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19. 下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高(单位:cm).
甲组:155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165
乙组:150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180
分析以上数据,得到下表:
| | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲组 | 162 |
| 162 | $c$ |
| 乙组 | 162 | 159 | $b$ | 113.8 |
(1)$a=$
(2)请通过计算确定$c$的值;
(3)观察甲组舞蹈队员身高的箱线图,请在图7中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图,并通过对比分析,写出一条你所获取的结论.
甲组:155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165
乙组:150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180
分析以上数据,得到下表:
| | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲组 | 162 |
| 162 | $c$ || 乙组 | 162 | 159 | $b$ | 113.8 |
(1)$a=$
162
,$b=$152
;(2)请通过计算确定$c$的值;
(3)观察甲组舞蹈队员身高的箱线图,请在图7中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图,并通过对比分析,写出一条你所获取的结论.
答案
19. (1)162 152
(2)甲组的方差 $ c = \frac{1}{12} × [ (155-162)^2 + (160-162)^2 × 2 + (162-162)^2 × 4 + (163-162)^2 + (164-162)^2 × 2 + (165-162)^2×2 ] = \frac{1}{12}×84 =7 $.
(3)乙组舞蹈队12名队员的身高的四分位数 $ Q_3=\frac{172+172}{2}=172 $,$ Q_1=\frac{152+152}{2}=152 $,$ Q_2=\frac{153+165}{2}=159 $. 画图如下:
由甲组、乙组的箱线图和四分位数的大小可知,乙组数据波动较大,甲组数据比较稳定,即甲组队员身高更整齐.(合理即可)
解析
【分析】
（1）求解a、b时，先明确相关统计量的定义：中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。对甲组数据排序后取中间两个数求平均即可得a，统计乙组各数据出现的次数即可得b。
（2）求解方差c，直接套用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入甲组的平均数和对应数据计算即可。
（3）绘制箱线图需要先确定最小值、第一四分位数$Q_1$、中位数$Q_2$、第三四分位数$Q_3$、最大值五个关键值，乙组共12个数据，$Q_1$为第3、4个数据的平均数，$Q_3$为第9、10个数据的平均数，得到五个值后即可绘制箱线图，对比两组箱线图的离散程度就能得到对应结论。
【解析】
（1）将甲组12个身高数据从小到大排序后，第6、第7个数据均为162，因此中位数$a=\frac{162+162}{2}=162$；乙组数据中152共出现4次，出现次数最多，因此众数$b=152$。
（2）已知甲组身高的平均数为162，根据方差公式计算：
$\begin{aligned}c&=\frac{1}{12} × [ (155-162)^2 + 2×(160-162)^2 + 4×(162-162)^2 + (163-162)^2 + 2×(164-162)^2 + 2×(165-162)^2 ]\\&=\frac{1}{12}×(49+8+0+1+8+18)\\&=\frac{1}{12}×84\\&=7\end{aligned}$
（3）乙组身高排序后，最小值为150，最大值为180；$Q_1=\frac{152+152}{2}=152$，$Q_2=159$，$Q_3=\frac{172+172}{2}=172$，根据五个关键值绘制箱线图如下：
对比两组箱线图可得，甲组数据波动更小，队员身高更整齐。（结论合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{162}$，$\boxed{152}$
(2) $\boxed{c=7}$
(3) 箱线图见，结论：甲组舞蹈队员身高更整齐（合理即可）
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题综合考查统计基础知识点，要求学生熟练掌握常见统计量的计算方法，以及箱线图的绘制与解读，注重对数据分析能力的考查，和实际场景结合紧密。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、b时，先明确相关统计量的定义：中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。对甲组数据排序后取中间两个数求平均即可得a，统计乙组各数据出现的次数即可得b。
（2）求解方差c，直接套用方差公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入甲组的平均数和对应数据计算即可。
（3）绘制箱线图需要先确定最小值、第一四分位数$Q_1$、中位数$Q_2$、第三四分位数$Q_3$、最大值五个关键值，乙组共12个数据，$Q_1$为第3、4个数据的平均数，$Q_3$为第9、10个数据的平均数，得到五个值后即可绘制箱线图，对比两组箱线图的离散程度就能得到对应结论。
【解析】
（1）将甲组12个身高数据从小到大排序后，第6、第7个数据均为162，因此中位数$a=\frac{162+162}{2}=162$；乙组数据中152共出现4次，出现次数最多，因此众数$b=152$。
（2）已知甲组身高的平均数为162，根据方差公式计算：
$\begin{aligned}c&=\frac{1}{12} × [ (155-162)^2 + 2×(160-162)^2 + 4×(162-162)^2 + (163-162)^2 + 2×(164-162)^2 + 2×(165-162)^2 ]\\&=\frac{1}{12}×(49+8+0+1+8+18)\\&=\frac{1}{12}×84\\&=7\end{aligned}$
（3）乙组身高排序后，最小值为150，最大值为180；$Q_1=\frac{152+152}{2}=152$，$Q_2=159$，$Q_3=\frac{172+172}{2}=172$，根据五个关键值绘制箱线图如下：
对比两组箱线图可得，甲组数据波动更小，队员身高更整齐。（结论合理即可）
【答案】
(1) $\boxed{162}$，$\boxed{152}$
(2) $\boxed{c=7}$
(3) 箱线图见
，结论：甲组舞蹈队员身高更整齐（合理即可）【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题综合考查统计基础知识点，要求学生熟练掌握常见统计量的计算方法，以及箱线图的绘制与解读，注重对数据分析能力的考查，和实际场景结合紧密。
【难度系数】
0.7
20. 为了提高节能意识,某中学对全校的耗电情况进行了统计,他们抽查了10天中全校每天的耗电量(单位:度),数据如下表:
(1)写出学校这10天耗电量的众数和平均数;
(2)若每度电的定价是0.8元,由(1)中获得的数据,估计该校每月应付电费多少元.(每月按30天计)
(3)如果做到人走电关,学校每天就可节省电量1%,按照每度电0.8元计算,写出该校节省电费y(单位:元)与天数x(取正整数)之间的函数关系式.
(1)写出学校这10天耗电量的众数和平均数;
(2)若每度电的定价是0.8元,由(1)中获得的数据,估计该校每月应付电费多少元.(每月按30天计)
(3)如果做到人走电关,学校每天就可节省电量1%,按照每度电0.8元计算,写出该校节省电费y(单位:元)与天数x(取正整数)之间的函数关系式.
答案
20. (1)这 10 天耗电量的众数是 1 010 度,平均数为$(900+920+950×2+1 010×3+1 050+1 100×2)÷10=1 000$(度).
(2)$1 000×0.8×30 = 24 000$(元).
(3)$y= 0.8×1 000x×1\% = 8x$,即该校节省电费 y 与天数 x 之间的函数关系式为 $y=8x$.
(2)$1 000×0.8×30 = 24 000$(元).
(3)$y= 0.8×1 000x×1\% = 8x$,即该校节省电费 y 与天数 x 之间的函数关系式为 $y=8x$.
解析
【分析】
(1) 求解众数时，只需找出10天中出现次数最多的耗电量即可；求解平均数使用加权平均数的计算方法，先计算10天总耗电量，再除以总天数10即可得到结果。
(2) 计算每月电费，用第一问得到的平均每日耗电量乘每度电单价，再乘每月30天即可。
(3) 推导函数关系式时，先计算每天节省的电费：平均每日耗电量×节省比例1%×每度电单价，再乘天数x就得到总节省电费y，整理后即为所求函数式。
【解析】
(1) 观察表格可知，耗电量1010度对应的天数为3天，是所有度数中出现次数最多的，因此众数是1010度。
加权平均数计算如下：
$\begin{aligned}\mathrm{总耗电量}&=900×1+920×1+950×2+1010×3+1050×1+1100×2\\&=10000(\mathrm{度})\\\mathrm{平均数}&=10000÷10=1000(\mathrm{度})\end{aligned}$
(2) 每月电费计算：
$1000×0.8×30=24000(\mathrm{元})$
(3) 每天节省的电费为：$1000×1\%×0.8=8(\mathrm{元})$
x天节省的总电费为：$y=8x$（x为正整数）
【答案】
(1) 众数为1010度，平均数为1000度；
(2) 估计该校每月应付电费24000元；
(3) 函数关系式为$\boldsymbol{y=8x}$（x取正整数）。
【知识点】
众数的概念；加权平均数计算；列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查统计基础和函数应用，难度较低，解题时需要熟练掌握常见统计量的计算方法，理清实际问题中的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解众数时，只需找出10天中出现次数最多的耗电量即可；求解平均数使用加权平均数的计算方法，先计算10天总耗电量，再除以总天数10即可得到结果。
(2) 计算每月电费，用第一问得到的平均每日耗电量乘每度电单价，再乘每月30天即可。
(3) 推导函数关系式时，先计算每天节省的电费：平均每日耗电量×节省比例1%×每度电单价，再乘天数x就得到总节省电费y，整理后即为所求函数式。
【解析】
(1) 观察表格可知，耗电量1010度对应的天数为3天，是所有度数中出现次数最多的，因此众数是1010度。
加权平均数计算如下：
$\begin{aligned}\mathrm{总耗电量}&=900×1+920×1+950×2+1010×3+1050×1+1100×2\\&=10000(\mathrm{度})\\\mathrm{平均数}&=10000÷10=1000(\mathrm{度})\end{aligned}$
(2) 每月电费计算：
$1000×0.8×30=24000(\mathrm{元})$
(3) 每天节省的电费为：$1000×1\%×0.8=8(\mathrm{元})$
x天节省的总电费为：$y=8x$（x为正整数）
【答案】
(1) 众数为1010度，平均数为1000度；
(2) 估计该校每月应付电费24000元；
(3) 函数关系式为$\boldsymbol{y=8x}$（x取正整数）。
【知识点】
众数的概念；加权平均数计算；列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查统计基础和函数应用，难度较低，解题时需要熟练掌握常见统计量的计算方法，理清实际问题中的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
