/kg. 由题意知,$(x-5)[160-20(x-7)]=420$. 整理,得$x^2-20x+96=0$. 解得 $x_1=12$,$x_2=8$.
∵ 为了让利于顾客,
∴ $x=8$.
∴ 定价应为8元/kg.
(2)设该水果定价为$x$元/kg. 由题意知,$(x-5)[160-20(x-7)]=420$. 整理,得$x^2-20x+96=0$. 解得 $x_1=12$,$x_2=8$.
∵ 为了让利于顾客,
∴ $x=8$.
∴ 定价应为8元/kg.
解析
【分析】
(1) 求解定价13元/kg时的利润，需先明确总利润=每千克利润×当天销售量。首先计算定价13元比基础定价7元高出的金额，结合“单价每提高1元少卖20kg”算出当天实际销售量，再用“（售价-成本价）×销售量”即可算出总利润。
(2) 要求用方程求解，首先设定价为x元/kg，先分别表示出两个核心量：①每千克利润为(x-5)元；②销售量为基础销量160kg减去因涨价减少的销量20(x-7)kg。根据“总利润=每千克利润×销售量=420元”列方程，求解后结合“让利于顾客”的要求，选择价格更低的解即可。
【解析】
(1) 当定价为13元/kg时，
当天销售量为：$160-(13-7)×20 = 160-120 = 40(\mathrm{kg})$
每千克利润为：$13-5=8(\mathrm{元})$
总利润为：$8×40=320(\mathrm{元})$
(2) 设该水果定价为$x$元/kg，依题意得：
$(x-5)[160-20(x-7)]=420$
整理方程：
展开括号得$(x-5)(300-20x)=420$
化简为标准一元二次方程形式：$x^2-20x+96=0$
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$
解得 $x_1=12$，$x_2=8$
∵要让利于顾客，需选择更低的定价，
∴$x=8$
【答案】
(1) 320元；(2) 8元/kg
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列算式或方程，解题时要注意结合题目的实际要求对解得的结果进行筛选，贴合生活实际场景。
【难度系数】
0.7
(1) 求解定价13元/kg时的利润，需先明确总利润=每千克利润×当天销售量。首先计算定价13元比基础定价7元高出的金额，结合“单价每提高1元少卖20kg”算出当天实际销售量，再用“（售价-成本价）×销售量”即可算出总利润。
(2) 要求用方程求解，首先设定价为x元/kg，先分别表示出两个核心量：①每千克利润为(x-5)元；②销售量为基础销量160kg减去因涨价减少的销量20(x-7)kg。根据“总利润=每千克利润×销售量=420元”列方程，求解后结合“让利于顾客”的要求，选择价格更低的解即可。
【解析】
(1) 当定价为13元/kg时，
当天销售量为：$160-(13-7)×20 = 160-120 = 40(\mathrm{kg})$
每千克利润为：$13-5=8(\mathrm{元})$
总利润为：$8×40=320(\mathrm{元})$
(2) 设该水果定价为$x$元/kg，依题意得：
$(x-5)[160-20(x-7)]=420$
整理方程：
展开括号得$(x-5)(300-20x)=420$
化简为标准一元二次方程形式：$x^2-20x+96=0$
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$
解得 $x_1=12$，$x_2=8$
∵要让利于顾客，需选择更低的定价，
∴$x=8$
【答案】
(1) 320元；(2) 8元/kg
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的销售类利润应用题，核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列算式或方程，解题时要注意结合题目的实际要求对解得的结果进行筛选，贴合生活实际场景。
【难度系数】
0.7
10. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分,跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品,某体育用品商店为满足学生需求,销售一种跳绳和排球套装,每套进货价为100元,经统计,4月份的销售量为250套,6月份的销售量为360套.
(1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率.
(2)经市场预测,若每套售价为129元,则7月份的销售量将与6月份持平,经调查发现,该套装的月销量y(单位:套)与每套的售价x(单位:元)之间满足一次函数关系,其图象如图3所示.为减少库存,商店决定采取降价促销,该商店要想使月销售利润达到10 800元,而且尽可能让学生得到实惠,这种跳绳和排球套装每套应降价多少元?
(1)求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率.
(2)经市场预测,若每套售价为129元,则7月份的销售量将与6月份持平,经调查发现,该套装的月销量y(单位:套)与每套的售价x(单位:元)之间满足一次函数关系,其图象如图3所示.为减少库存,商店决定采取降价促销,该商店要想使月销售利润达到10 800元,而且尽可能让学生得到实惠,这种跳绳和排球套装每套应降价多少元?
答案
10. (1)设这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为$m$. 由题意,$250(1+m)^2=360$. 解得 $m_1=0.2=20\%$,$m_2=-2.2$(不符合题意,舍去). 所以这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为20%.
(2)设该套装的月销量$y$(单位:套)与每套的售价$x$(单位:元)之间的一次函数解析式为$y=kx+b$. 题意,得$\begin{cases}129k+b=360,\\139k+b=160.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-20,\\b=2\ 940.\end{cases}$
∴ $y=-20x+2\ 940$. 由题意,得$(x-100)(-20x+2\ 940)=10\ 800$. 整理,得$x^2-247x+15\ 240=0$. 解得 $x_1=120$,$x_2=127$(不符合题意,舍去).
∴ $129-120=9(\mathrm{元})$.
∴ 这种跳绳和排球套装每套应降价9元.
(2)设该套装的月销量$y$(单位:套)与每套的售价$x$(单位:元)之间的一次函数解析式为$y=kx+b$. 题意,得$\begin{cases}129k+b=360,\\139k+b=160.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-20,\\b=2\ 940.\end{cases}$
∴ $y=-20x+2\ 940$. 由题意,得$(x-100)(-20x+2\ 940)=10\ 800$. 整理,得$x^2-247x+15\ 240=0$. 解得 $x_1=120$,$x_2=127$(不符合题意,舍去).
∴ $129-120=9(\mathrm{元})$.
∴ 这种跳绳和排球套装每套应降价9元.
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率问题，解题时先设月平均增长率为$m$，4月销量为初始量250套，经过2次增长后6月销量为360套，根据“增长后量=初始量×(1+增长率)$^{\mathrm{增长次数}}$”列方程求解，再舍去不符合实际的负根即可。
（2）第二问是一次函数结合销售利润的综合问题：第一步先根据图像给出的两组售价、销量对应值，用待定系数法求出销量$y$和售价$x$的一次函数解析式；第二步根据“总利润=单套利润×销量”的等量关系列一元二次方程，单套利润为$(x-100)$元，总利润目标为10800元；第三步解方程后，结合“让学生得到实惠”的要求选择更低的售价，最终计算出降价金额。
【解析】
(1) 设这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为$m$。
由题意得：$250(1+m)^2=360$
解得 $m_1=0.2=20\%$，$m_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设该套装的月销量$y$与每套的售价$x$之间的一次函数解析式为$y=kx+b$。
由题意代入两组对应值，得$\begin{cases}129k+b=360\\139k+b=160\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-20\\b=2\ 940\end{cases}$
∴ $y=-20x+2\ 940$。
根据总利润要求列方程：$(x-100)(-20x+2\ 940)=10\ 800$
整理得：$x^2-247x+15\ 240=0$
解得 $x_1=120$，$x_2=127$（要让学生得到实惠，需选择更低售价，故舍去）。
∴ 降价金额为$129-120=9(\mathrm{元})$。
【答案】
(1) 这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为20%；
(2) 这种跳绳和排球套装每套应降价9元。
【知识点】
增长率问题，待定系数法求一次函数，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景出题，综合考查了多个核心知识点，解题时需要理清各数量的逻辑关系，同时注意根据实际需求对解方程得到的结果进行取舍，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于增长率问题，解题时先设月平均增长率为$m$，4月销量为初始量250套，经过2次增长后6月销量为360套，根据“增长后量=初始量×(1+增长率)$^{\mathrm{增长次数}}$”列方程求解，再舍去不符合实际的负根即可。
（2）第二问是一次函数结合销售利润的综合问题：第一步先根据图像给出的两组售价、销量对应值，用待定系数法求出销量$y$和售价$x$的一次函数解析式；第二步根据“总利润=单套利润×销量”的等量关系列一元二次方程，单套利润为$(x-100)$元，总利润目标为10800元；第三步解方程后，结合“让学生得到实惠”的要求选择更低的售价，最终计算出降价金额。
【解析】
(1) 设这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为$m$。
由题意得：$250(1+m)^2=360$
解得 $m_1=0.2=20\%$，$m_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设该套装的月销量$y$与每套的售价$x$之间的一次函数解析式为$y=kx+b$。
由题意代入两组对应值，得$\begin{cases}129k+b=360\\139k+b=160\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-20\\b=2\ 940\end{cases}$
∴ $y=-20x+2\ 940$。
根据总利润要求列方程：$(x-100)(-20x+2\ 940)=10\ 800$
整理得：$x^2-247x+15\ 240=0$
解得 $x_1=120$，$x_2=127$（要让学生得到实惠，需选择更低售价，故舍去）。
∴ 降价金额为$129-120=9(\mathrm{元})$。
【答案】
(1) 这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为20%；
(2) 这种跳绳和排球套装每套应降价9元。
【知识点】
增长率问题，待定系数法求一次函数，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景出题，综合考查了多个核心知识点，解题时需要理清各数量的逻辑关系，同时注意根据实际需求对解方程得到的结果进行取舍，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
