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1.小王的妈妈即将出国旅行.出发前,小王帮妈妈查询了当地的气温,抵达目的地当日气温是29～38华氏度(℉),我国常用的摄氏温标$x(°C)$和华氏温标$y(°F)$满足一次函数关系:$y=\frac{9}{5}x+32$,那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（
A.春季服装
B.夏季服装
C.秋季服装
D.冬季服装
D
）A.春季服装
B.夏季服装
C.秋季服装
D.冬季服装
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确已知条件：华氏温度y的范围是29≤y≤38，摄氏温度x和华氏温度y的函数关系为$y=\frac{9}{5}x+32$。我们的目标是求出对应的摄氏温度x的范围，再结合生活常识判断适合的服装。思考步骤：第一步先将y的两个端点值分别代入函数，求出对应的x的值，得到x的取值范围；第二步根据x的温度范围，结合生活中不同温度对应的穿着需求，选出正确选项。
【解析】
已知华氏温标和摄氏温标的函数关系为$y=\frac{9}{5}x+32$，抵达当日气温为29～38华氏度，即$29≤ y≤38$。
1. 当$y=29$时，代入函数得：
$29=\frac{9}{5}x+32$
移项计算：$\frac{9}{5}x=29-32=-3$
解得：$x=-3×\frac{5}{9}\approx-1.7℃$
2. 当$y=38$时，代入函数得：
$38=\frac{9}{5}x+32$
移项计算：$\frac{9}{5}x=38-32=6$
解得：$x=6×\frac{5}{9}\approx3.3℃$
因此当地当日摄氏温度范围约为$-1.7℃∼3.3℃$，气温较低，适合穿冬季服装。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用、解一元一次方程、实际问题决策
【点评】
本题结合生活出行场景命题，既考查了一次函数的基本应用，也需要学生结合生活常识判断结果，能够很好地体现数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确已知条件：华氏温度y的范围是29≤y≤38，摄氏温度x和华氏温度y的函数关系为$y=\frac{9}{5}x+32$。我们的目标是求出对应的摄氏温度x的范围，再结合生活常识判断适合的服装。思考步骤：第一步先将y的两个端点值分别代入函数，求出对应的x的值，得到x的取值范围；第二步根据x的温度范围，结合生活中不同温度对应的穿着需求，选出正确选项。
【解析】
已知华氏温标和摄氏温标的函数关系为$y=\frac{9}{5}x+32$，抵达当日气温为29～38华氏度，即$29≤ y≤38$。
1. 当$y=29$时，代入函数得：
$29=\frac{9}{5}x+32$
移项计算：$\frac{9}{5}x=29-32=-3$
解得：$x=-3×\frac{5}{9}\approx-1.7℃$
2. 当$y=38$时，代入函数得：
$38=\frac{9}{5}x+32$
移项计算：$\frac{9}{5}x=38-32=6$
解得：$x=6×\frac{5}{9}\approx3.3℃$
因此当地当日摄氏温度范围约为$-1.7℃∼3.3℃$，气温较低，适合穿冬季服装。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用、解一元一次方程、实际问题决策
【点评】
本题结合生活出行场景命题，既考查了一次函数的基本应用，也需要学生结合生活常识判断结果，能够很好地体现数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
2.某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元，则投入80万元时，销售额为
4500
万元。答案
2.4500
解析
【分析】
这道题考查一次函数的实际应用，解题思路为：首先根据“销售额y与广告投入x成一次函数关系”的条件，设出一次函数的标准解析式$y=kx+b(k≠0)$；再将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数解析式；最后把$x=80$代入求得的解析式，计算就能得到对应的销售额。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意，将$\begin{cases}x=10,y=1000\\x=90,y=5000\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k + b = 1000 ①\\90k + b = 5000 ②\end{cases}$
用②-①消去b，可得：$80k=4000$，解得$k=50$。
把$k=50$代入①式：$10×50 + b = 1000$，解得$b=500$。
因此该一次函数的解析式为$y=50x+500$。
当$x=80$时，代入解析式得：
$y=50×80 + 500 = 4000 + 500 = 4500$。
【答案】
4500
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意数值代入的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
这道题考查一次函数的实际应用，解题思路为：首先根据“销售额y与广告投入x成一次函数关系”的条件，设出一次函数的标准解析式$y=kx+b(k≠0)$；再将题目给出的两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可确定函数解析式；最后把$x=80$代入求得的解析式，计算就能得到对应的销售额。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意，将$\begin{cases}x=10,y=1000\\x=90,y=5000\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}10k + b = 1000 ①\\90k + b = 5000 ②\end{cases}$
用②-①消去b，可得：$80k=4000$，解得$k=50$。
把$k=50$代入①式：$10×50 + b = 1000$，解得$b=500$。
因此该一次函数的解析式为$y=50x+500$。
当$x=80$时，代入解析式得：
$y=50×80 + 500 = 4000 + 500 = 4500$。
【答案】
4500
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意数值代入的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
3.某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油卡加油，每升油降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性用完.
(1)购买一张加油卡实际花多少元？
(2)油的原价为$ x $元/升，使用加油卡优惠后油的价格为$ y $元/升，求$ y $关于$ x $的函数表达式；(不用写$ x $的取值范围)
(3)若油的原价是7.30元/升，优惠后油的价格比原价便宜多少？
(1)购买一张加油卡实际花多少元？
(2)油的原价为$ x $元/升，使用加油卡优惠后油的价格为$ y $元/升，求$ y $关于$ x $的函数表达式；(不用写$ x $的取值范围)
(3)若油的原价是7.30元/升，优惠后油的价格比原价便宜多少？
答案
3.解:(1)1000×0.9=900(元).
答:购买一张加油卡实际花 900 元.
(2)由题意,得 y=0.9(x-0.30),
整理,得 y=0.9x-0.27,
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=0.9x-0.27.
(3)当 x=7.30 时,y=0.9×7.30-0.27=6.30.
7.30-6.30=1.00(元/升).
答:优惠后油的价格比原价便宜 1.00 元/升.
答:购买一张加油卡实际花 900 元.
(2)由题意,得 y=0.9(x-0.30),
整理,得 y=0.9x-0.27,
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=0.9x-0.27.
(3)当 x=7.30 时,y=0.9×7.30-0.27=6.30.
7.30-6.30=1.00(元/升).
答:优惠后油的价格比原价便宜 1.00 元/升.
解析
【分析】
(1) 求购买加油卡的实际花费，已知加油卡面值1000元，打九折即按面值的90%销售，直接用面值乘折扣率即可求解。
(2) 推导y与x的函数关系式时，先明确两层优惠：首先使用加油卡加油每升直接降0.3元，对应单价为$(x-0.3)$元/升；其次加油卡本身是九折购买，相当于实际支付的油费是降价后单价的90%，将两个优惠结合列式整理即可得到函数表达式。
(3) 求优惠后比原价便宜的金额，先将$x=7.30$代入第二问得到的函数表达式，算出优惠后的单价y，再用原价减去优惠后的价格即可得到差价。
【解析】
(1) 打九折就是按原价的90%计算，实际花费为：
$1000×0.9=900$（元）
答：购买一张加油卡实际花900元。
(2) 由题意可知，使用加油卡时每升油先降价0.3元，再享受九折优惠，因此：
$y=0.9(x-0.30)$
整理得：$y=0.9x-0.27$
∴y关于x的函数表达式为$y=0.9x-0.27$。
(3) 当$x=7.30$时，代入函数表达式得：
$y=0.9×7.30-0.27=6.57-0.27=6.30$（元/升）
优惠后比原价便宜的金额为：$7.30-6.30=1.00$（元/升）
答：优惠后油的价格比原价便宜1.00元/升。
【答案】
(1) 900元；(2) $y=0.9x-0.27$；(3) 1.00元/升
【知识点】
折扣计算，一次函数解析式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的优惠促销场景命题，贴近实际，解题的核心是理清两层优惠的先后逻辑，再结合代数运算和一次函数的相关知识求解即可，计算时需注意小数运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
(1) 求购买加油卡的实际花费，已知加油卡面值1000元，打九折即按面值的90%销售，直接用面值乘折扣率即可求解。
(2) 推导y与x的函数关系式时，先明确两层优惠：首先使用加油卡加油每升直接降0.3元，对应单价为$(x-0.3)$元/升；其次加油卡本身是九折购买，相当于实际支付的油费是降价后单价的90%，将两个优惠结合列式整理即可得到函数表达式。
(3) 求优惠后比原价便宜的金额，先将$x=7.30$代入第二问得到的函数表达式，算出优惠后的单价y，再用原价减去优惠后的价格即可得到差价。
【解析】
(1) 打九折就是按原价的90%计算，实际花费为：
$1000×0.9=900$（元）
答：购买一张加油卡实际花900元。
(2) 由题意可知，使用加油卡时每升油先降价0.3元，再享受九折优惠，因此：
$y=0.9(x-0.30)$
整理得：$y=0.9x-0.27$
∴y关于x的函数表达式为$y=0.9x-0.27$。
(3) 当$x=7.30$时，代入函数表达式得：
$y=0.9×7.30-0.27=6.57-0.27=6.30$（元/升）
优惠后比原价便宜的金额为：$7.30-6.30=1.00$（元/升）
答：优惠后油的价格比原价便宜1.00元/升。
【答案】
(1) 900元；(2) $y=0.9x-0.27$；(3) 1.00元/升
【知识点】
折扣计算，一次函数解析式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的优惠促销场景命题，贴近实际，解题的核心是理清两层优惠的先后逻辑，再结合代数运算和一次函数的相关知识求解即可，计算时需注意小数运算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
4.家电超市出售某种充电器,可从A,B两个厂家进货,进价均为50元/个,为了促销,两个厂家给出了不同的优惠方案:
A厂家:一律打8折;
B厂家:20个以内(含20个)不打折,超过20个后,超过的部分打7折.
设该家电超市计划购进这种充电器x个,去A厂家购进应付$y_1$元,去B厂家购进应付$y_2$元.
(1)分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数表达式;
(2)若该家电超市只在一个厂家进货,怎样选择划算?
A厂家:一律打8折;
B厂家:20个以内(含20个)不打折,超过20个后,超过的部分打7折.
设该家电超市计划购进这种充电器x个,去A厂家购进应付$y_1$元,去B厂家购进应付$y_2$元.
(1)分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数表达式;
(2)若该家电超市只在一个厂家进货,怎样选择划算?
答案
4.解:(1)根据题意,得 $y_1=0.8×50x=40x(x≥0$ 且 $x$ 为整数).
当 $0≤x≤20$ 且 $x$ 为整数时,$y_2=50x$;
当 $x＞20$ 且 $x$ 为整数时, $y_2=50×20+0.7×50(x-20)=35x+300$.
综上,$y_2=\begin{cases} 50x(0≤ x≤ 20 且 x 为整数), \\ 35x+300(x＞20 且 x 为整数). \end{cases}$
(2)当 $0≤x≤20$ 且 $x$ 为整数时,$y_1＜y_2$.
当 $x＞20$ 且 $x$ 为整数时,
由 $y_1＜y_2$,得 $40x＜35x+300$,解得 $x＜60$;
由 $y_1=y_2$,得 $40x=35x+300$,解得 $x=60$;
由 $y_1＞y_2$,得 $40x＞35x+300$,解得 $x＞60$.
∴当 $0≤x＜60$ 时,选择 A 厂家比较划算;当 $x=60$ 时,选择 A 厂家和 B 厂家一样划算;当 $x＞60$ 时,选择 B 厂家比较划算.
当 $0≤x≤20$ 且 $x$ 为整数时,$y_2=50x$;
当 $x＞20$ 且 $x$ 为整数时, $y_2=50×20+0.7×50(x-20)=35x+300$.
综上,$y_2=\begin{cases} 50x(0≤ x≤ 20 且 x 为整数), \\ 35x+300(x＞20 且 x 为整数). \end{cases}$
(2)当 $0≤x≤20$ 且 $x$ 为整数时,$y_1＜y_2$.
当 $x＞20$ 且 $x$ 为整数时,
由 $y_1＜y_2$,得 $40x＜35x+300$,解得 $x＜60$;
由 $y_1=y_2$,得 $40x=35x+300$,解得 $x=60$;
由 $y_1＞y_2$,得 $40x＞35x+300$,解得 $x＞60$.
∴当 $0≤x＜60$ 时,选择 A 厂家比较划算;当 $x=60$ 时,选择 A 厂家和 B 厂家一样划算;当 $x＞60$ 时,选择 B 厂家比较划算.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式时，先依据A厂家“一律打8折”的优惠规则，根据“总费用=单价×折扣×数量”直接写出$y_1$的表达式，注意购进数量x为非负整数。B厂家的优惠分两种情况：购买数量不超过20个时无折扣，超过20个时20个按原价、超出部分打7折，因此要分$0≤x≤20$和$x＞20$两段分别计算$y_2$，最后整理成分段函数形式。
(2) 判断哪个厂家划算，本质是比较相同x下$y_1$和$y_2$的大小：先讨论$0≤x≤20$时两个函数的大小关系，再讨论$x＞20$时，分别令$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$，解对应的不等式或方程得到x的取值范围，即可对应得到不同进货量下的最优选择。
【解析】
(1) 根据题意，A厂家每个充电器的实际进货价为$50×0.8=40$元，因此：
$y_1=0.8×50x=40x$（$x≥0$且x为整数）
B厂家分两种情况计算费用：
① 当$0≤x≤20$且x为整数时，无折扣，因此$y_2=50x$；
② 当$x＞20$且x为整数时，前20个按原价，超出的$(x-20)$个打7折，因此：
$y_2=50×20 + 0.7×50×(x-20)=1000 + 35(x-20)=35x+300$
综上，$y_2$的表达式为：
$y_2=\begin{cases} 50x&(0≤ x≤ 20 且 x 为整数) \\ 35x+300&(x＞20 且 x 为整数) \end{cases}$
(2) 分情况讨论：
① 当$0≤x≤20$且x为整数时，$y_1=40x$，$y_2=50x$，显然$40x＜50x$，即$y_1＜y_2$，此时选A厂家更划算。
② 当$x＞20$且x为整数时，分别比较$y_1$和$y_2$的大小：
若$y_1 ＜ y_2$，即$40x ＜ 35x + 300$，移项得$5x ＜ 300$，解得$x ＜ 60$；
若$y_1 = y_2$，即$40x = 35x + 300$，移项得$5x = 300$，解得$x = 60$；
若$y_1 ＞ y_2$，即$40x ＞ 35x + 300$，移项得$5x ＞ 300$，解得$x ＞ 60$。
结合两种情况可得出最终选择方案。
【答案】
(1) $y_1=40x(x≥0且x为整数)$；$y_2=\begin{cases} 50x&(0≤ x≤ 20 且 x 为整数) \\ 35x+300&(x＞20 且 x 为整数) \end{cases}$
(2) 当购进充电器数量满足$0≤x＜60$时，选择A厂家比较划算；当$x=60$时，选择A、B两个厂家费用相同；当$x＞60$时，选择B厂家比较划算。
【知识点】
一次函数解析式求解，分段函数，方案选择
【点评】
本题结合生活中的优惠促销场景出题，既考查了分段函数的列式方法，也考查了通过比较函数值大小进行方案决策的能力，解题时要注意分类讨论自变量的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式时，先依据A厂家“一律打8折”的优惠规则，根据“总费用=单价×折扣×数量”直接写出$y_1$的表达式，注意购进数量x为非负整数。B厂家的优惠分两种情况：购买数量不超过20个时无折扣，超过20个时20个按原价、超出部分打7折，因此要分$0≤x≤20$和$x＞20$两段分别计算$y_2$，最后整理成分段函数形式。
(2) 判断哪个厂家划算，本质是比较相同x下$y_1$和$y_2$的大小：先讨论$0≤x≤20$时两个函数的大小关系，再讨论$x＞20$时，分别令$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$，解对应的不等式或方程得到x的取值范围，即可对应得到不同进货量下的最优选择。
【解析】
(1) 根据题意，A厂家每个充电器的实际进货价为$50×0.8=40$元，因此：
$y_1=0.8×50x=40x$（$x≥0$且x为整数）
B厂家分两种情况计算费用：
① 当$0≤x≤20$且x为整数时，无折扣，因此$y_2=50x$；
② 当$x＞20$且x为整数时，前20个按原价，超出的$(x-20)$个打7折，因此：
$y_2=50×20 + 0.7×50×(x-20)=1000 + 35(x-20)=35x+300$
综上，$y_2$的表达式为：
$y_2=\begin{cases} 50x&(0≤ x≤ 20 且 x 为整数) \\ 35x+300&(x＞20 且 x 为整数) \end{cases}$
(2) 分情况讨论：
① 当$0≤x≤20$且x为整数时，$y_1=40x$，$y_2=50x$，显然$40x＜50x$，即$y_1＜y_2$，此时选A厂家更划算。
② 当$x＞20$且x为整数时，分别比较$y_1$和$y_2$的大小：
若$y_1 ＜ y_2$，即$40x ＜ 35x + 300$，移项得$5x ＜ 300$，解得$x ＜ 60$；
若$y_1 = y_2$，即$40x = 35x + 300$，移项得$5x = 300$，解得$x = 60$；
若$y_1 ＞ y_2$，即$40x ＞ 35x + 300$，移项得$5x ＞ 300$，解得$x ＞ 60$。
结合两种情况可得出最终选择方案。
【答案】
(1) $y_1=40x(x≥0且x为整数)$；$y_2=\begin{cases} 50x&(0≤ x≤ 20 且 x 为整数) \\ 35x+300&(x＞20 且 x 为整数) \end{cases}$
(2) 当购进充电器数量满足$0≤x＜60$时，选择A厂家比较划算；当$x=60$时，选择A、B两个厂家费用相同；当$x＞60$时，选择B厂家比较划算。
【知识点】
一次函数解析式求解，分段函数，方案选择
【点评】
本题结合生活中的优惠促销场景出题，既考查了分段函数的列式方法，也考查了通过比较函数值大小进行方案决策的能力，解题时要注意分类讨论自变量的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
