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9. 一元二次方程$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0$化为一般形式后为$3x^2 + 2x - 1 = 0$，试求$a^2 + b^2 - c^2$的算术平方根.
答案
9. 整理 $a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0$, 得 $ax^2 + (2a + b) x + (a + b + c) = 0$, 则
$\begin{cases}a=3,\\2a+b=2,\\a+b+c=-1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3,\\b=-4,\\c=0.\end{cases}$ 所以 $a^2 + b^2 - c^2 = 9+16=25$. 所以 $a^2 + b^2 - c^2$ 的算术平方根是 5.
$\begin{cases}a=3,\\2a+b=2,\\a+b+c=-1.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3,\\b=-4,\\c=0.\end{cases}$ 所以 $a^2 + b^2 - c^2 = 9+16=25$. 所以 $a^2 + b^2 - c^2$ 的算术平方根是 5.
解析
【分析】
解题时首先要明确：若两个一元二次方程化简后完全相同，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别对应相等。第一步先将含$(x+1)$的方程通过去括号、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式；第二步将整理后的方程与给出的一般形式$3x^2 + 2x - 1 = 0$对比，让对应项系数相等，列出关于$a、b、c$的方程组，解出$a、b、c$的值；第三步将$a、b、c$代入$a^2 + b^2 - c^2$计算结果，最后求该结果的算术平方根即可，注意算术平方根为非负数。
【解析】
先整理方程$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0$：
展开完全平方得：$a(x^2+2x+1)+bx+b+c=0$
去括号得：$ax^2+2ax+a+bx+b+c=0$
合并同类项得：$ax^2 + (2a + b) x + (a + b + c) = 0$
已知该方程化为一般形式后为$3x^2 + 2x - 1 = 0$，因此对应项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a=3\\2a+b=2\\a+b+c=-1\end{cases}$
解方程组：
把$a=3$代入$2a+b=2$，得$2×3 + b=2$，解得$b=-4$
把$a=3$、$b=-4$代入$a+b+c=-1$，得$3-4+c=-1$，解得$c=0$
将$a=3$、$b=-4$、$c=0$代入$a^2 + b^2 - c^2$得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + (-4)^2 - 0^2 = 9 + 16 = 25$
因为25的算术平方根是5，所以$a^2 + b^2 - c^2$的算术平方根为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程一般形式；多项式对应系数相等；算术平方根定义
【点评】
本题核心考查一元二次方程的化简与对应系数相等的应用，解题的关键是正确展开整理含$(x+1)$的方程，准确求解方程组，最后需注意算术平方根是非负的，避免出现$\pm5$的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：若两个一元二次方程化简后完全相同，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别对应相等。第一步先将含$(x+1)$的方程通过去括号、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式；第二步将整理后的方程与给出的一般形式$3x^2 + 2x - 1 = 0$对比，让对应项系数相等，列出关于$a、b、c$的方程组，解出$a、b、c$的值；第三步将$a、b、c$代入$a^2 + b^2 - c^2$计算结果，最后求该结果的算术平方根即可，注意算术平方根为非负数。
【解析】
先整理方程$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = 0$：
展开完全平方得：$a(x^2+2x+1)+bx+b+c=0$
去括号得：$ax^2+2ax+a+bx+b+c=0$
合并同类项得：$ax^2 + (2a + b) x + (a + b + c) = 0$
已知该方程化为一般形式后为$3x^2 + 2x - 1 = 0$，因此对应项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a=3\\2a+b=2\\a+b+c=-1\end{cases}$
解方程组：
把$a=3$代入$2a+b=2$，得$2×3 + b=2$，解得$b=-4$
把$a=3$、$b=-4$代入$a+b+c=-1$，得$3-4+c=-1$，解得$c=0$
将$a=3$、$b=-4$、$c=0$代入$a^2 + b^2 - c^2$得：
$a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + (-4)^2 - 0^2 = 9 + 16 = 25$
因为25的算术平方根是5，所以$a^2 + b^2 - c^2$的算术平方根为5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程一般形式；多项式对应系数相等；算术平方根定义
【点评】
本题核心考查一元二次方程的化简与对应系数相等的应用，解题的关键是正确展开整理含$(x+1)$的方程，准确求解方程组，最后需注意算术平方根是非负的，避免出现$\pm5$的错误。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2+4x-8=0$的解是
$(\begin{array}{cc}& \\\end{array})$
A.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
$(\begin{array}{cc}& \\\end{array})$
A.$x_1=2+2\sqrt{3},x_2=2-2\sqrt{3}$
B.$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$
C.$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
D.$x_1=-2+2\sqrt{3},x_2=-2-2\sqrt{3}$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以用八年级学过的配方法或者公式法解题。如果用配方法，步骤是先移项把常数项放到等号右边，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后开方计算根；如果用公式法，先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
方法一：配方法
移项得：$x^2 + 4x = 8$
给等式两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$配方，得：
$x^2 + 4x + 4 = 8 + 4$
即$(x+2)^2 = 12$
开方得：$x+2 = ±\sqrt{12}=±2\sqrt{3}$
移项得：$x = -2 ± 2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$。
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
本题中$a=1$，$b=4$，$c=-8$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×(-8) = 16 + 32 = 48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-4±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2}=-2±2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，解题方法灵活，只要熟练掌握配方法、公式法的解题步骤，注意运算过程中的符号和根式化简，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.75
这道题考查一元二次方程的求解，我们可以用八年级学过的配方法或者公式法解题。如果用配方法，步骤是先移项把常数项放到等号右边，再给等式两边加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后开方计算根；如果用公式法，先确定方程中a、b、c的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可，计算时注意符号不要出错。
【解析】
方法一：配方法
移项得：$x^2 + 4x = 8$
给等式两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$配方，得：
$x^2 + 4x + 4 = 8 + 4$
即$(x+2)^2 = 12$
开方得：$x+2 = ±\sqrt{12}=±2\sqrt{3}$
移项得：$x = -2 ± 2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$。
方法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
本题中$a=1$，$b=4$，$c=-8$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×1×(-8) = 16 + 32 = 48＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：$x=\frac{-4±\sqrt{48}}{2×1}=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2}=-2±2\sqrt{3}$
即$x_1=-2+2\sqrt{3}$，$x_2=-2-2\sqrt{3}$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，解题方法灵活，只要熟练掌握配方法、公式法的解题步骤，注意运算过程中的符号和根式化简，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.75
2. 用配方法解方程$x^2 - 4x + 2 = 0$，下列配方正确的是（
A.$(x-2)^2 = 2$
B.$(x+2)^2 = 2$
C.$(x-2)^2 = -2$
D.$(x-2)^2 = 6$
A
）A.$(x-2)^2 = 2$
B.$(x+2)^2 = 2$
C.$(x-2)^2 = -2$
D.$(x-2)^2 = 6$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断正确的配方结果，需按照配方法的标准步骤操作：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x + 2 = 0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 4x = -2$；
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
左侧根据完全平方公式可改写为$(x-2)^2$，右侧计算得$2$，即$(x-2)^2=2$。
对比选项可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的操作步骤即可快速解题，是一元二次方程解法中的基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断正确的配方结果，需按照配方法的标准步骤操作：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x + 2 = 0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 4x = -2$；
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给方程两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = -2 + 4$
左侧根据完全平方公式可改写为$(x-2)^2$，右侧计算得$2$，即$(x-2)^2=2$。
对比选项可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，掌握配方法“移项、加一次项系数一半的平方、凑完全平方”的操作步骤即可快速解题，是一元二次方程解法中的基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 下列一元二次方程有实数根的是
（
A.$2x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 2 = 0$
C.$x^2 + 3x - 2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
（
C
）A.$2x^2 - x + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 2 = 0$
C.$x^2 + 3x - 2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
答案
3.C
解析
【分析】要判断一元二次方程是否有实数根，可通过根的判别式进行判断。首先明确规则：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时只需逐个找出每个选项方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入计算$\Delta$，再根据$\Delta$的符号判断即可。
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$2x^2 - x + 1 = 0$中，$a=2$，$b=-1$，$c=1$，$\Delta=(-1)^2 - 4×2×1=1-8=-7＜0$，方程无实数根；
选项B：方程$x^2 - 2x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=2$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×2=4-8=-4＜0$，方程无实数根；
选项C：方程$x^2 + 3x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-2$，$\Delta=3^2 - 4×1×(-2)=9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根；
选项D：方程$x^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=0$，$c=2$，$\Delta=0^2 - 4×1×2=0-8=-8＜0$，方程无实数根。
【答案】C
【知识点】1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程一般形式
【点评】本题考查一元二次方程实数根的判定，属于基础题型，解题核心是熟练掌握根的判别式的计算方法和判定规则，计算时要注意系数的正负号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
选项A：方程$2x^2 - x + 1 = 0$中，$a=2$，$b=-1$，$c=1$，$\Delta=(-1)^2 - 4×2×1=1-8=-7＜0$，方程无实数根；
选项B：方程$x^2 - 2x + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=2$，$\Delta=(-2)^2 - 4×1×2=4-8=-4＜0$，方程无实数根；
选项C：方程$x^2 + 3x - 2 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=-2$，$\Delta=3^2 - 4×1×(-2)=9+8=17＞0$，方程有两个不相等的实数根；
选项D：方程$x^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=0$，$c=2$，$\Delta=0^2 - 4×1×2=0-8=-8＜0$，方程无实数根。
【答案】C
【知识点】1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程一般形式
【点评】本题考查一元二次方程实数根的判定，属于基础题型，解题核心是熟练掌握根的判别式的计算方法和判定规则，计算时要注意系数的正负号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】0.8
4. 已知$α,β$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的两个实数根，则$α+β-αβ$的值是
（
A.3
B.1
C.-1
D.-3
（
B
）A.3
B.1
C.-1
D.-3
答案
4.B
解析
【分析】
本题需要利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先确定一元二次方程的各项系数，根据根与系数的关系分别求出两根之和与两根之积，再将所求值代入代数式计算即可得到结果。解题时要注意系数的符号，避免代入计算时出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-2$。
因为$α,β$是该方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
将上述结果代入$α+β-αβ$得：
$α+β-αβ=-1 - (-2)=-1+2=1$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的记忆与应用，解题的关键是准确对应方程各项系数，代入计算时注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题需要利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先确定一元二次方程的各项系数，根据根与系数的关系分别求出两根之和与两根之积，再将所求值代入代数式计算即可得到结果。解题时要注意系数的符号，避免代入计算时出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-2$。
因为$α,β$是该方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
将上述结果代入$α+β-αβ$得：
$α+β-αβ=-1 - (-2)=-1+2=1$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的记忆与应用，解题的关键是准确对应方程各项系数，代入计算时注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0 $ 的两实数根为 $ x_1, x_2 $，若 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3 $，则 $ m $ 的值为 （
A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$ 或 $1$
D.$-1$ 或 $3$
A
）A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$ 或 $1$
D.$-1$ 或 $3$
答案
5.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先，题目明确方程有两个实数根，因此首先要根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，排除不符合条件的解；其次，将给出的代数式$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，结合一元二次方程根与系数的关系，代入两根之和、两根之积的表达式，得到关于m的方程，求解出m的可能值；最后结合之前得到的m的取值范围，舍去不符合的解，得到最终的m值。
【解析】
1. 先根据方程有两个实数根，计算判别式确定m的取值范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。
本题中$a=1,b=-(2m-1),c=m^2$，因此：
$\Delta=[-(2m-1)]^2 - 4×1× m^2 = 4m^2-4m+1-4m^2=-4m+1≥0$
解得$m≤\frac{1}{4}$。
2. 利用根与系数的关系表示两根之和、两根之积：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2$。
3. 展开已知代数式并联立求解：
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开得：$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入上述根与系数的结果：
$m^2 + (2m-1) + 1 = 3$
化简得$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=-3$或$m=1$。
4. 结合m的取值范围舍去不符合的解：
因为$m≤\frac{1}{4}$，所以$m=1$不符合要求，舍去，最终$m=-3$。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的综合应用题，易错点是求解出m的可能值后，忽略题目中“两实数根”的前提，忘记验证判别式的限制条件，误选C选项。解题时要注意，涉及一元二次方程实根的问题，都要优先考虑判别式的取值要求，对解进行验证。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，题目明确方程有两个实数根，因此首先要根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，排除不符合条件的解；其次，将给出的代数式$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，结合一元二次方程根与系数的关系，代入两根之和、两根之积的表达式，得到关于m的方程，求解出m的可能值；最后结合之前得到的m的取值范围，舍去不符合的解，得到最终的m值。
【解析】
1. 先根据方程有两个实数根，计算判别式确定m的取值范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。
本题中$a=1,b=-(2m-1),c=m^2$，因此：
$\Delta=[-(2m-1)]^2 - 4×1× m^2 = 4m^2-4m+1-4m^2=-4m+1≥0$
解得$m≤\frac{1}{4}$。
2. 利用根与系数的关系表示两根之和、两根之积：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2$。
3. 展开已知代数式并联立求解：
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开得：$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$
代入上述根与系数的结果：
$m^2 + (2m-1) + 1 = 3$
化简得$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=-3$或$m=1$。
4. 结合m的取值范围舍去不符合的解：
因为$m≤\frac{1}{4}$，所以$m=1$不符合要求，舍去，最终$m=-3$。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程根的性质的综合应用题，易错点是求解出m的可能值后，忽略题目中“两实数根”的前提，忘记验证判别式的限制条件，误选C选项。解题时要注意，涉及一元二次方程实根的问题，都要优先考虑判别式的取值要求，对解进行验证。
【难度系数】
0.6
6.方程$(x-3)(x-9)=0$的根是________.
答案
6.$x_1=3,x_2=9$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题依据是“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质。解题时先令每个因式分别等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
已知方程$(x-3)(x-9)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
解$x-3=0$，得$x=3$；
解$x-9=0$，得$x=9$。
因此原方程的根为$x_1=3$，$x_2=9$。
【答案】
$x_1=3,x_2=9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握因式分解法解方程的降次思路，熟练运用乘积为0的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题依据是“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质。解题时先令每个因式分别等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
已知方程$(x-3)(x-9)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
解$x-3=0$，得$x=3$；
解$x-9=0$，得$x=9$。
因此原方程的根为$x_1=3$，$x_2=9$。
【答案】
$x_1=3,x_2=9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握因式分解法解方程的降次思路，熟练运用乘积为0的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 已知$x^2 - 2\sqrt{3}x + m = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是________.
答案
7.$m＜3$
解析
【分析】
要确定一元二次方程中参数的取值范围，需结合一元二次方程根的个数与判别式的关系解题：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；再找到本题方程中对应的a、b、c的值，代入判别式列不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 - 2\sqrt{3}x + m = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2\sqrt{3}$，常数项$c=m$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入得：$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1× m ＞ 0$，
计算得：$12 - 4m ＞ 0$，
移项得：$4m ＜ 12$，
两边同时除以4得：$m ＜ 3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
3. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意二次根式乘方的运算规则，避免计算错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程中参数的取值范围，需结合一元二次方程根的个数与判别式的关系解题：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；再找到本题方程中对应的a、b、c的值，代入判别式列不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程$x^2 - 2\sqrt{3}x + m = 0$是一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2\sqrt{3}$，常数项$c=m$。
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
代入得：$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1× m ＞ 0$，
计算得：$12 - 4m ＞ 0$，
移项得：$4m ＜ 12$，
两边同时除以4得：$m ＜ 3$。
【答案】
$m＜3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
3. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意二次根式乘方的运算规则，避免计算错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (2k - 1)x + k^2 + 3 = 0 $有两个不相等的实数根,则实数$ k $的取值范围是________.
答案
8.$k＜-\dfrac{11}{4}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，明确一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是根的判别式$\Delta＞0$；第二步，从给定的方程中找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第三步，将$a、b、c$代入判别式公式，得到关于$k$的不等式；第四步，解不等式即可得到$k$的取值范围，注意解不等式时两边除以负数要改变不等号方向。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 + 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2+3$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2+3) \\&= 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 - 12 \\&= -4k - 11\end{aligned}$
令$\Delta ＞ 0$，即$-4k -11 ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ 11$，
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$k ＜ -\dfrac{11}{4}$。
【答案】
$k＜-\dfrac{11}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查根的判别式的应用，解题时需准确识别方程各项系数，计算判别式时注意符号问题，解含负系数的不等式时要记得改变不等号方向，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，明确一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是根的判别式$\Delta＞0$；第二步，从给定的方程中找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第三步，将$a、b、c$代入判别式公式，得到关于$k$的不等式；第四步，解不等式即可得到$k$的取值范围，注意解不等式时两边除以负数要改变不等号方向。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 + 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2+3$，
代入得：
$\begin{aligned}\Delta &= [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2+3) \\&= 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 - 12 \\&= -4k - 11\end{aligned}$
令$\Delta ＞ 0$，即$-4k -11 ＞ 0$，
移项得：$-4k ＞ 11$，
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：$k ＜ -\dfrac{11}{4}$。
【答案】
$k＜-\dfrac{11}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查根的判别式的应用，解题时需准确识别方程各项系数，计算判别式时注意符号问题，解含负系数的不等式时要记得改变不等号方向，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
