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5. 气温随着高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11 km处，每升高1 km，气温下降6 ℃，高于11 km时，几乎不再变化.设地面气温为20 ℃，当离地面13 km时，气温约为（
A.$-44\ °\mathrm{C}$
B.$-45\ °\mathrm{C}$
C.$-46\ °\mathrm{C}$
D.$-47\ °\mathrm{C}$
C
）A.$-44\ °\mathrm{C}$
B.$-45\ °\mathrm{C}$
C.$-46\ °\mathrm{C}$
D.$-47\ °\mathrm{C}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先要明确气温随高度变化的两个阶段：①0~11km高度范围内，每升高1km气温下降6℃，气温随高度升高呈线性下降；②高度超过11km时，气温不再变化，和11km处气温相等。所求高度是13km，已经超过11km，因此只需要先计算出11km高度的气温，就是13km处的气温。
【解析】
首先计算11km高度处的气温：
地面气温为20℃，从地面到11km，升高了11km，总共下降的气温为 $11×6℃=66℃$
因此11km处的气温为 $20℃ - 66℃ = -46℃$
因为13km＞11km，高于11km时气温几乎不再变化，所以13km处的气温等于11km处的气温，为-46℃。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 分段问题求解
【点评】
本题属于结合生活常识的数学应用题，解题核心是先找到气温变化的分界点（11km高度），先判断所求高度对应的变化阶段，再对应规律计算即可，解题时注意不要直接用13km计算降温幅度，避免落入题目陷阱。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确气温随高度变化的两个阶段：①0~11km高度范围内，每升高1km气温下降6℃，气温随高度升高呈线性下降；②高度超过11km时，气温不再变化，和11km处气温相等。所求高度是13km，已经超过11km，因此只需要先计算出11km高度的气温，就是13km处的气温。
【解析】
首先计算11km高度处的气温：
地面气温为20℃，从地面到11km，升高了11km，总共下降的气温为 $11×6℃=66℃$
因此11km处的气温为 $20℃ - 66℃ = -46℃$
因为13km＞11km，高于11km时气温几乎不再变化，所以13km处的气温等于11km处的气温，为-46℃。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 分段问题求解
【点评】
本题属于结合生活常识的数学应用题，解题核心是先找到气温变化的分界点（11km高度），先判断所求高度对应的变化阶段，再对应规律计算即可，解题时注意不要直接用13km计算降温幅度，避免落入题目陷阱。
【难度系数】
0.8
6.下表记录了“烧水时温度变化特点”的实验中水温和时间变化的数据.
若水温的变化是均匀的,则18分钟时水温是 （
A.$62°\mathrm{C}$
B.$64°\mathrm{C}$
C.$66°\mathrm{C}$
D.$68°\mathrm{C}$
若水温的变化是均匀的,则18分钟时水温是 （
B
）A.$62°\mathrm{C}$
B.$64°\mathrm{C}$
C.$66°\mathrm{C}$
D.$68°\mathrm{C}$
答案
6.B
解析
【分析】
首先题目说明水温变化是均匀的，说明水温和时间两个量满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式，再选取表格中两组已知的时间和水温数据，用待定系数法求出函数解析式，最后把x=18代入解析式，就能算出对应的水温。
【解析】
设烧水时间为$x$分钟时，水温为$y\,\mathrm{° C}$。
因为水温变化均匀，因此$y$是$x$的一次函数，设函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
从表格中选取两组数据代入：
当$x=0$时，$y=10$，代入得：$10 = k×0 + b$，解得$b=10$；
当$x=5$时，$y=25$，代入$y=kx+10$得：$25=5k+10$，解得$k=3$。
所以水温与时间的函数关系式为$y=3x+10$。
当$x=18$时，$y=3×18 +10=64$，即18分钟时水温为$64\,\mathrm{° C}$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合烧水实验的实际场景，考查一次函数的应用，解题的关键是根据“变化均匀”判断出两个变量为一次函数关系，再通过待定系数法求出解析式代入计算即可，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
首先题目说明水温变化是均匀的，说明水温和时间两个量满足一次函数关系，我们可以先设出一次函数的一般形式，再选取表格中两组已知的时间和水温数据，用待定系数法求出函数解析式，最后把x=18代入解析式，就能算出对应的水温。
【解析】
设烧水时间为$x$分钟时，水温为$y\,\mathrm{° C}$。
因为水温变化均匀，因此$y$是$x$的一次函数，设函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
从表格中选取两组数据代入：
当$x=0$时，$y=10$，代入得：$10 = k×0 + b$，解得$b=10$；
当$x=5$时，$y=25$，代入$y=kx+10$得：$25=5k+10$，解得$k=3$。
所以水温与时间的函数关系式为$y=3x+10$。
当$x=18$时，$y=3×18 +10=64$，即18分钟时水温为$64\,\mathrm{° C}$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合烧水实验的实际场景，考查一次函数的应用，解题的关键是根据“变化均匀”判断出两个变量为一次函数关系，再通过待定系数法求出解析式代入计算即可，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
7. 托运行李 $ p $ 千克（$ p $ 为正整数）的费用为 $ C $ 元，已知托运第一个 1 千克需付 2 元，以后每增加 1 千克（不足 1 千克按 1 千克计）需增加费用 0.5 元，则计算托运行李费用 $ C $ 的公式是________，托运 28.4 千克的行李需付________元。
答案
7.C=1.5+0.5p 16
解析
【分析】
解题时先理清楚托运行李的计费规则：首重1千克收费2元，超出1千克的部分每千克收费0.5元，不足1千克按1千克计算。第一步推导费用公式：总费用=首重费用+超出部分的费用，先拆分两部分费用相加，再化简即可得到C关于p的表达式；第二步计算28.4千克的费用时，先根据“不足1千克按1千克计”的规则，将28.4千克向上取整为29千克，再代入公式计算即可。
【解析】
1. 推导费用公式：
托运p千克行李时，首重1千克费用为2元，超出1千克的重量为$(p-1)$千克，超出部分费用为$0.5(p-1)$元，因此总费用：
$C=2+0.5(p-1)$
化简得：$C=2+0.5p-0.5=1.5+0.5p$。
2. 计算28.4千克行李的费用：
根据规则，不足1千克按1千克计，因此28.4千克需按29千克计算，将$p=29$代入$C=1.5+0.5p$得：
$C=1.5+0.5×29=1.5+14.5=16$（元）。
【答案】
$C=1.5+0.5p$；$16$
【知识点】
一次函数实际应用、分段计费问题、代数式求值
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，核心是根据给定的计费规则正确列出函数表达式，易错点是计算非整数重量的费用时，忘记按照规则先对重量向上取整再代入计算，解题时需注意审题抓住规则细节。
【难度系数】
0.75
解题时先理清楚托运行李的计费规则：首重1千克收费2元，超出1千克的部分每千克收费0.5元，不足1千克按1千克计算。第一步推导费用公式：总费用=首重费用+超出部分的费用，先拆分两部分费用相加，再化简即可得到C关于p的表达式；第二步计算28.4千克的费用时，先根据“不足1千克按1千克计”的规则，将28.4千克向上取整为29千克，再代入公式计算即可。
【解析】
1. 推导费用公式：
托运p千克行李时，首重1千克费用为2元，超出1千克的重量为$(p-1)$千克，超出部分费用为$0.5(p-1)$元，因此总费用：
$C=2+0.5(p-1)$
化简得：$C=2+0.5p-0.5=1.5+0.5p$。
2. 计算28.4千克行李的费用：
根据规则，不足1千克按1千克计，因此28.4千克需按29千克计算，将$p=29$代入$C=1.5+0.5p$得：
$C=1.5+0.5×29=1.5+14.5=16$（元）。
【答案】
$C=1.5+0.5p$；$16$
【知识点】
一次函数实际应用、分段计费问题、代数式求值
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，核心是根据给定的计费规则正确列出函数表达式，易错点是计算非整数重量的费用时，忘记按照规则先对重量向上取整再代入计算，解题时需注意审题抓住规则细节。
【难度系数】
0.75
8.(2025·深圳)某学校采购体育用品,需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元,篮球、足球的价格如下表:
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球的单价;
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过篮球个数的2倍,请问购买多少个篮球时花费最少,最少费用是多少元?
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球的单价;
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过篮球个数的2倍,请问购买多少个篮球时花费最少,最少费用是多少元?
答案
8.解:(1)设篮球的单价为 x 元,足球的单价为 y 元,
选择条件①②.(选法不唯一)
根据题意,得 $\begin{cases} x+y+30=140, \\ 2y-x=40, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=50, \end{cases}$
答:篮球的单价为 60 元,足球的单价为 50 元.
(2)设该学校购买篮球 m 个,则购买足球(10-m)个,
根据题意,得 10-m≤2m,解得 $m≥ \frac{10}{3}$.
又
∵m≤10,
∴$\frac{10}{3}≤ m≤ 10$.
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元,
根据题意,得 w=60m+50(10-m)=10m+500,
∵10＞0,
∴w 随 m 的增大而增大.
∵$\frac{10}{3}≤ m≤ 10$,且 m 为正整数,
∴当 m=4 时,w 最小,最小值为 540.
答:购买 4 个篮球时花费最少,最少费用是 540 元.
选择条件①②.(选法不唯一)
根据题意,得 $\begin{cases} x+y+30=140, \\ 2y-x=40, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60, \\ y=50, \end{cases}$
答:篮球的单价为 60 元,足球的单价为 50 元.
(2)设该学校购买篮球 m 个,则购买足球(10-m)个,
根据题意,得 10-m≤2m,解得 $m≥ \frac{10}{3}$.
又
∵m≤10,
∴$\frac{10}{3}≤ m≤ 10$.
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w 元,
根据题意,得 w=60m+50(10-m)=10m+500,
∵10＞0,
∴w 随 m 的增大而增大.
∵$\frac{10}{3}≤ m≤ 10$,且 m 为正整数,
∴当 m=4 时,w 最小,最小值为 540.
答:购买 4 个篮球时花费最少,最少费用是 540 元.
解析
【分析】
(1) 要求篮球和足球的单价，可设两个未知数，从3个条件中任选2个，找到对应的等量关系列二元一次方程组求解即可。若选条件①②，等量关系分别为：篮球单价+足球单价+排球单价=140元，2个足球的总价-1个篮球的总价=40元，代入数据解方程组即可得到单价。
(2) 求花费最少的采购方案，先设购买篮球的数量为m个，即可表示出足球的数量；首先根据“足球个数不超过篮球个数的2倍”的限制条件列不等式，求出m的取值范围；再列出总费用关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m为正整数的要求，即可找到使总费用最小的m值和对应最小费用。
【解析】
(1) 设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②（选法不唯一）。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+30=140 \\ 2y-x=40 \end{cases}$
整理第一个方程得$x+y=110$，与第二个方程相加得$3y=150$，解得$y=50$，将$y=50$代入$x+y=110$，解得$x=60$。
(2) 设该学校购买篮球m个，则购买足球$(10-m)$个，总费用为w元。
根据题意列不等式：$10-m≤2m$，解得$m≥\frac{10}{3}$，又因为$0≤m≤10$且m为正整数，所以m的取值范围为$\frac{10}{3}≤m≤10$（m为正整数）。
总费用$w=60m+50(10-m)=10m+500$，因为$10＞0$，所以w随m的增大而增大，因此m取最小正整数4时，w最小，代入得$w=10×4+500=540$。
【答案】
(1) 篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
(2) 购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的采购场景，综合考查方程、不等式和一次函数的实际应用，既需要学生准确提取题干中的等量、不等关系列式，也要求熟练掌握一次函数的增减性求解最值，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 要求篮球和足球的单价，可设两个未知数，从3个条件中任选2个，找到对应的等量关系列二元一次方程组求解即可。若选条件①②，等量关系分别为：篮球单价+足球单价+排球单价=140元，2个足球的总价-1个篮球的总价=40元，代入数据解方程组即可得到单价。
(2) 求花费最少的采购方案，先设购买篮球的数量为m个，即可表示出足球的数量；首先根据“足球个数不超过篮球个数的2倍”的限制条件列不等式，求出m的取值范围；再列出总费用关于m的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合m为正整数的要求，即可找到使总费用最小的m值和对应最小费用。
【解析】
(1) 设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选择条件①②（选法不唯一）。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+30=140 \\ 2y-x=40 \end{cases}$
整理第一个方程得$x+y=110$，与第二个方程相加得$3y=150$，解得$y=50$，将$y=50$代入$x+y=110$，解得$x=60$。
(2) 设该学校购买篮球m个，则购买足球$(10-m)$个，总费用为w元。
根据题意列不等式：$10-m≤2m$，解得$m≥\frac{10}{3}$，又因为$0≤m≤10$且m为正整数，所以m的取值范围为$\frac{10}{3}≤m≤10$（m为正整数）。
总费用$w=60m+50(10-m)=10m+500$，因为$10＞0$，所以w随m的增大而增大，因此m取最小正整数4时，w最小，代入得$w=10×4+500=540$。
【答案】
(1) 篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
(2) 购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的采购场景，综合考查方程、不等式和一次函数的实际应用，既需要学生准确提取题干中的等量、不等关系列式，也要求熟练掌握一次函数的增减性求解最值，实用性较强。
【难度系数】
0.7
9.(2025·黑龙江)2024年8月6日,第十二届世界运动会口号“运动无限,气象万千”在京发布,吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动,准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需332元,购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元.
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元?
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个,投入资金不少于2160元又不多于2200元,有哪几种购买方案?
(3)设学校投入资金$W$元,在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少?最少资金是多少元?
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元?
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个,投入资金不少于2160元又不多于2200元,有哪几种购买方案?
(3)设学校投入资金$W$元,在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少?最少资金是多少元?
答案
9.解:(1)设购买一个“蜀宝”需要 a 元,购买一个“锦仔”需要 b 元.
根据题意,得 $\begin{cases} 3a+b=332, \\ 2a+3b=380, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=88, \\ b=68. \end{cases}$
答:购买一个“蜀宝”需要 88 元,购买一个“锦仔”需要 68 元.
(2)设购买“蜀宝”x 个,则购买“锦仔”(30-x)个.
根据题意,得 $\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160, \\ 88x+68(30-x)≤ 2200, \end{cases}$ 解得 6≤x≤8.
∵x 为非负整数,
∴x 的值可为 6,7,8.
当 x=6 时,30-x=24;
当 x=7 时,30-x=23;
当 x=8 时,30-x=22,
∴共有三种购买方案:
方案 1:购买“蜀宝”6 个,“锦仔”24 个;
方案 2:购买“蜀宝”7 个,“锦仔”23 个;
方案 3:购买“蜀宝”8 个,“锦仔”22 个.
(3)W=88x+68(30-x)=20x+2040.
∵20＞0,
∴W 随 x 的增大而增大,
∴当 x=6 时,W 的值最小,最小值为 20×6+2040=2160.
答:购买方案 1 需要的资金最少,最少资金是 2160 元.
根据题意,得 $\begin{cases} 3a+b=332, \\ 2a+3b=380, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=88, \\ b=68. \end{cases}$
答:购买一个“蜀宝”需要 88 元,购买一个“锦仔”需要 68 元.
(2)设购买“蜀宝”x 个,则购买“锦仔”(30-x)个.
根据题意,得 $\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160, \\ 88x+68(30-x)≤ 2200, \end{cases}$ 解得 6≤x≤8.
∵x 为非负整数,
∴x 的值可为 6,7,8.
当 x=6 时,30-x=24;
当 x=7 时,30-x=23;
当 x=8 时,30-x=22,
∴共有三种购买方案:
方案 1:购买“蜀宝”6 个,“锦仔”24 个;
方案 2:购买“蜀宝”7 个,“锦仔”23 个;
方案 3:购买“蜀宝”8 个,“锦仔”22 个.
(3)W=88x+68(30-x)=20x+2040.
∵20＞0,
∴W 随 x 的增大而增大,
∴当 x=6 时,W 的值最小,最小值为 20×6+2040=2160.
答:购买方案 1 需要的资金最少,最少资金是 2160 元.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种吉祥物的单价，存在两个未知量，可通过设两个未知数，利用题目给出的两组购买总价的等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 第二问求购买方案，已知总购买数量和总资金的范围，可设购买“蜀宝”的数量为x，那么“锦仔”的数量用总数量减x表示，再根据总资金的上下限列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为非负整数的实际意义，得出所有符合条件的x值，对应得到不同的购买方案。
(3) 第三问求最少资金，先根据总资金=“蜀宝”总费用+“锦仔”总费用，列出总资金W关于x的一次函数表达式，再根据一次函数的增减性，结合第二问得到的x的取值范围，找到使W最小的x值，代入计算即可得到最少资金和对应方案。
【解析】
(1) 设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元。
根据题意，得 $\begin{cases} 3a+b=332 \\ 2a+3b=380 \end{cases}$
将第一个方程变形为$b=332-3a$，代入第二个方程得：
$2a+3(332-3a)=380$，解得$a=88$，再代入得$b=68$
即方程组的解为$\begin{cases} a=88 \\ b=68 \end{cases}$
(2) 设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”$(30-x)$个。
根据题意，得 $\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160 \\ 88x+68(30-x)≤ 2200 \end{cases}$
化简不等式左边得$20x+2040$，解得不等式组的解集为$6≤x≤8$
∵x为非负整数，
∴x可取6、7、3
对应得三种方案：
当x=6时，$30-x=24$，即购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个；
当x=7时，$30-x=23$，即购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个；
当x=8时，$30-x=22$，即购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个。
(3) 总资金$W=88x+68(30-x)=20x+2040$
∵$20＞0$，
∴W随x的增大而增大
∴当x取最小值6时，W最小，最小值为$20×6+2040=2160$元
【答案】
(1) 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元；
(2) 共有3种购买方案：方案1：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个；方案2：购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个；方案3：购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个；
(3) 购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案需要的资金最少，最少资金是2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、一次函数最值应用
【点评】
本题以生活中的购物问题为背景，综合考查了方程、不等式、函数的核心知识，侧重考查学生将实际问题转化为数学关系式的能力，以及结合实际意义求解问题的能力，贴合生活实际，对基础知识应用能力的考查比较全面。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求两种吉祥物的单价，存在两个未知量，可通过设两个未知数，利用题目给出的两组购买总价的等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
(2) 第二问求购买方案，已知总购买数量和总资金的范围，可设购买“蜀宝”的数量为x，那么“锦仔”的数量用总数量减x表示，再根据总资金的上下限列出一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为非负整数的实际意义，得出所有符合条件的x值，对应得到不同的购买方案。
(3) 第三问求最少资金，先根据总资金=“蜀宝”总费用+“锦仔”总费用，列出总资金W关于x的一次函数表达式，再根据一次函数的增减性，结合第二问得到的x的取值范围，找到使W最小的x值，代入计算即可得到最少资金和对应方案。
【解析】
(1) 设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元。
根据题意，得 $\begin{cases} 3a+b=332 \\ 2a+3b=380 \end{cases}$
将第一个方程变形为$b=332-3a$，代入第二个方程得：
$2a+3(332-3a)=380$，解得$a=88$，再代入得$b=68$
即方程组的解为$\begin{cases} a=88 \\ b=68 \end{cases}$
(2) 设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”$(30-x)$个。
根据题意，得 $\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160 \\ 88x+68(30-x)≤ 2200 \end{cases}$
化简不等式左边得$20x+2040$，解得不等式组的解集为$6≤x≤8$
∵x为非负整数，
∴x可取6、7、3
对应得三种方案：
当x=6时，$30-x=24$，即购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个；
当x=7时，$30-x=23$，即购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个；
当x=8时，$30-x=22$，即购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个。
(3) 总资金$W=88x+68(30-x)=20x+2040$
∵$20＞0$，
∴W随x的增大而增大
∴当x取最小值6时，W最小，最小值为$20×6+2040=2160$元
【答案】
(1) 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元；
(2) 共有3种购买方案：方案1：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个；方案2：购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个；方案3：购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个；
(3) 购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案需要的资金最少，最少资金是2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、一次函数最值应用
【点评】
本题以生活中的购物问题为背景，综合考查了方程、不等式、函数的核心知识，侧重考查学生将实际问题转化为数学关系式的能力，以及结合实际意义求解问题的能力，贴合生活实际，对基础知识应用能力的考查比较全面。
【难度系数】
0.7
