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1.(2025·江西)在趣味跳高比赛中,规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示,则获胜的同学是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1.A
解析
【分析】
首先明确坐标系的横轴代表身高、纵轴代表跳跃高度，解题核心是找到跳跃高度与身高的比值最大的同学。比较该比值大小时可结合分数的性质：分子相近时分母越小比值越大，分母相近时分子越大比值越大，通过两两对比四个点的坐标特征即可得出结果。
【解析】
我们需要比较“跳跃高度÷身高”的大小，这个值越大成绩越好，结合图象分析：
1. 对比甲和乙：二者跳跃高度相近，但甲的身高明显小于乙，因此甲的比值比乙大；
2. 对比乙和丙：二者身高相近，但丙的跳跃高度小于乙，因此丙的比值比乙小；
3. 对比甲和丁：丁的身高远大于甲，跳跃高度仅略高于甲，计算可得丁的比值小于甲。
综上，甲的跳跃高度与身高的比值最大。
【答案】
A
【知识点】
比值的计算、平面直角坐标系的应用、分数的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题的关键是理解所求比值的含义，结合坐标特征灵活比较大小即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先明确坐标系的横轴代表身高、纵轴代表跳跃高度，解题核心是找到跳跃高度与身高的比值最大的同学。比较该比值大小时可结合分数的性质：分子相近时分母越小比值越大，分母相近时分子越大比值越大，通过两两对比四个点的坐标特征即可得出结果。
【解析】
我们需要比较“跳跃高度÷身高”的大小，这个值越大成绩越好，结合图象分析：
1. 对比甲和乙：二者跳跃高度相近，但甲的身高明显小于乙，因此甲的比值比乙大；
2. 对比乙和丙：二者身高相近，但丙的跳跃高度小于乙，因此丙的比值比乙小；
3. 对比甲和丁：丁的身高远大于甲，跳跃高度仅略高于甲，计算可得丁的比值小于甲。
综上，甲的跳跃高度与身高的比值最大。
【答案】
A
【知识点】
比值的计算、平面直角坐标系的应用、分数的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题的关键是理解所求比值的含义，结合坐标特征灵活比较大小即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
2.某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费$y$(元)是行李质量$x$(千克)的一次函数，其图象如图所示，则旅客最多可免费携带行李的质量是________千克.
答案
2.10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确行李费y是行李质量x的一次函数，因此可先通过待定系数法求出一次函数解析式。已知函数图象经过点(40,6)和(60,10)，将两点代入解析式就能求出系数k和b。旅客免费携带行李时对应行李费y=0，将y=0代入求出的解析式，计算得到的x值就是最多可免费携带的行李质量。
【解析】
设行李费y关于行李质量x的一次函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
由图象可知函数过点$(40,6)$和$(60,10)$，将两点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}40k + b = 6 \\60k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$20k=4$，解得$k=0.2$。
将$k=0.2$代入$40k + b = 6$，得$8 + b=6$，解得$b=-2$。
因此一次函数解析式为$y=0.2x - 2$。
当免费携带行李时，行李费$y=0$，代入解析式得：
$0=0.2x - 2$
解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，解题核心是先利用图象已知点求出函数解析式，再结合“免费即行李费为0”的实际含义求解，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确行李费y是行李质量x的一次函数，因此可先通过待定系数法求出一次函数解析式。已知函数图象经过点(40,6)和(60,10)，将两点代入解析式就能求出系数k和b。旅客免费携带行李时对应行李费y=0，将y=0代入求出的解析式，计算得到的x值就是最多可免费携带的行李质量。
【解析】
设行李费y关于行李质量x的一次函数解析式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
由图象可知函数过点$(40,6)$和$(60,10)$，将两点代入解析式得方程组：
$\begin{cases}40k + b = 6 \\60k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$20k=4$，解得$k=0.2$。
将$k=0.2$代入$40k + b = 6$，得$8 + b=6$，解得$b=-2$。
因此一次函数解析式为$y=0.2x - 2$。
当免费携带行李时，行李费$y=0$，代入解析式得：
$0=0.2x - 2$
解得$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，解题核心是先利用图象已知点求出函数解析式，再结合“免费即行李费为0”的实际含义求解，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
3.(2024·仪征一模)如图反映了某网约车平台收费$y$(元)与所行驶的路程$x$(千米)的函数关系，根据图中的信息，小明乘坐该网约车从家到机场共花费64元，若车速始终保持$60$千米/时，不考虑其他因素(红绿灯、堵车等)，他从家到机场需要
20
分钟.答案
3.20
解析
【分析】
观察图像可知，网约车收费为分段计费：行驶路程不超过3千米时，收费固定为13元；超过3千米后，费用y与路程x满足一次函数关系。解题思路如下：第一步，利用待定系数法，代入图像给出的两点(3,13)和(10,34)，求出x≥3时y与x的函数解析式；第二步，将总费用64元代入解析式，求出行驶的总路程；第三步，根据“时间=路程÷速度”计算行驶时间，注意将时间单位换算为分钟。
【解析】
设当$x≥3$时，收费$y$与路程$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(3,13)$、$(10,34)$代入解析式，得：
$\begin{cases}3k+b=13\\10k+b=34\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$7k=21$，解得$k=3$。
将$k=3$代入$3k+b=13$，得$9+b=13$，解得$b=4$。
因此$x≥3$时，函数解析式为$y=3x+4$。
已知总花费为64元，大于13元，说明行驶路程超过3千米，将$y=64$代入$y=3x+4$：
$64=3x+4$
解得$3x=60$，$x=20$，即总路程为20千米。
已知车速为60千米/时，行驶时间$t=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$小时，换算为分钟：$\frac{1}{3}×60=20$分钟。
【答案】
20
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合生活中网约车收费的实际场景，考查分段一次函数的实际应用，解题的核心是正确求出超出起步里程后的函数关系式，再结合已知条件求解路程，最后要注意单位换算避免出错。
【难度系数】
0.7
观察图像可知，网约车收费为分段计费：行驶路程不超过3千米时，收费固定为13元；超过3千米后，费用y与路程x满足一次函数关系。解题思路如下：第一步，利用待定系数法，代入图像给出的两点(3,13)和(10,34)，求出x≥3时y与x的函数解析式；第二步，将总费用64元代入解析式，求出行驶的总路程；第三步，根据“时间=路程÷速度”计算行驶时间，注意将时间单位换算为分钟。
【解析】
设当$x≥3$时，收费$y$与路程$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将点$(3,13)$、$(10,34)$代入解析式，得：
$\begin{cases}3k+b=13\\10k+b=34\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$7k=21$，解得$k=3$。
将$k=3$代入$3k+b=13$，得$9+b=13$，解得$b=4$。
因此$x≥3$时，函数解析式为$y=3x+4$。
已知总花费为64元，大于13元，说明行驶路程超过3千米，将$y=64$代入$y=3x+4$：
$64=3x+4$
解得$3x=60$，$x=20$，即总路程为20千米。
已知车速为60千米/时，行驶时间$t=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$小时，换算为分钟：$\frac{1}{3}×60=20$分钟。
【答案】
20
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题计算
【点评】
本题结合生活中网约车收费的实际场景，考查分段一次函数的实际应用，解题的核心是正确求出超出起步里程后的函数关系式，再结合已知条件求解路程，最后要注意单位换算避免出错。
【难度系数】
0.7
4.(2025·如皋期末)某游泳馆暑假期间计划采用A,B两种收费方式:方式A的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的关系为$y=40x$;方式B的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的关系如图所示.
(1)求方式B的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的函数表达式;
(2)当游泳次数为多少时,按这两种方式付费会相差100元?
(1)求方式B的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的函数表达式;
(2)当游泳次数为多少时,按这两种方式付费会相差100元?
答案
4.解:(1)由题意,当0≤x≤25时,设函数表达式为y=kx,
∴25k=1250,解得k=50,
∴此时函数表达式为y=50x;
当x＞25时,设函数表达式为y=mx+n,
∴$\begin{cases}25m+n=1250,\\50m+n=2000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=30,\\n=500,\end{cases}$
∴此时函数表达式为y=30x+500.
综上,方式B的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}50x(0≤ x≤ 25),\\30x+500(x＞25).\end{cases}$
(2)①当0≤x≤25时,
50x−40x=100,解得x=10.
②当x＞25时,
|30x+500−40x|=100,
解得x=40或x=60.
答:当游泳次数为10次或40次或60次时,按这两种方式付费会相差100元.
∴25k=1250,解得k=50,
∴此时函数表达式为y=50x;
当x＞25时,设函数表达式为y=mx+n,
∴$\begin{cases}25m+n=1250,\\50m+n=2000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=30,\\n=500,\end{cases}$
∴此时函数表达式为y=30x+500.
综上,方式B的收费总额y(单位:元)与游泳次数x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}50x(0≤ x≤ 25),\\30x+500(x＞25).\end{cases}$
(2)①当0≤x≤25时,
50x−40x=100,解得x=10.
②当x＞25时,
|30x+500−40x|=100,
解得x=40或x=60.
答:当游泳次数为10次或40次或60次时,按这两种方式付费会相差100元.
解析
【分析】
(1) 求方式B的函数表达式需结合图像分段分析：①当$0≤x≤25$时，函数是过原点的正比例函数，设解析式为$y=kx$，代入已知点$(25,1250)$即可求出$k$；②当$x＞25$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y=mx+n$，代入图像上两个已知点$(25,1250)$和$(50,2000)$，解二元一次方程组求出$m、n$即可，最后整合两段解析式。
(2) 两种付费相差100元即两个函数值的差的绝对值为100，需分两段讨论：①当$0≤x≤25$时，将两段对应解析式代入差值关系列方程求解；②当$x＞25$时，同样代入对应解析式列绝对值方程求解，最后要检验所求的解是否在对应自变量取值范围内。
【解析】
(1) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤25$时，设函数表达式为$y=kx$，
将$x=25$，$y=1250$代入得：$25k=1250$，解得$k=50$，
∴此时函数表达式为$y=50x$；
②当$x＞25$时，设函数表达式为$y=mx+n$，
将$(25,1250)$和$(50,2000)$代入得：
$\begin{cases}25m+n=1250\\50m+n=2000\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=30\\n=500\end{cases}$，
∴此时函数表达式为$y=30x+500$。
综上可得方式B的函数表达式。
(2) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤25$时，方式A收费为$y=40x$，方式B收费为$y=50x$，
由题意得：$50x-40x=100$，解得$x=10$，符合取值范围；
②当$x＞25$时，方式B收费为$y=30x+500$，由相差100元得：
$|30x+500-40x|=100$，即$|500-10x|=100$，
当$500-10x=100$时，解得$x=40$；当$500-10x=-100$时，解得$x=60$，均符合$x＞25$的要求。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}50x&(0≤ x≤ 25)\\30x+500&(x＞25)\end{cases}$
(2) 当游泳次数为10次或40次或60次时，两种方式付费相差100元。
【知识点】
一次函数解析式求解；分段函数应用；一次函数实际问题
【点评】
本题结合生活中的收费场景考查一次函数的应用，解题关键是准确求出分段函数的解析式，同时在求解差值问题时要注意分段讨论自变量的取值范围，考虑差值的两种正负情况，避免漏解，最后要验证所求结果是否符合对应区间的要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求方式B的函数表达式需结合图像分段分析：①当$0≤x≤25$时，函数是过原点的正比例函数，设解析式为$y=kx$，代入已知点$(25,1250)$即可求出$k$；②当$x＞25$时，函数为普通一次函数，设解析式为$y=mx+n$，代入图像上两个已知点$(25,1250)$和$(50,2000)$，解二元一次方程组求出$m、n$即可，最后整合两段解析式。
(2) 两种付费相差100元即两个函数值的差的绝对值为100，需分两段讨论：①当$0≤x≤25$时，将两段对应解析式代入差值关系列方程求解；②当$x＞25$时，同样代入对应解析式列绝对值方程求解，最后要检验所求的解是否在对应自变量取值范围内。
【解析】
(1) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤25$时，设函数表达式为$y=kx$，
将$x=25$，$y=1250$代入得：$25k=1250$，解得$k=50$，
∴此时函数表达式为$y=50x$；
②当$x＞25$时，设函数表达式为$y=mx+n$，
将$(25,1250)$和$(50,2000)$代入得：
$\begin{cases}25m+n=1250\\50m+n=2000\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=30\\n=500\end{cases}$，
∴此时函数表达式为$y=30x+500$。
综上可得方式B的函数表达式。
(2) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤25$时，方式A收费为$y=40x$，方式B收费为$y=50x$，
由题意得：$50x-40x=100$，解得$x=10$，符合取值范围；
②当$x＞25$时，方式B收费为$y=30x+500$，由相差100元得：
$|30x+500-40x|=100$，即$|500-10x|=100$，
当$500-10x=100$时，解得$x=40$；当$500-10x=-100$时，解得$x=60$，均符合$x＞25$的要求。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}50x&(0≤ x≤ 25)\\30x+500&(x＞25)\end{cases}$
(2) 当游泳次数为10次或40次或60次时，两种方式付费相差100元。
【知识点】
一次函数解析式求解；分段函数应用；一次函数实际问题
【点评】
本题结合生活中的收费场景考查一次函数的应用，解题关键是准确求出分段函数的解析式，同时在求解差值问题时要注意分段讨论自变量的取值范围，考虑差值的两种正负情况，避免漏解，最后要验证所求结果是否符合对应区间的要求。
【难度系数】
0.65
5.(2025·南通期中)在一条笔直的公路上依次有A,B,C三地,小明、小红两人同时出发.小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西,停留一段时间后,再以相同的速度匀速前往C地.小红步行匀速从C地至A地.两人与C地的距离y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)分别求小明的骑车速度与小红的步行速度;
(2)求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
(1)分别求小明的骑车速度与小红的步行速度;
(2)求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
答案
5.解:(1)小明的骑车速度为(1200−400)÷2=400(米/分),
小红的步行速度为1200÷12=100(米/分).
(2)小明从A地出发到达C地时所用时间为1200÷400=3(分),
∴当x=12−3=9时,小明从A地出发前往C地,
y=1200−400(x−9)=−400x+4800,
∴小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式为y=−400x+4800(9≤x≤12).
小红的步行速度为1200÷12=100(米/分).
(2)小明从A地出发到达C地时所用时间为1200÷400=3(分),
∴当x=12−3=9时,小明从A地出发前往C地,
y=1200−400(x−9)=−400x+4800,
∴小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式为y=−400x+4800(9≤x≤12).
解析
【分析】
首先明确图象横纵轴的意义：x表示出发后的时间（单位：分），y表示两人与C地的距离（单位：米）。
(1)求速度可根据“速度=路程÷时间”计算：小明从B地到A地用时2分钟，B地与C地距离400米，A地与C地距离1200米，这段路程差就是小明2分钟骑行的路程，即可求出小明的速度；小红从C地到A地总路程1200米，用时12分钟，直接套用公式可求小红的速度。
(2)求小明从A地前往C地的y与x的函数表达式，首先确定该段函数的自变量取值范围：小明骑车速度不变，因此从A到C的行驶时间为总路程除以速度，再结合他12分钟到达C地，可推出他从A地出发的时间，即可确定x的范围；再根据“距离C地的距离=A到C的总距离-已经骑行的路程”列关系式，化简即可得到函数表达式。
【解析】
(1) 由图象可知，小明2分钟骑行的路程为$1200-400=800$米，
因此小明的骑车速度为：$800÷2=400$（米/分）；
小红12分钟步行的路程为1200米，
因此小红的步行速度为：$1200÷12=100$（米/分）。
(2) 小明从A地前往C地的骑行速度仍为400米/分，总路程为1200米，
因此小明从A地到C地所需时间为：$1200÷400=3$（分），
已知小明12分钟到达C地，因此小明从A地出发的时间为$12-3=9$（分），即该段函数的自变量x的取值范围是$9≤ x≤12$。
当$9≤ x≤12$时，小明已经从A地出发了$(x-9)$分钟，骑行的路程为$400(x-9)$米，
因此距离C地的距离$y=1200-400(x-9)$，
化简得：$y=-400x+4800$。
【答案】
(1) 小明的骑车速度为400米/分，小红的步行速度为100米/分；
(2) $y=-400x+4800(9≤ x≤12)$
【知识点】
一次函数的应用、行程问题计算、求一次函数解析式
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图象中每个关键点、线段对应的实际含义，结合行程的基本数量关系求解，侧重考查学生从图象中提取有效信息、分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确图象横纵轴的意义：x表示出发后的时间（单位：分），y表示两人与C地的距离（单位：米）。
(1)求速度可根据“速度=路程÷时间”计算：小明从B地到A地用时2分钟，B地与C地距离400米，A地与C地距离1200米，这段路程差就是小明2分钟骑行的路程，即可求出小明的速度；小红从C地到A地总路程1200米，用时12分钟，直接套用公式可求小红的速度。
(2)求小明从A地前往C地的y与x的函数表达式，首先确定该段函数的自变量取值范围：小明骑车速度不变，因此从A到C的行驶时间为总路程除以速度，再结合他12分钟到达C地，可推出他从A地出发的时间，即可确定x的范围；再根据“距离C地的距离=A到C的总距离-已经骑行的路程”列关系式，化简即可得到函数表达式。
【解析】
(1) 由图象可知，小明2分钟骑行的路程为$1200-400=800$米，
因此小明的骑车速度为：$800÷2=400$（米/分）；
小红12分钟步行的路程为1200米，
因此小红的步行速度为：$1200÷12=100$（米/分）。
(2) 小明从A地前往C地的骑行速度仍为400米/分，总路程为1200米，
因此小明从A地到C地所需时间为：$1200÷400=3$（分），
已知小明12分钟到达C地，因此小明从A地出发的时间为$12-3=9$（分），即该段函数的自变量x的取值范围是$9≤ x≤12$。
当$9≤ x≤12$时，小明已经从A地出发了$(x-9)$分钟，骑行的路程为$400(x-9)$米，
因此距离C地的距离$y=1200-400(x-9)$，
化简得：$y=-400x+4800$。
【答案】
(1) 小明的骑车速度为400米/分，小红的步行速度为100米/分；
(2) $y=-400x+4800(9≤ x≤12)$
【知识点】
一次函数的应用、行程问题计算、求一次函数解析式
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图象中每个关键点、线段对应的实际含义，结合行程的基本数量关系求解，侧重考查学生从图象中提取有效信息、分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
