三、解答题(共40分)
11.(10分)已知$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x-3$成正比例，$y=y_1+y_2$，当$x=-1$时，$y=4$；当$x=1$时，$y=8$。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)已知点$A(-4,a)$，$B(b,-4)$都在函数$y$的图象上，比较$a,b$的大小。

11.解:(1)设$y_1=k_1x,y_2=k_2(x-3)$,
由题意,得$y=k_1x+k_2(x-3)$,
$\therefore \begin{cases} -k_1 -4k_2=4,\\ k_1 -2k_2=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_1=4,\\ k_2=-2. \end{cases}$
$\therefore y=4x-2(x-3)=2x+6$.
(2)由(1)可知,$y=2x+6$,
把$A(-4,a),B(b,-4)$代入,得$a=2×(-4)+6=-2$,
$2b+6=-4$,解得$b=-5$,
$\therefore a＞b$.

【分析】
(1) 首先结合正比例函数的定义设表达式：若两个量成正比例关系，可设其解析式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），因此设$y_1=k_1x$，$y_2=k_2(x-3)$，再根据$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参数$k_1$、$k_2$的表达式；接下来代入已知的两组$x$、$y$的取值，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；最后解方程组求出$k_1$、$k_2$的值，代入表达式化简即可得到$y$与$x$的函数解析式。
(2) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将$A$、$B$两点的坐标分别代入(1)中求出的解析式，分别计算出$a$和$b$的数值，直接比较大小即可。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=k_2(x-3)$（$k_2≠0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y=k_1x+k_2(x-3)$，
将$x=-1$，$y=4$和$x=1$，$y=8$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases} -k_1 -4k_2=4\\ k_1 -2k_2=8 \end{cases}$
解这个方程组，将两个方程相加得：$-6k_2=12$，解得$k_2=-2$，
把$k_2=-2$代入$k_1 -2k_2=8$，得$k_1 +4=8$，解得$k_1=4$，
因此$y=4x-2(x-3)=2x+6$。
(2) 把点$A(-4,a)$代入$y=2x+6$，得：
$a=2×(-4)+6=-2$，
把点$B(b,-4)$代入$y=2x+6$，得：
$2b+6=-4$，解得$b=-5$，
因为$-2＞-5$，所以$a＞b$。
【答案】
(1) $y=2x+6$；(2) $a＞b$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式的应用，以及函数图象上点的坐标与解析式的关系，解题时需注意设正比例函数参数时分清两个不同的比例系数，避免混淆。
【难度系数】
0.8

12.(10分)已知一次函数$y=2x-6$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图象;
(2)判断点$(4,3)$是否在此函数的图象上;
(3)观察画出的图象,直接写出当$y＞0$时,自变量$x$的取值范围.

12.解:(1)在$y=2x-6$中,令$x=0$,则$y=-6$,令$y=0$,则$x=3$,
$\therefore$该函数的图象与$x$轴,$y$轴的交点坐标分别为$(3,0)$,$(0,-6)$.
作出函数$y=2x-6$的图象如所示.
(2)$\because$当$x=4$时,$y=2x-6=2≠3$,
$\therefore$点$(4,3)$不在此函数的图象上.
(3)结合函数的图象可知,当$y＞0$时,自变量$x$的取值范围为$x＞3$.

【分析】
本题围绕一次函数$y=2x-6$设置三个小问，解题思路如下：
(1) 一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个点即可画出图像，通常选取函数与x轴、y轴的交点：分别令$x=0$求对应的y值得到与y轴交点，令$y=0$求对应的x值得到与x轴交点，之后描点、连线即可画出图像；
(2) 判断点是否在函数图像上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在图像上，反之则不在；
(3) $y＞0$对应函数图像在x轴上方的部分，观察图像找到这部分对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x-6$：
令$x=0$，代入得$y=2×0 -6=-6$，得到函数与y轴交点为$(0,-6)$；
令$y=0$，代入得$0=2x-6$，解得$x=3$，得到函数与x轴交点为$(3,0)$；
在平面直角坐标系中描出$(3,0)$和$(0,-6)$两个点，过这两个点画直线，即为$y=2x-6$的图象。
(2) 将点$(4,3)$的横坐标$x=4$代入函数解析式：
$y=2×4 -6=8-6=2$，计算得到的y值为2，与点的纵坐标3不相等，因此点$(4,3)$不在此函数的图象上。
(3) 观察画出的函数图象，当$y＞0$时，图像位于x轴上方，对应的横坐标均大于3，因此自变量x的取值范围是$x＞3$。
【答案】
(1) 函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为$(3,0)$，$(0,-6)$，图象如所示；
(2) 点$(4,3)$不在此函数的图象上；
(3) $x＞3$
【知识点】
一次函数的图象画法；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础题型，全面考查了一次函数的图象绘制、点与函数图象的判断方法以及结合图象求解不等式的能力，解题核心是掌握一次函数的基本性质，学会利用数形结合的思想分析问题。
【难度系数】
0.8

13.(10分)如图,直线$y=\frac{1}{2}x+1$与$x$轴交于点$A$,点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$,点$B(0,2)$,设直线$A'B$的函数表达式为$y=kx+b$.
求:(1)点$A'$的坐标;
(2)直线$A'B$的函数表达式.

13.解:(1)令$y=0$,则$\frac{1}{2}x+1=0$,解得$x=-2$,
$\therefore A(-2,0)$.
$\because$点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$,$\therefore A'(2,0)$.
(2)将$A'(2,0)$,$B(0,2)$分别代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} 2k+b=0,\\ b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=2, \end{cases}$
$\therefore$直线$A'B$的函数表达式为$y=-x+2$.

【分析】
解题可分为两步思考：1. 求点$A'$的坐标：点$A$是直线$y=\frac{1}{2}x+1$与$x$轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此令$y=0$代入直线方程可求出点$A$的坐标；再根据关于y轴对称的点“纵坐标不变、横坐标互为相反数”的规律，即可得到$A'$的坐标。2. 求直线$A'B$的解析式：已知直线$A'B$过$A'$、$B$两个点，使用待定系数法，将两点坐标代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+1$，令$y=0$，则：
$\frac{1}{2}x+1=0$，解得$x=-2$
$\therefore$点$A$的坐标为$(-2,0)$
$\because$点$A'$是点$A$关于$y$轴的对称点，纵坐标不变，横坐标取相反数
$\therefore A'$的坐标为$(2,0)$
(2) 将$A'(2,0)$、$B(0,2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} 2k+b=0 \\ b=2 \end{cases}$
把$b=2$代入$2k+b=0$，得$2k+2=0$，解得$k=-1$
$\therefore$直线$A'B$的函数表达式为$y=-x+2$
【答案】
(1) $A'(2,0)$
(2) $y=-x+2$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求法；关于y轴对称的点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数基础应用题，考察的均为一次函数核心基础知识点，解题逻辑清晰，熟练掌握相关基础概念和方法即可快速完成解答。
【难度系数】
0.85

14.(10分)如图,直线$y=x+3$与$y$轴交于点$A$,$B$为该直线上一点,且点$B$的纵坐标是6.
(1)求点$A$和点$B$的坐标;
(2)把直线$y=x+3$向下平移7个单位长度,若平移后的直线与$x$轴交于点$C$,连接$AC$,$BC$,求$△ ABC$的面积.

14.解:(1)把$x=0$代入$y=x+3$,得$y=3$,$\therefore A(0,3)$.
把$y=6$代入$y=x+3$,得$6=x+3$,解得$x=3$,
$\therefore B(3,6)$.
(2)如答图,设直线$AB$与$x$轴交于点$E$.
在$y=x+3$中,令$y=0$,得$x=-3$,$\therefore E(-3,0)$.
把直线$y=x+3$向下平移7个单位长度得到直线$y=x+3-7$,即$y=x-4$.
在$y=x-4$中,令$y=0$,得$x-4=0$,解得$x=4$,
$\therefore C(4,0)$,$\therefore CE=7$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCE}-S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CE· y_B-\frac{1}{2}CE· y_A=\frac{1}{2}CE·(y_B-y_A)=\frac{1}{2}×7×(6-3)=\frac{21}{2}$,
$\therefore△ ABC$的面积为$\frac{21}{2}$.

【分析】
(1) 求点A坐标：点A是直线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将x=0代入直线解析式即可求出A的纵坐标；求点B坐标：已知B在直线上且纵坐标为6，将y=6代入解析式即可求出B的横坐标。
(2) 首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，算出平移后直线的解析式，再求平移后直线与x轴交点C的坐标；求△ABC的面积可采用割补法，先求出原直线与x轴的交点E，得到线段CE的长度，△ABC的面积等于△BCE与△ACE的面积差，两个三角形同底CE，高分别为点B、点A的纵坐标，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$y=x+3$，得$y=3$，$\therefore A(0,3)$。
把$y=6$代入$y=x+3$，得$6=x+3$，解得$x=3$，$\therefore B(3,6)$。
(2) 设直线$AB$与$x$轴交于点$E$，在$y=x+3$中，令$y=0$，得$x=-3$，$\therefore E(-3,0)$。
把直线$y=x+3$向下平移7个单位长度得到直线$y=x+3-7$，即$y=x-4$。
在$y=x-4$中，令$y=0$，得$x-4=0$，解得$x=4$，$\therefore C(4,0)$，$\therefore CE=4-(-3)=7$。
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ BCE}-S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CE· y_B-\frac{1}{2}CE· y_A=\frac{1}{2}CE·(y_B-y_A)=\frac{1}{2}×7×(6-3)=\frac{21}{2}$。
【答案】
(1) $A(0,3)$，$B(3,6)$；
(2) $△ ABC$的面积为$\frac{21}{2}$。
【知识点】
一次函数坐标求解；一次函数图象平移；割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，考查了一次函数与坐标轴交点的求解、平移规律的应用以及坐标系内三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握一次函数的基础性质，选择割补法简化面积计算过程。
【难度系数】
0.7