登录
21. 设$5-\sqrt{3}$的小数部分为$a$,$5+\sqrt{3}$的小数部分为$b$,求$(a-1)(b+2)$的值.
答案
21. 因为 $5-\sqrt{3}$ 的整数部分为 3,所以 $a=5-\sqrt{3} -3=2-\sqrt{3} $. 因为 $5+\sqrt{3}$ 的整数部分为 6,所以 $b=5+\sqrt{3} -6=\sqrt{3} -1 $. 把 a,b 代入,则$(a-1)(b+2)=(1-\sqrt{3} )( 1+\sqrt{3} )= 1-3=-2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：一个实数的小数部分等于这个数减去它的整数部分，且小数部分的取值范围是$0≤\mathrm{小数部分}＜1$。解题思路分三步：第一步先估算$\sqrt{3}$的取值范围，进而分别确定$5-\sqrt{3}$和$5+\sqrt{3}$的整数部分；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$a$和$b$的值；第三步将$a$、$b$代入代数式，利用乘法公式计算出最终结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{3}$的大小：
∵$1＜3＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
1. 求$a$的值：
对不等式$1＜\sqrt{3}＜2$两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，再加5得：
$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即$3＜5-\sqrt{3}＜4$，
∴$5-\sqrt{3}$的整数部分为3，
∴小数部分$a = (5-\sqrt{3}) - 3 = 2 - \sqrt{3}$。
2. 求$b$的值：
对不等式$1＜\sqrt{3}＜2$两边加5得：
$5+1＜5+\sqrt{3}＜5+2$，即$6＜5+\sqrt{3}＜7$，
∴$5+\sqrt{3}$的整数部分为6，
∴小数部分$b = (5+\sqrt{3}) - 6 = \sqrt{3} - 1$。
3. 代入计算代数式的值：
将$a$、$b$代入$(a-1)(b+2)$得：
$(a-1)(b+2) = (2-\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1 + 2) = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2 - n^2$计算：
原式$=1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数小数部分的求解方法，解题的关键是先通过估算确定无理数所在的区间，得到其整数部分，再推导出小数部分，计算时运用平方差公式可有效简化运算，是无理数相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确：一个实数的小数部分等于这个数减去它的整数部分，且小数部分的取值范围是$0≤\mathrm{小数部分}＜1$。解题思路分三步：第一步先估算$\sqrt{3}$的取值范围，进而分别确定$5-\sqrt{3}$和$5+\sqrt{3}$的整数部分；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$a$和$b$的值；第三步将$a$、$b$代入代数式，利用乘法公式计算出最终结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{3}$的大小：
∵$1＜3＜4$，
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
1. 求$a$的值：
对不等式$1＜\sqrt{3}＜2$两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，再加5得：
$5-2＜5-\sqrt{3}＜5-1$，即$3＜5-\sqrt{3}＜4$，
∴$5-\sqrt{3}$的整数部分为3，
∴小数部分$a = (5-\sqrt{3}) - 3 = 2 - \sqrt{3}$。
2. 求$b$的值：
对不等式$1＜\sqrt{3}＜2$两边加5得：
$5+1＜5+\sqrt{3}＜5+2$，即$6＜5+\sqrt{3}＜7$，
∴$5+\sqrt{3}$的整数部分为6，
∴小数部分$b = (5+\sqrt{3}) - 6 = \sqrt{3} - 1$。
3. 代入计算代数式的值：
将$a$、$b$代入$(a-1)(b+2)$得：
$(a-1)(b+2) = (2-\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1 + 2) = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2 - n^2$计算：
原式$=1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数小数部分的求解方法，解题的关键是先通过估算确定无理数所在的区间，得到其整数部分，再推导出小数部分，计算时运用平方差公式可有效简化运算，是无理数相关的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
22. 如图 8,在四边形 ABCD 中,$AD // BC$,点 O 在 BD 上,过点 O 作 $EF ⊥ BD$ 分别交 BC,AD 于点 E 和点 F,且 $BF // DE$.
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若菱形 BEDF 的周长是 32,$BD + EF = 20$,求 $OD · OF$ 的值.
图 8
(1)求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2)若菱形 BEDF 的周长是 32,$BD + EF = 20$,求 $OD · OF$ 的值.
图 8
答案
22. (1)
∵ $ AD//BC,BF//DE $,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∵ $ EF⊥BD $,
∴ 四边形 BEDF 是菱形.
(2)
∵ 菱形 BEDF 的周长是 32,
∴ $ FD=32÷4=8 $,$ BD=2OD $,$ EF=2OF $.
∵ $ BD + EF = 20 $,
∴ $ 2OD+2OF = 20 $.
∴ $ OD + OF = 10 $.
∴ $ (OD+OF)^2=10^2 $.
∴ $ OD^2+OF^2+2OD·OF=100 $.
∵ $ EF⊥BD $,
∴ $ △DOF $ 是直角三角形. 由勾股定理,得 $ OD^2+OF^2=DF^2=8^2=64 $.
∴ $ 64+2OD·OF=100 $.
∴ $ OD · OF = 18 $.
∵ $ AD//BC,BF//DE $,
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∵ $ EF⊥BD $,
∴ 四边形 BEDF 是菱形.
(2)
∵ 菱形 BEDF 的周长是 32,
∴ $ FD=32÷4=8 $,$ BD=2OD $,$ EF=2OF $.
∵ $ BD + EF = 20 $,
∴ $ 2OD+2OF = 20 $.
∴ $ OD + OF = 10 $.
∴ $ (OD+OF)^2=10^2 $.
∴ $ OD^2+OF^2+2OD·OF=100 $.
∵ $ EF⊥BD $,
∴ $ △DOF $ 是直角三角形. 由勾股定理,得 $ OD^2+OF^2=DF^2=8^2=64 $.
∴ $ 64+2OD·OF=100 $.
∴ $ OD · OF = 18 $.
解析
【分析】
（1）要证明四边形BEDF是菱形，首先根据已知的两组对边平行关系先判定其为平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件，依据菱形的判定定理即可完成证明。（2）求$OD·OF$的值时，先根据菱形周长求出边长，再利用菱形对角线互相平分的性质，将$BD+EF=20$转化为$OD$与$OF$的和，结合直角三角形的勾股定理，通过完全平方公式变形就能求出两者的乘积。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$BF// DE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
$\because EF⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$BEDF$是菱形。
(2) 解：
$\because$ 菱形$BEDF$的周长是32，菱形四条边相等，
$\therefore FD=32÷4=8$，
$\because$ 菱形对角线互相平分，
$\therefore BD=2OD$，$EF=2OF$，
$\because BD+EF=20$，
$\therefore 2OD+2OF=20$，即$OD+OF=10$，
将等式两边平方得：$(OD+OF)^2=10^2$，
展开得：$OD^2+OF^2+2OD·OF=100$，
$\because EF⊥ BD$，$\therefore △ DOF$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD^2+OF^2=DF^2=8^2=64$，
代入上式得：$64+2OD·OF=100$，
解得：$OD·OF=18$。
【答案】
(1) 四边形BEDF是菱形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题将特殊四边形的性质与代数公式结合考查，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，灵活运用完全平方公式的变形处理几何线段的乘积计算问题。
【难度系数】
0.65
（1）要证明四边形BEDF是菱形，首先根据已知的两组对边平行关系先判定其为平行四边形，再结合对角线互相垂直的条件，依据菱形的判定定理即可完成证明。（2）求$OD·OF$的值时，先根据菱形周长求出边长，再利用菱形对角线互相平分的性质，将$BD+EF=20$转化为$OD$与$OF$的和，结合直角三角形的勾股定理，通过完全平方公式变形就能求出两者的乘积。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$BF// DE$，
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
$\because EF⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$BEDF$是菱形。
(2) 解：
$\because$ 菱形$BEDF$的周长是32，菱形四条边相等，
$\therefore FD=32÷4=8$，
$\because$ 菱形对角线互相平分，
$\therefore BD=2OD$，$EF=2OF$，
$\because BD+EF=20$，
$\therefore 2OD+2OF=20$，即$OD+OF=10$，
将等式两边平方得：$(OD+OF)^2=10^2$，
展开得：$OD^2+OF^2+2OD·OF=100$，
$\because EF⊥ BD$，$\therefore △ DOF$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD^2+OF^2=DF^2=8^2=64$，
代入上式得：$64+2OD·OF=100$，
解得：$OD·OF=18$。
【答案】
(1) 四边形BEDF是菱形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题将特殊四边形的性质与代数公式结合考查，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，灵活运用完全平方公式的变形处理几何线段的乘积计算问题。
【难度系数】
0.65
23. 如图 9, 函数 $y=3x+6$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、点 $B$, 函数 $y=-x+2$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $D$、点 $C$, 直线 $AB,CD$ 相交于点 $M$.
(1) 求点 $M$ 的坐标和 $△ BCM$ 的面积;
(2) 点 $N$ 在直线 $CD$ 上, 使得 $S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}$, 求点 $N$ 的坐标.
(1) 求点 $M$ 的坐标和 $△ BCM$ 的面积;
(2) 点 $N$ 在直线 $CD$ 上, 使得 $S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}$, 求点 $N$ 的坐标.
答案
23. (1)由题意,得
$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=3x+6. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=3. \end{cases}$
∴ 点 M 的坐标为$(-1,3)$.
∵ 函数 $y=3x+6$ 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、点 B,函数 $y=-x+2$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 D、点 C,
∴ 把 $x=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $y=2$.
∴ $ C(0,2) $. 把 $x = 0$ 代入 $y = 3x + 6$,得 $y = 6$.
∴ $ B(0,6) $,
∴ $ BC = 6-2 = 4 $.
∵ $ M(-1,3) $,
∴ 点 M 到 BC 的距离是 1.
∴ $ S_{△BCM}=\frac{1}{2}×4×1=2 $.
(2)如图,连接 AC.
把 $y=0$ 代入 $y=3x+6$,得 $x=-2$.
∴ $ A(-2,0) $.
∴ $ S_{△ACM} = S_{△ABC} - S_{△BCM} = \frac{1}{2} ×4×2-2=2 $. 把 $y=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $ 0=-x+2 $. 解得 $x=2$.
∴ $ D(2,0) $.
∵ $ S_{△BMN}=4S_{△AMC}=8 $,$ S_{△BMN}=\frac{1}{2} BC · |x_N -x_M| $,
∴ $ \frac{1}{2}×4|x_N -(-1)|=8 $.
∴ $ x_N=-5 $ 或 $ x_N=3 $. 当 $ x_N=-5 $ 时,$ y_N=-(-5)+2=7 $,此时点 N 的坐标为$(-5,7)$;当 $ x_N=3 $ 时,$ y_N=-3+2=-1 $,此时点 N 的坐标为$(3,-1)$. 综上可知,$ N(-5,7) $或 $ N(3,-1) $.
解析
【分析】
(1) 求两个一次函数的交点M的坐标，只需将两个函数解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是点M的坐标；求△BCM的面积时，先求出两条直线与y轴的交点B、C的坐标，得到线段BC的长度，由于BC在y轴上，点M到BC的距离就是M点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 先求出点A的坐标，用△ABC的面积减去△BCM的面积得到△AMC的面积，进而得到△BMN的面积；由于点N在直线CD上，△BMN和△BCM同底为BC，高为点N和点M横坐标差的绝对值，据此列方程求出N点的横坐标，再代入直线CD的解析式求出纵坐标，注意横坐标存在两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=3x+6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$，即点M的坐标为$(-1,3)$。
求B、C两点坐标：将$x=0$代入$y=3x+6$，得$y=6$，故$B(0,6)$；将$x=0$代入$y=-x+2$，得$y=2$，故$C(0,2)$。
则$BC=6-2=4$，点M到y轴（BC所在直线）的距离为$|-1|=1$，因此$S_{△ BCM}=\frac{1}{2} × 4 × 1=2$。
(2) 连接AC，求A点坐标：将$y=0$代入$y=3x+6$，得$0=3x+6$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$。
$△ ABC$的底$BC=4$，高为A点到y轴的距离$|-2|=2$，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$，因此$S_{△ AMC}=S_{△ ABC}-S_{△ BCM}=4-2=2$，则$S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}=8$。
设点N的横坐标为$x_N$，$△ BMN$以BC为底时，高为$|x_N - x_M|=|x_N+1|$，因此$\frac{1}{2} × 4 × |x_N+1|=8$，解得$|x_N+1|=4$，即$x_N=3$或$x_N=-5$。
将$x_N$代入$y=-x+2$：当$x_N=3$时，$y=-3+2=-1$；当$x_N=-5$时，$y=5+2=7$，即点N的坐标为$(3,-1)$或$(-5,7)$。
【答案】
23. (1)由题意,得
$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=3x+6. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=3. \end{cases}$
∴ 点 M 的坐标为$(-1,3)$.
∵ 函数 $y=3x+6$ 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、点 B,函数 $y=-x+2$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 D、点 C,
∴ 把 $x=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $y=2$.
∴ $ C(0,2) $. 把 $x = 0$ 代入 $y = 3x + 6$,得 $y = 6$.
∴ $ B(0,6) $,
∴ $ BC = 6-2 = 4 $.
∵ $ M(-1,3) $,
∴ 点 M 到 BC 的距离是 1.
∴ $ S_{△BCM}=\frac{1}{2}×4×1=2 $.
(2)如图,连接 AC.
把 $y=0$ 代入 $y=3x+6$,得 $x=-2$.
∴ $ A(-2,0) $.
∴ $ S_{△ACM} = S_{△ABC} - S_{△BCM} = \frac{1}{2} ×4×2-2=2 $. 把 $y=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $ 0=-x+2 $. 解得 $x=2$.
∴ $ D(2,0) $.
∵ $ S_{△BMN}=4S_{△AMC}=8 $,$ S_{△BMN}=\frac{1}{2} BC · |x_N -x_M| $,
∴ $ \frac{1}{2}×4|x_N -(-1)|=8 $.
∴ $ x_N=-5 $ 或 $ x_N=3 $. 当 $ x_N=-5 $ 时,$ y_N=-(-5)+2=7 $,此时点 N 的坐标为$(-5,7)$;当 $ x_N=3 $ 时,$ y_N=-3+2=-1 $,此时点 N 的坐标为$(3,-1)$. 综上可知,$ N(-5,7) $或 $ N(3,-1) $.
【知识点】
1. 一次函数交点求解
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 坐标法求三角形面积
【点评】
本题综合考查一次函数性质与三角形面积的结合应用，解题核心是掌握联立方程求函数交点、利用坐标计算线段长度和图形面积的方法，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求两个一次函数的交点M的坐标，只需将两个函数解析式联立为二元一次方程组，方程组的解就是点M的坐标；求△BCM的面积时，先求出两条直线与y轴的交点B、C的坐标，得到线段BC的长度，由于BC在y轴上，点M到BC的距离就是M点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可求解。
(2) 先求出点A的坐标，用△ABC的面积减去△BCM的面积得到△AMC的面积，进而得到△BMN的面积；由于点N在直线CD上，△BMN和△BCM同底为BC，高为点N和点M横坐标差的绝对值，据此列方程求出N点的横坐标，再代入直线CD的解析式求出纵坐标，注意横坐标存在两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=3x+6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-1 \\ y=3 \end{cases}$，即点M的坐标为$(-1,3)$。
求B、C两点坐标：将$x=0$代入$y=3x+6$，得$y=6$，故$B(0,6)$；将$x=0$代入$y=-x+2$，得$y=2$，故$C(0,2)$。
则$BC=6-2=4$，点M到y轴（BC所在直线）的距离为$|-1|=1$，因此$S_{△ BCM}=\frac{1}{2} × 4 × 1=2$。
(2) 连接AC，求A点坐标：将$y=0$代入$y=3x+6$，得$0=3x+6$，解得$x=-2$，故$A(-2,0)$。
$△ ABC$的底$BC=4$，高为A点到y轴的距离$|-2|=2$，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$，因此$S_{△ AMC}=S_{△ ABC}-S_{△ BCM}=4-2=2$，则$S_{△ BMN}=4S_{△ AMC}=8$。
设点N的横坐标为$x_N$，$△ BMN$以BC为底时，高为$|x_N - x_M|=|x_N+1|$，因此$\frac{1}{2} × 4 × |x_N+1|=8$，解得$|x_N+1|=4$，即$x_N=3$或$x_N=-5$。
将$x_N$代入$y=-x+2$：当$x_N=3$时，$y=-3+2=-1$；当$x_N=-5$时，$y=5+2=7$，即点N的坐标为$(3,-1)$或$(-5,7)$。
【答案】
23. (1)由题意,得
$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=3x+6. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=3. \end{cases}$
∴ 点 M 的坐标为$(-1,3)$.
∵ 函数 $y=3x+6$ 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、点 B,函数 $y=-x+2$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 D、点 C,
∴ 把 $x=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $y=2$.
∴ $ C(0,2) $. 把 $x = 0$ 代入 $y = 3x + 6$,得 $y = 6$.
∴ $ B(0,6) $,
∴ $ BC = 6-2 = 4 $.
∵ $ M(-1,3) $,
∴ 点 M 到 BC 的距离是 1.
∴ $ S_{△BCM}=\frac{1}{2}×4×1=2 $.
(2)如图,连接 AC.
把 $y=0$ 代入 $y=3x+6$,得 $x=-2$.
∴ $ A(-2,0) $.
∴ $ S_{△ACM} = S_{△ABC} - S_{△BCM} = \frac{1}{2} ×4×2-2=2 $. 把 $y=0$ 代入 $y=-x+2$,得 $ 0=-x+2 $. 解得 $x=2$.
∴ $ D(2,0) $.
∵ $ S_{△BMN}=4S_{△AMC}=8 $,$ S_{△BMN}=\frac{1}{2} BC · |x_N -x_M| $,
∴ $ \frac{1}{2}×4|x_N -(-1)|=8 $.
∴ $ x_N=-5 $ 或 $ x_N=3 $. 当 $ x_N=-5 $ 时,$ y_N=-(-5)+2=7 $,此时点 N 的坐标为$(-5,7)$;当 $ x_N=3 $ 时,$ y_N=-3+2=-1 $,此时点 N 的坐标为$(3,-1)$. 综上可知,$ N(-5,7) $或 $ N(3,-1) $.
【知识点】
1. 一次函数交点求解
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 坐标法求三角形面积
【点评】
本题综合考查一次函数性质与三角形面积的结合应用，解题核心是掌握联立方程求函数交点、利用坐标计算线段长度和图形面积的方法，解题时需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
