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17. 如图6,小明的爸爸在鱼池边开垦了一块四边形土地种植蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量.小明用米尺测得$AB=4\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},CD=13\ \mathrm{m},DA=12\ \mathrm{m}$,又已知$∠ B=90°$.
(1)土地的面积是多少?
(2)蔬菜单位面积产量为$20\ \mathrm{kg}$,则这块地产蔬菜多少千克?
(1)土地的面积是多少?
(2)蔬菜单位面积产量为$20\ \mathrm{kg}$,则这块地产蔬菜多少千克?
答案
17. (1)如图,连接 AC.
在Rt△ABC 中,$AB=4\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},∠ B=90°$,
∴ $ AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ (\mathrm{m}) $.
∵ $ CD = 13\ \mathrm{m}, DA = 12\ \mathrm{m} $,
∴ $ AC^2+AD^2=DC^2 $.
∴ $ ∠DAC=90° $.
∴ $ S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=36(\ \mathrm{m}^2 ) $,即这块土地的面积是 $ 36\ \mathrm{m}^2 $
(2)$ 36×20=720(\ \mathrm{kg}) $,即这块地产蔬菜 720 kg.
解析
【分析】
本题是不规则四边形面积的实际应用问题，解题时可通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的三角形求解。首先已知∠B为直角，因此连接AC，先利用勾股定理计算AC的长度；再观察△ADC的三边长度，通过勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若为直角三角形则分别计算两个三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积；第二问直接用总面积乘单位面积产量就能得到总产量。
【解析】
(1) 连接AC，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{m}$
已知$CD=13\ \mathrm{m}$，$DA=12\ \mathrm{m}$，计算得：
$AC^2+AD^2=5^2+12^2=169$，$DC^2=13^2=169$
即$AC^2+AD^2=DC^2$，由勾股定理的逆定理可知$∠ DAC=90°$，$△ ADC$为直角三角形。
因此四边形面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36\ \mathrm{m}^2$
(2) 总产量=总面积×单位面积产量，代入数据得：
$36×20=720\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 如图，连接AC.
在Rt△ABC 中,$AB=4\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},∠ B=90°$,
∴ $ AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ (\mathrm{m}) $.
∵ $ CD = 13\ \mathrm{m}, DA = 12\ \mathrm{m} $,
∴ $ AC^2+AD^2=DC^2 $.
∴ $ ∠DAC=90° $.
∴ $ S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=36(\ \mathrm{m}^2 ) $，即这块土地的面积是 $ 36\ \mathrm{m}^2 $
(2)$ 36×20=720(\ \mathrm{kg}) $，即这块地产蔬菜 720 kg.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考察几何知识的应用，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，把未知问题转化为已知的直角三角形面积计算问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题是不规则四边形面积的实际应用问题，解题时可通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的三角形求解。首先已知∠B为直角，因此连接AC，先利用勾股定理计算AC的长度；再观察△ADC的三边长度，通过勾股定理的逆定理判断△ADC是否为直角三角形，若为直角三角形则分别计算两个三角形的面积，求和即可得到四边形的总面积；第二问直接用总面积乘单位面积产量就能得到总产量。
【解析】
(1) 连接AC，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{m}$
已知$CD=13\ \mathrm{m}$，$DA=12\ \mathrm{m}$，计算得：
$AC^2+AD^2=5^2+12^2=169$，$DC^2=13^2=169$
即$AC^2+AD^2=DC^2$，由勾股定理的逆定理可知$∠ DAC=90°$，$△ ADC$为直角三角形。
因此四边形面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36\ \mathrm{m}^2$
(2) 总产量=总面积×单位面积产量，代入数据得：
$36×20=720\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 如图，连接AC.
在Rt△ABC 中,$AB=4\ \mathrm{m},BC=3\ \mathrm{m},∠ B=90°$,
∴ $ AC=\sqrt{4^2+3^2}=5\ (\mathrm{m}) $.
∵ $ CD = 13\ \mathrm{m}, DA = 12\ \mathrm{m} $,
∴ $ AC^2+AD^2=DC^2 $.
∴ $ ∠DAC=90° $.
∴ $ S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×5×12=36(\ \mathrm{m}^2 ) $，即这块土地的面积是 $ 36\ \mathrm{m}^2 $
(2)$ 36×20=720(\ \mathrm{kg}) $，即这块地产蔬菜 720 kg.
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考察几何知识的应用，解题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，把未知问题转化为已知的直角三角形面积计算问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
18. 张老师计划到超市购买甲种文具100个,他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的购买品种,每减少购买1个甲种文具,需增加购买2个乙种文具.设购买x个甲种文具时,需购买y个乙种文具.
(1)①当减少购买1个甲种文具时,
$x=\_\_\_\_\_\_,y=\_\_\_\_\_\_;$
②求y与x之间的函数解析式.
(2)已知甲种文具每个5元,乙种文具每个3元,张老师购买这两种文具共用去540元.甲、乙两种文具各购买了多少个?
(1)①当减少购买1个甲种文具时,
$x=\_\_\_\_\_\_,y=\_\_\_\_\_\_;$
②求y与x之间的函数解析式.
(2)已知甲种文具每个5元,乙种文具每个3元,张老师购买这两种文具共用去540元.甲、乙两种文具各购买了多少个?
答案
18. (1)①99 2
②由题意得 $ y=2(100-x)= -2x+200 $,
∴ y 与 x 之间的函数解析式为 $ y = - 2x + 200 $.
(2) 由题意,得
$\begin{cases} y=-2x+200, \\ 5x+3y=540. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=80. \end{cases}$
所以甲、乙两种文具各购买了 60 个、80 个.
②由题意得 $ y=2(100-x)= -2x+200 $,
∴ y 与 x 之间的函数解析式为 $ y = - 2x + 200 $.
(2) 由题意,得
$\begin{cases} y=-2x+200, \\ 5x+3y=540. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=80. \end{cases}$
所以甲、乙两种文具各购买了 60 个、80 个.
解析
【分析】
（1）①原本计划购买甲种文具100个，减少购买1个甲时，甲的数量为100减1，再结合“每减少1个甲增加2个乙”的规则即可直接得到乙的数量。
（1）②要推导y与x的函数关系，先明确减少的甲的数量为(100-x)个，每个减少的甲对应2个乙，因此乙的总数量为减少的甲的数量乘2，整理即可得到函数解析式。
（2）本题存在两个等量关系：一是乙的数量和甲的数量满足（1）中的函数关系，二是购买甲的总费用加购买乙的总费用等于540元，联立两个等量关系得到二元一次方程组，求解即可得到两种文具的购买数量。
【解析】
(1) ① 当减少购买1个甲种文具时，甲的购买数量$x=100-1=99$，根据题意此时需增加购买2个乙种文具，因此$y=2$。
② 由题意得，减少购买的甲种文具数量为$(100-x)$个，对应乙种文具的数量为：
$y=2(100-x)=-2x+200$
即$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-2x+200$。
(2) 根据总费用的等量关系，结合（1）的函数解析式，可列方程组：
$\begin{cases} y=-2x+200 \\ 5x+3y=540 \end{cases}$
将$y=-2x+200$代入$5x+3y=540$，得：
$5x+3(-2x+200)=540$
解得$x=60$，将$x=60$代入$y=-2x+200$，得$y=80$。
【答案】
(1)①$\boxed{99}$；$\boxed{2}$
②$\boxed{y=-2x+200}$
(2) 甲种文具购买了$\boxed{60}$个，乙种文具购买了$\boxed{80}$个
【知识点】
一次函数解析式确定；二元一次方程组的应用；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活购物场景考查一次函数与二元一次方程组的综合应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应等量关系列式求解，属于基础应用型题目，熟练掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
（1）①原本计划购买甲种文具100个，减少购买1个甲时，甲的数量为100减1，再结合“每减少1个甲增加2个乙”的规则即可直接得到乙的数量。
（1）②要推导y与x的函数关系，先明确减少的甲的数量为(100-x)个，每个减少的甲对应2个乙，因此乙的总数量为减少的甲的数量乘2，整理即可得到函数解析式。
（2）本题存在两个等量关系：一是乙的数量和甲的数量满足（1）中的函数关系，二是购买甲的总费用加购买乙的总费用等于540元，联立两个等量关系得到二元一次方程组，求解即可得到两种文具的购买数量。
【解析】
(1) ① 当减少购买1个甲种文具时，甲的购买数量$x=100-1=99$，根据题意此时需增加购买2个乙种文具，因此$y=2$。
② 由题意得，减少购买的甲种文具数量为$(100-x)$个，对应乙种文具的数量为：
$y=2(100-x)=-2x+200$
即$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-2x+200$。
(2) 根据总费用的等量关系，结合（1）的函数解析式，可列方程组：
$\begin{cases} y=-2x+200 \\ 5x+3y=540 \end{cases}$
将$y=-2x+200$代入$5x+3y=540$，得：
$5x+3(-2x+200)=540$
解得$x=60$，将$x=60$代入$y=-2x+200$，得$y=80$。
【答案】
(1)①$\boxed{99}$；$\boxed{2}$
②$\boxed{y=-2x+200}$
(2) 甲种文具购买了$\boxed{60}$个，乙种文具购买了$\boxed{80}$个
【知识点】
一次函数解析式确定；二元一次方程组的应用；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活购物场景考查一次函数与二元一次方程组的综合应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应等量关系列式求解，属于基础应用型题目，熟练掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
