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一、一元二次方程的概念
1. 下列方程不是一元二次方程的是（
A.$\sqrt{3}y^2 + 2y + 1 = 0$
B.$\frac{1}{2}x^2 = 1 - 3x$
C.$\frac{1}{10}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} = 0$
D.$\frac{1}{x^2} + x - 6 = 0$
1. 下列方程不是一元二次方程的是（
D
）A.$\sqrt{3}y^2 + 2y + 1 = 0$
B.$\frac{1}{2}x^2 = 1 - 3x$
C.$\frac{1}{10}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} = 0$
D.$\frac{1}{x^2} + x - 6 = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们逐个对照这三个条件分析每个选项，就能找出不符合要求的选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一分析选项：
A. 方程仅含未知数y，y的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
B. 方程仅含未知数x，整理后x的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
C. 方程仅含未知数a，a的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
D. 方程的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念；整式与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查一元二次方程的判定规则，解题的易错点是容易忽略“整式方程”这个前提条件，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们逐个对照这三个条件分析每个选项，就能找出不符合要求的选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一分析选项：
A. 方程仅含未知数y，y的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
B. 方程仅含未知数x，整理后x的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
C. 方程仅含未知数a，a的最高次数为2，属于整式方程，是一元二次方程，不符合题意；
D. 方程的分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的概念；整式与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查一元二次方程的判定规则，解题的易错点是容易忽略“整式方程”这个前提条件，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法正确的是 （
A.方程$8x^2 - 7 = 0$的一次项系数为$-7$
B.一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$
C.当$k = 0$时，方程$kx^2 + 3x - 1 = x^2$为一元二次方程
D.当$m$取所有实数时，关于$x$的方程$(m^2 - 1)x^2 - mx - 3 = 0$为一元二次方程
C
）A.方程$8x^2 - 7 = 0$的一次项系数为$-7$
B.一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$
C.当$k = 0$时，方程$kx^2 + 3x - 1 = x^2$为一元二次方程
D.当$m$取所有实数时，关于$x$的方程$(m^2 - 1)x^2 - mx - 3 = 0$为一元二次方程
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关概念，解题时首先要明确一元二次方程的核心判定条件：只含1个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0的整式方程，同时牢记一元二次方程一般形式的限制要求，再逐一分析每个选项即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$8x^2 - 7 = 0$中不含未知数的一次项，因此一次项系数为0，不是-7，故A选项错误；
B. 一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），选项未说明$a≠0$的前提，当$a=0$时方程不是一元二次方程，故B选项错误；
C. 先整理方程$kx^2 + 3x - 1 = x^2$，移项合并同类项得$(k-1)x^2 + 3x - 1 = 0$，当$k=0$时，二次项系数为$0-1=-1≠0$，符合一元二次方程的定义，故C选项正确；
D. 方程$(m^2 - 1)x^2 - mx - 3 = 0$的二次项系数为$m^2 - 1$，当$m=\pm1$时，$m^2 - 1=0$，此时方程不是一元二次方程，故D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元二次方程一般形式
3. 方程系数判定
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心概念设置考点，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含前提，解题时遇到含参数的方程，需先整理为标准形式，再结合参数取值判断是否符合一元二次方程的要求。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程的相关概念，解题时首先要明确一元二次方程的核心判定条件：只含1个未知数、未知数最高次数为2、且二次项系数不为0的整式方程，同时牢记一元二次方程一般形式的限制要求，再逐一分析每个选项即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$8x^2 - 7 = 0$中不含未知数的一次项，因此一次项系数为0，不是-7，故A选项错误；
B. 一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），选项未说明$a≠0$的前提，当$a=0$时方程不是一元二次方程，故B选项错误；
C. 先整理方程$kx^2 + 3x - 1 = x^2$，移项合并同类项得$(k-1)x^2 + 3x - 1 = 0$，当$k=0$时，二次项系数为$0-1=-1≠0$，符合一元二次方程的定义，故C选项正确；
D. 方程$(m^2 - 1)x^2 - mx - 3 = 0$的二次项系数为$m^2 - 1$，当$m=\pm1$时，$m^2 - 1=0$，此时方程不是一元二次方程，故D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 一元二次方程一般形式
3. 方程系数判定
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心概念设置考点，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含前提，解题时遇到含参数的方程，需先整理为标准形式，再结合参数取值判断是否符合一元二次方程的要求。
【难度系数】
0.6
3. 已知$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2+ax+2b=0$的一个解,则$2a+4b$的值为
$\quad(\quad)$
A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-6$
$\quad(\quad)$
A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-6$
答案
3.A
解析
【分析】
首先根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此把x=1代入给定方程就能得到a和b的数量关系；再观察所求代数式2a+4b的结构，可将其变形为2(a+2b)，通过整体代入的方法即可求出结果，无需单独计算a、b的具体数值。
【解析】
∵$x=1$是一元二次方程$x^2+ax+2b=0$的一个解
∴将$x=1$代入方程，得：
$1^2 + a×1 + 2b = 0$
整理可得：$a + 2b = -1$
对所求代数式变形得：$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$代入上式，得：
$2a + 4b = 2×(-1) = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用方程解的定义建立参数之间的关系，通过整体代入的方式简化计算，考查学生对基础概念的掌握和代数式变形的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此把x=1代入给定方程就能得到a和b的数量关系；再观察所求代数式2a+4b的结构，可将其变形为2(a+2b)，通过整体代入的方法即可求出结果，无需单独计算a、b的具体数值。
【解析】
∵$x=1$是一元二次方程$x^2+ax+2b=0$的一个解
∴将$x=1$代入方程，得：
$1^2 + a×1 + 2b = 0$
整理可得：$a + 2b = -1$
对所求代数式变形得：$2a + 4b = 2(a + 2b)$
将$a + 2b = -1$代入上式，得：
$2a + 4b = 2×(-1) = -2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用方程解的定义建立参数之间的关系，通过整体代入的方式简化计算，考查学生对基础概念的掌握和代数式变形的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根,则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为 (
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
)A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
4.C
解析
【分析】
本题是一元二次方程相关的综合求值题，解题思路如下：首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$的表达式，实现降次目的；再把$x_1^2$的表达式代入所求代数式，化简后得到含$x_1+x_2$的式子；最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，可大幅简化计算。
【解析】
解：$\because x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，
$\therefore$将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又$\because x_1、x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=25$（其中$a=1，b=-25$），
$\therefore 原式=25 +1=26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的经典常考题，核心解题技巧是利用根的定义降次转化，避免直接求解方程根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程相关的综合求值题，解题思路如下：首先利用一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$的表达式，实现降次目的；再把$x_1^2$的表达式代入所求代数式，化简后得到含$x_1+x_2$的式子；最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子计算即可，无需直接求解方程的根，可大幅简化计算。
【解析】
解：$\because x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，
$\therefore$将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}原式&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又$\because x_1、x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=25$（其中$a=1，b=-25$），
$\therefore 原式=25 +1=26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的经典常考题，核心解题技巧是利用根的定义降次转化，避免直接求解方程根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 已知 $ m $ 为方程 $ x^2 + 3x - 2022 = 0 $ 的根,那么 $ m^3 + 2m^2 - 2025m + 2022 $ 的值为
$\quad (\quad)$
A.$-2022$
B.$0$
C.$2022$
D.$4044$
$\quad (\quad)$
A.$-2022$
B.$0$
C.$2022$
D.$4044$
答案
5.B
提示:
∵ m 为方程 $x^2+3x-2 022=0$ 的根,
∴ $m^2+3m-2 022=0$.
∴ $m^2+3m=2 022$.
∴ 原式 = $m^3+3m^2-m^2-3m-2 022m+2 022 = m(m^2+3m)-(m^2+3m)-2 022m+2 022 = 2 022m-2 022-2 022m+2 022 = 0$.
提示:
∵ m 为方程 $x^2+3x-2 022=0$ 的根,
∴ $m^2+3m-2 022=0$.
∴ $m^2+3m=2 022$.
∴ 原式 = $m^3+3m^2-m^2-3m-2 022m+2 022 = m(m^2+3m)-(m^2+3m)-2 022m+2 022 = 2 022m-2 022-2 022m+2 022 = 0$.
解析
【分析】
这是代数式求值类问题，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将x=m代入已知方程，可得到关于m的等式$m^2+3m=2022$；第二步，由于所求代数式是三次多项式，直接求解m代入计算过于复杂，因此采用降次+整体代入的思路，把所求代数式拆分变形，凑出含有$m^2+3m$的整体结构，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $m$是方程$x^2 + 3x - 2022 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + 3m - 2022 = 0$，即$m^2 + 3m = 2022$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}m^3 + 2m^2 - 2025m + 2022 &= m^3 + 3m^2 - m^2 - 3m - 2022m + 2022 \\&= m(m^2 + 3m) - (m^2 + 3m) - 2022m + 2022\end{aligned}$
将$m^2 + 3m = 2022$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= 2022m - 2022 - 2022m + 2022 \\&= 0\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题不需要直接求解m的具体值，解题核心是灵活运用方程根的性质，通过拆分多项式凑出已知的整体结构，用整体代入思想简化计算，是代数式求值的典型技巧题。
【难度系数】
0.7
这是代数式求值类问题，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根的定义，将x=m代入已知方程，可得到关于m的等式$m^2+3m=2022$；第二步，由于所求代数式是三次多项式，直接求解m代入计算过于复杂，因此采用降次+整体代入的思路，把所求代数式拆分变形，凑出含有$m^2+3m$的整体结构，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $m$是方程$x^2 + 3x - 2022 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + 3m - 2022 = 0$，即$m^2 + 3m = 2022$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}m^3 + 2m^2 - 2025m + 2022 &= m^3 + 3m^2 - m^2 - 3m - 2022m + 2022 \\&= m(m^2 + 3m) - (m^2 + 3m) - 2022m + 2022\end{aligned}$
将$m^2 + 3m = 2022$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= 2022m - 2022 - 2022m + 2022 \\&= 0\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题不需要直接求解m的具体值，解题核心是灵活运用方程根的性质，通过拆分多项式凑出已知的整体结构，用整体代入思想简化计算，是代数式求值的典型技巧题。
【难度系数】
0.7
6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 + nx - 1 = 0 \ (m ≠ 0) $ 的一个根是 $ x = 1 $，则 $ m + n $ 的值是 ______.
答案
6.1
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此可以将根x=1直接代入原方程，通过化简整理即可求出m+n的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx - 1 = 0 \ (m ≠ 0)$的一个根，
∴将x=1代入方程，得：
$m×1^2 + n×1 - 1 = 0$
化简得：$m + n - 1 = 0$
移项可得：$m + n = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的理解与应用，解题思路直接，只需将已知根代入原方程化简计算即可得到结果，计算难度低。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此可以将根x=1直接代入原方程，通过化简整理即可求出m+n的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx - 1 = 0 \ (m ≠ 0)$的一个根，
∴将x=1代入方程，得：
$m×1^2 + n×1 - 1 = 0$
化简得：$m + n - 1 = 0$
移项可得：$m + n = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的理解与应用，解题思路直接，只需将已知根代入原方程化简计算即可得到结果，计算难度低。
【难度系数】
0.9
7. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + 4x - m = 0 $有两个不相等的实数根，则实数$ m $的取值范围是________.
答案
7.$m＞-4$
解析
【分析】
看到题干中一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定题中方程的$a、b、c$三个系数（注意常数项是$-m$，不要搞错符号），再代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+4x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
计算得：$16 + 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
看到题干中一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定题中方程的$a、b、c$三个系数（注意常数项是$-m$，不要搞错符号），再代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2+4x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
计算得：$16 + 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ m $ 是方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的一个根,求 $ (m-3)^2 + (m+2)(m-2) $ 的值.
答案
8.
∵ m 是方程 $x^2-3x+1=0$ 的一个根,
∴ $m^2-3m+1=0$,即 $m^2-3m = -1$.
∴ $(m-3)^2+(m+2)(m-2) = m^2-6m+9+m^2-4 = 2(m^2-3m)+5=3$.
∵ m 是方程 $x^2-3x+1=0$ 的一个根,
∴ $m^2-3m+1=0$,即 $m^2-3m = -1$.
∴ $(m-3)^2+(m+2)(m-2) = m^2-6m+9+m^2-4 = 2(m^2-3m)+5=3$.
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式，整理出$m^2-3m$的值；接下来对要求值的代数式利用完全平方公式、平方差公式展开，合并同类项后化简为含有$m^2-3m$的形式，最后将$m^2-3m$的值整体代入计算即可，不需要求出m的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2-3x+1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程得：$m^2-3m+1=0$，即$m^2-3m=-1$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}(m-3)^2+(m+2)(m-2)&=m^2-6m+9+(m^2-4)\\&=2m^2-6m+5\\&=2(m^2-3m)+5\end{aligned}$
将$m^2-3m=-1$代入上式得：
原式$=2×(-1)+5=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整式化简运算
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查对根的定义的理解，解题时无需计算根的具体值，利用整体代入思想可大大降低计算量，避免复杂的根式运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入方程可得到关于m的等式，整理出$m^2-3m$的值；接下来对要求值的代数式利用完全平方公式、平方差公式展开，合并同类项后化简为含有$m^2-3m$的形式，最后将$m^2-3m$的值整体代入计算即可，不需要求出m的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2-3x+1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程得：$m^2-3m+1=0$，即$m^2-3m=-1$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}(m-3)^2+(m+2)(m-2)&=m^2-6m+9+(m^2-4)\\&=2m^2-6m+5\\&=2(m^2-3m)+5\end{aligned}$
将$m^2-3m=-1$代入上式得：
原式$=2×(-1)+5=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整式化简运算
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查对根的定义的理解，解题时无需计算根的具体值，利用整体代入思想可大大降低计算量，避免复杂的根式运算。
【难度系数】
0.8
