登录
6.(2025·新疆)一辆快车从 A 地匀速驶向 B 地,一辆慢车从 B 地匀速驶向 A 地,两车同时出发,各自到达目的地后停止.两车之间的距离 s(km)与行驶时间 t(h)之间的函数关系如图所示,下列结论错误的是 (
A.两车出发 2 h 后相遇
B.A,B 两地相距 280 km
C.快车比慢车早$\frac{3}{2}$ h 到达目的地
D.快车的速度为 80 km/h,慢车的速度为 60 km/h
C
)A.两车出发 2 h 后相遇
B.A,B 两地相距 280 km
C.快车比慢车早$\frac{3}{2}$ h 到达目的地
D.快车的速度为 80 km/h,慢车的速度为 60 km/h
答案
6.C
解析
【分析】
首先明确s-t图像的实际含义：纵轴s是两车之间的距离，横轴t是行驶时间。t=0时两车分别在A、B两地，对应s值就是A、B两地总距离；s=0时两车相遇；图像拐点表示其中一辆车到达目的地，之后仅另一辆车行驶。解题时先通过特殊点判断A、B选项，再结合路程、速度、时间的关系计算两车速度，最后算两车走完全程的时间差判断C、D选项即可。
【解析】
1. 当$t=0$时，$s=280\mathrm{km}$，说明A、B两地相距280km，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 当$t=2\mathrm{h}$时，$s=0\mathrm{km}$，说明两车出发2h后相遇，故A选项结论正确，不符合题意；
3. 两车速度和：相遇时2h共行驶280km，因此$v_快+v_慢=280÷2=140\mathrm{km/h}$；
4. 观察图像：$t=2\mathrm{h}$到$t=\frac{7}{2}\mathrm{h}$的时长为$\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\mathrm{h}$，这段时间两车距离从0增加到210km，平均速度为$210÷\frac{3}{2}=140\mathrm{km/h}$，等于两车速度和，说明这段时间两车都在行驶，均未到达目的地；
5. $t=\frac{7}{2}\mathrm{h}$到$t=\frac{14}{3}\mathrm{h}$的时长为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{7}{6}\mathrm{h}$，这段时间两车距离从210km增加到280km，共行驶70km，速度为$70÷\frac{7}{6}=60\mathrm{km/h}$，说明此时快车已到达目的地，仅慢车行驶，因此慢车速度为$60\mathrm{km/h}$，快车速度为$140-60=80\mathrm{km/h}$，故D选项结论正确，不符合题意；
6. 计算两车走完全程的时间：快车全程用时$280÷80=\frac{7}{2}\mathrm{h}$，慢车全程用时$280÷60=\frac{14}{3}\mathrm{h}$，时间差为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{7}{6}\mathrm{h}≠\frac{3}{2}\mathrm{h}$，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题重点考查函数图像在实际行程问题中的应用，解题核心是读懂图像中起点、交点、拐点的实际意义，结合行程问题基本公式逐步推导即可。
【难度系数】
0.65
首先明确s-t图像的实际含义：纵轴s是两车之间的距离，横轴t是行驶时间。t=0时两车分别在A、B两地，对应s值就是A、B两地总距离；s=0时两车相遇；图像拐点表示其中一辆车到达目的地，之后仅另一辆车行驶。解题时先通过特殊点判断A、B选项，再结合路程、速度、时间的关系计算两车速度，最后算两车走完全程的时间差判断C、D选项即可。
【解析】
1. 当$t=0$时，$s=280\mathrm{km}$，说明A、B两地相距280km，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 当$t=2\mathrm{h}$时，$s=0\mathrm{km}$，说明两车出发2h后相遇，故A选项结论正确，不符合题意；
3. 两车速度和：相遇时2h共行驶280km，因此$v_快+v_慢=280÷2=140\mathrm{km/h}$；
4. 观察图像：$t=2\mathrm{h}$到$t=\frac{7}{2}\mathrm{h}$的时长为$\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\mathrm{h}$，这段时间两车距离从0增加到210km，平均速度为$210÷\frac{3}{2}=140\mathrm{km/h}$，等于两车速度和，说明这段时间两车都在行驶，均未到达目的地；
5. $t=\frac{7}{2}\mathrm{h}$到$t=\frac{14}{3}\mathrm{h}$的时长为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{7}{6}\mathrm{h}$，这段时间两车距离从210km增加到280km，共行驶70km，速度为$70÷\frac{7}{6}=60\mathrm{km/h}$，说明此时快车已到达目的地，仅慢车行驶，因此慢车速度为$60\mathrm{km/h}$，快车速度为$140-60=80\mathrm{km/h}$，故D选项结论正确，不符合题意；
6. 计算两车走完全程的时间：快车全程用时$280÷80=\frac{7}{2}\mathrm{h}$，慢车全程用时$280÷60=\frac{14}{3}\mathrm{h}$，时间差为$\frac{14}{3}-\frac{7}{2}=\frac{7}{6}\mathrm{h}≠\frac{3}{2}\mathrm{h}$，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题重点考查函数图像在实际行程问题中的应用，解题核心是读懂图像中起点、交点、拐点的实际意义，结合行程问题基本公式逐步推导即可。
【难度系数】
0.65
7.一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分钟时,再打开出水管排水,8分钟时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量$y$(升)与时间$x$(分)之间的函数关系如图所示,则图中$a$的值为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
7.$\frac{29}{3}$
解析
【分析】解题时可分三个阶段分析：①前3分钟仅开进水管，可先根据3分钟注水30升算出进水管的进水速度；②3到8分钟进出水管同时开，根据5分钟内水量从30升降到20升算出净排水速度，进而得到出水管单独的排水速度；③8分钟后仅开出水管，用剩余水量除以排水速度得到排水时间，再加8即可得到a的值。
【解析】
1. 求进水管的进水速度：
前3分钟只开进水管，共注水30升，因此进水速度为 $ \frac{30}{3}=10 $ 升/分。
2. 求出水管的出水速度：
3分到8分共经历 $ 8-3=5 $ 分钟，水量从30升降到20升，共减少 $ 30-20=10 $ 升，因此两管同开时每分钟净减少水量为 $ \frac{10}{5}=2 $ 升/分。
由于净减少水量=出水速度-进水速度，因此出水速度为 $ 10+2=12 $ 升/分。
3. 求a的值：
8分钟后仅开出水管，容器内剩余20升水，排完这些水需要的时间为 $ \frac{20}{12}=\frac{5}{3} $ 分。
因此 $ a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3} $。
【答案】$\frac{29}{3}$
【知识点】一次函数图像应用；进出水工程问题；图像信息提取
【点评】本题核心是结合分段函数图像分析不同时间段的进出水状态，考查学生读取图像信息、利用效率关系解决实际问题的能力，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求进水管的进水速度：
前3分钟只开进水管，共注水30升，因此进水速度为 $ \frac{30}{3}=10 $ 升/分。
2. 求出水管的出水速度：
3分到8分共经历 $ 8-3=5 $ 分钟，水量从30升降到20升，共减少 $ 30-20=10 $ 升，因此两管同开时每分钟净减少水量为 $ \frac{10}{5}=2 $ 升/分。
由于净减少水量=出水速度-进水速度，因此出水速度为 $ 10+2=12 $ 升/分。
3. 求a的值：
8分钟后仅开出水管，容器内剩余20升水，排完这些水需要的时间为 $ \frac{20}{12}=\frac{5}{3} $ 分。
因此 $ a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3} $。
【答案】$\frac{29}{3}$
【知识点】一次函数图像应用；进出水工程问题；图像信息提取
【点评】本题核心是结合分段函数图像分析不同时间段的进出水状态，考查学生读取图像信息、利用效率关系解决实际问题的能力，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】0.6
8. 甲、乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，他们与B地的距离$s(\mathrm{km})$与甲出发的时间$t(\mathrm{h})$的关系如图所示，那么乙的速度是
3.6
$\mathrm{km/h}.$答案
8.3.6
解析
【分析】
解题时先从s-t图像中提取关键信息：首先A、B两地距离为36km，甲从t=0出发，乙从t=2h出发，t=4.5h时两人相遇。第一步先通过甲2小时的路程变化求出甲的速度；第二步计算相遇时甲行驶的总路程，进而得到乙行驶的路程；第三步算出乙的行驶时间，最后根据速度公式计算乙的速度即可。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图可知，甲出发2h后，距离B地24km，因此甲2h行驶的路程为$36-24=12\mathrm{km}$，甲的速度$v_甲=\frac{12}{2}=6\mathrm{km/h}$。
2. 计算相遇时甲行驶的路程：$t=4.5\mathrm{h}$时甲乙相遇，此时甲的行驶时间为4.5h，甲行驶的总路程$s_甲=6×4.5=27\mathrm{km}$。
3. 计算相遇时乙行驶的路程：A、B两地相距36km，因此乙行驶的路程$s_乙=36-27=9\mathrm{km}$。
4. 计算乙的行驶时间：乙在甲出发2h后才出发，所以乙的行驶时间$t_乙=4.5-2=2.5\mathrm{h}$。
5. 计算乙的速度：$v_乙=\frac{s_乙}{t_乙}=\frac{9}{2.5}=3.6\mathrm{km/h}$。
【答案】
3.6
【知识点】
s-t图像分析，行程问题，一次函数应用
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型题，解题核心是准确从图像中提取出发时间、相遇时间、路程等关键信息，结合速度公式逐步计算即可，注意不要忽略乙晚出发2h的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先从s-t图像中提取关键信息：首先A、B两地距离为36km，甲从t=0出发，乙从t=2h出发，t=4.5h时两人相遇。第一步先通过甲2小时的路程变化求出甲的速度；第二步计算相遇时甲行驶的总路程，进而得到乙行驶的路程；第三步算出乙的行驶时间，最后根据速度公式计算乙的速度即可。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图可知，甲出发2h后，距离B地24km，因此甲2h行驶的路程为$36-24=12\mathrm{km}$，甲的速度$v_甲=\frac{12}{2}=6\mathrm{km/h}$。
2. 计算相遇时甲行驶的路程：$t=4.5\mathrm{h}$时甲乙相遇，此时甲的行驶时间为4.5h，甲行驶的总路程$s_甲=6×4.5=27\mathrm{km}$。
3. 计算相遇时乙行驶的路程：A、B两地相距36km，因此乙行驶的路程$s_乙=36-27=9\mathrm{km}$。
4. 计算乙的行驶时间：乙在甲出发2h后才出发，所以乙的行驶时间$t_乙=4.5-2=2.5\mathrm{h}$。
5. 计算乙的速度：$v_乙=\frac{s_乙}{t_乙}=\frac{9}{2.5}=3.6\mathrm{km/h}$。
【答案】
3.6
【知识点】
s-t图像分析，行程问题，一次函数应用
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型题，解题核心是准确从图像中提取出发时间、相遇时间、路程等关键信息，结合速度公式逐步计算即可，注意不要忽略乙晚出发2h的条件。
【难度系数】
0.7
9. 2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区.机器人甲、乙与B区的距离$y$（米）与机器人乙行进的时间$x$（分）之间的函数关系如图所
答案
解：
(1) 机器人甲从A区到B区的路程为150米，速度为20米/分，
行进时间 $a = 150 ÷ 20 = 7.5$。
(2) 甲在B区停留4.5分钟，因此甲从B区向C区出发的时刻为 $7.5 + 4.5 = 12$ 分。
甲从B区到C区的路程为90米，15分钟时到达C区，因此甲从B到C的行进时间为 $15 - 12 = 3$ 分，行进速度为 $90 ÷ 3 = 30$ 米/分。
设甲从B区向C区行进时，$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y = kx + b$，
该函数过点 $(12, 0)$ 和 $(15, 90)$，代入得：
$\begin{cases} 12k + b = 0 \\ 15k + b = 90 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=30 \\ b=-360 \end{cases}$
因此所求函数表达式为 $y = 30x - 360 \quad (12 ≤ x ≤ 15)$。
(3) 分阶段讨论两机器人的距离：
① 当 $0 ≤ x ≤ 7.5$ 时，甲向B区行进，甲离B区的距离为 $y_甲 = 150 - 20x$；乙向B区行进，乙离B区的距离为 $y_乙 = 90 - 10x$。
两机器人分别在B区两侧，距离为 $y_甲 + y_乙 = 240 - 30x$，
令 $240 - 30x = 15$，解得 $x = 7.5$，符合区间要求。
② 当 $7.5 ＜ x ≤ 9$ 时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙继续向B区行进，$y_乙=90-10x$。
两机器人的距离为 $y_乙 = 90 - 10x$，
令 $90 - 10x =15$，解得 $x=7.5$，不在该区间，无符合条件的解。
③ 当 $9 ＜ x ≤ 12$ 时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙从B区向C区返回，乙返回速度为 $90 ÷ (15-9) =15$ 米/分，因此乙离B区的距离为 $y_乙=15(x-9)=15x-135$。
两机器人的距离为 $y_乙=15x-135$，
令 $15x-135=15$，解得 $x=10$，符合区间要求。
④ 当 $12 ＜ x ≤ 15$ 时，甲从B区向C区行进，$y_甲=30x-360$；乙从B区向C区行进，$y_乙=15x-135$。
两机器人都在B区同侧，距离为 $|y_乙 - y_甲| = |225 - 15x|$，
令 $|225-15x|=15$，解得 $x_1=14$，$x_2=16$（$16＞15$，舍去），$x=14$符合区间要求。
答：(1) $a$ 的值为7.5；
(2) 机器人甲从B区向C区行进时，函数表达式为 $y=30x-360\ (12≤ x≤15)$；
(3) 两机器人出发7.5分钟、10分钟、14分钟时，它们之间相距15米。
(1) 机器人甲从A区到B区的路程为150米，速度为20米/分，
行进时间 $a = 150 ÷ 20 = 7.5$。
(2) 甲在B区停留4.5分钟，因此甲从B区向C区出发的时刻为 $7.5 + 4.5 = 12$ 分。
甲从B区到C区的路程为90米，15分钟时到达C区，因此甲从B到C的行进时间为 $15 - 12 = 3$ 分，行进速度为 $90 ÷ 3 = 30$ 米/分。
设甲从B区向C区行进时，$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y = kx + b$，
该函数过点 $(12, 0)$ 和 $(15, 90)$，代入得：
$\begin{cases} 12k + b = 0 \\ 15k + b = 90 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=30 \\ b=-360 \end{cases}$
因此所求函数表达式为 $y = 30x - 360 \quad (12 ≤ x ≤ 15)$。
(3) 分阶段讨论两机器人的距离：
① 当 $0 ≤ x ≤ 7.5$ 时，甲向B区行进，甲离B区的距离为 $y_甲 = 150 - 20x$；乙向B区行进，乙离B区的距离为 $y_乙 = 90 - 10x$。
两机器人分别在B区两侧，距离为 $y_甲 + y_乙 = 240 - 30x$，
令 $240 - 30x = 15$，解得 $x = 7.5$，符合区间要求。
② 当 $7.5 ＜ x ≤ 9$ 时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙继续向B区行进，$y_乙=90-10x$。
两机器人的距离为 $y_乙 = 90 - 10x$，
令 $90 - 10x =15$，解得 $x=7.5$，不在该区间，无符合条件的解。
③ 当 $9 ＜ x ≤ 12$ 时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙从B区向C区返回，乙返回速度为 $90 ÷ (15-9) =15$ 米/分，因此乙离B区的距离为 $y_乙=15(x-9)=15x-135$。
两机器人的距离为 $y_乙=15x-135$，
令 $15x-135=15$，解得 $x=10$，符合区间要求。
④ 当 $12 ＜ x ≤ 15$ 时，甲从B区向C区行进，$y_甲=30x-360$；乙从B区向C区行进，$y_乙=15x-135$。
两机器人都在B区同侧，距离为 $|y_乙 - y_甲| = |225 - 15x|$，
令 $|225-15x|=15$，解得 $x_1=14$，$x_2=16$（$16＞15$，舍去），$x=14$符合区间要求。
答：(1) $a$ 的值为7.5；
(2) 机器人甲从B区向C区行进时，函数表达式为 $y=30x-360\ (12≤ x≤15)$；
(3) 两机器人出发7.5分钟、10分钟、14分钟时，它们之间相距15米。
解析
【分析】
解题时先结合题意和图像提取有效信息：首先A到B区距离150米，C到B区距离90米，甲从A到B的速度是20米/分，据此可直接计算a的值；其次求甲从B到C的函数表达式，先确定甲从B出发的时间和到达C的时间，得到函数图像经过的两个点，再用待定系数法求解即可；最后求两机器人相距15米的时间，需要根据甲乙的运动状态分时间段讨论，分别在每个时间段内表示出两机器人的距离，列方程求解后验证解是否符合对应区间，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由图可知A区到B区的路程为150米，机器人甲的行进速度为20米/分，因此甲从A到B的行进时间$a=150÷20=7.5$。
(2) 甲在B区停留4.5分钟，因此甲从B区向C区出发的时间为$7.5+4.5=12$分；已知甲15分钟到达C区，B到C的路程为90米，因此甲从B到C的行进时间为$15-12=3$分，速度为$90÷3=30$米/分。
设甲从B区向C区行进时，$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$，该函数过点$(12,0)$和$(15,90)$，代入得：
$\begin{cases} 12k + b = 0 \\ 15k + b = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=30 \\ b=-360 \end{cases}$，因此函数表达式为$y=30x-360 \quad (12≤ x≤15)$。
(3) 分阶段讨论两机器人的距离：
① 当$0≤ x≤7.5$时，甲向B区行进，离B区距离为$y_甲=150-20x$；乙向B区行进，离B区距离为$y_乙=90-10x$。两机器人在B区两侧，距离为$y_甲+y_乙=240-30x$，令$240-30x=15$，解得$x=7.5$，符合区间要求。
② 当$7.5＜ x≤9$时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙继续向B区行进，$y_乙=90-10x$。两机器人距离为$y_乙=90-10x$，令$90-10x=15$，解得$x=7.5$，不在该区间，无符合条件的解。
③ 当$9＜ x≤12$时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙到达B区后返回C区，乙返回速度为$90÷(15-9)=15$米/分，因此乙离B区距离为$y_乙=15(x-9)=15x-135$。两机器人距离为$y_乙=15x-135$，令$15x-135=15$，解得$x=10$，符合区间要求。
④ 当$12＜ x≤15$时，甲从B向C行进，$y_甲=30x-360$；乙从B向C行进，$y_乙=15x-135$。两机器人在B区同侧，距离为$|y_乙-y_甲|=|225-15x|$，令$|225-15x|=15$，解得$x_1=14$，$x_2=16$（$16＞15$，舍去），$x=14$符合区间要求。
【答案】
(1) $a=7.5$；
(2) 函数表达式为$y=30x-360 \quad (12≤ x≤15)$；
(3) 两机器人出发7.5分钟、10分钟、14分钟时，它们之间相距15米。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数讨论
【点评】
本题结合实际生活情境，考查一次函数在行程问题中的应用，解题的关键是结合图像理清不同时间段内机器人的运动状态，分类讨论时要注意验证解是否符合对应区间的要求，能够有效考查读图分析能力和分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合题意和图像提取有效信息：首先A到B区距离150米，C到B区距离90米，甲从A到B的速度是20米/分，据此可直接计算a的值；其次求甲从B到C的函数表达式，先确定甲从B出发的时间和到达C的时间，得到函数图像经过的两个点，再用待定系数法求解即可；最后求两机器人相距15米的时间，需要根据甲乙的运动状态分时间段讨论，分别在每个时间段内表示出两机器人的距离，列方程求解后验证解是否符合对应区间，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由图可知A区到B区的路程为150米，机器人甲的行进速度为20米/分，因此甲从A到B的行进时间$a=150÷20=7.5$。
(2) 甲在B区停留4.5分钟，因此甲从B区向C区出发的时间为$7.5+4.5=12$分；已知甲15分钟到达C区，B到C的路程为90米，因此甲从B到C的行进时间为$15-12=3$分，速度为$90÷3=30$米/分。
设甲从B区向C区行进时，$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$，该函数过点$(12,0)$和$(15,90)$，代入得：
$\begin{cases} 12k + b = 0 \\ 15k + b = 90 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=30 \\ b=-360 \end{cases}$，因此函数表达式为$y=30x-360 \quad (12≤ x≤15)$。
(3) 分阶段讨论两机器人的距离：
① 当$0≤ x≤7.5$时，甲向B区行进，离B区距离为$y_甲=150-20x$；乙向B区行进，离B区距离为$y_乙=90-10x$。两机器人在B区两侧，距离为$y_甲+y_乙=240-30x$，令$240-30x=15$，解得$x=7.5$，符合区间要求。
② 当$7.5＜ x≤9$时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙继续向B区行进，$y_乙=90-10x$。两机器人距离为$y_乙=90-10x$，令$90-10x=15$，解得$x=7.5$，不在该区间，无符合条件的解。
③ 当$9＜ x≤12$时，甲停留在B区，$y_甲=0$；乙到达B区后返回C区，乙返回速度为$90÷(15-9)=15$米/分，因此乙离B区距离为$y_乙=15(x-9)=15x-135$。两机器人距离为$y_乙=15x-135$，令$15x-135=15$，解得$x=10$，符合区间要求。
④ 当$12＜ x≤15$时，甲从B向C行进，$y_甲=30x-360$；乙从B向C行进，$y_乙=15x-135$。两机器人在B区同侧，距离为$|y_乙-y_甲|=|225-15x|$，令$|225-15x|=15$，解得$x_1=14$，$x_2=16$（$16＞15$，舍去），$x=14$符合区间要求。
【答案】
(1) $a=7.5$；
(2) 函数表达式为$y=30x-360 \quad (12≤ x≤15)$；
(3) 两机器人出发7.5分钟、10分钟、14分钟时，它们之间相距15米。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数讨论
【点评】
本题结合实际生活情境，考查一次函数在行程问题中的应用，解题的关键是结合图像理清不同时间段内机器人的运动状态，分类讨论时要注意验证解是否符合对应区间的要求，能够有效考查读图分析能力和分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
示. 请结合图象信息解答下列问题：
(1)A,C两区相距
(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30米？
(1)A,C两区相距
240
米，$a=$7.5
；(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分钟时，机器人甲、乙相距30米？
答案
9.(1)240 7.5
(2)解:机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9(分),
∴E(9,0).设线段EF所在直线的函数表达式为y=kx+b,将E(9,0),F(15,90)代入,得
$\begin{cases}9k+b=0,\\15k+b=90,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=15,\\b=-135,\end{cases}$
∴线段EF所在直线的函数表达式为y=15x−135.
(3)解:当0≤x≤7.5时,机器人甲、乙相距30米,则20x+10x+30=240,解得x=7;
当9≤x≤12时,若机器人甲、乙相距30米,则15x−135=30,解得x=11;
当12＜x≤15时,机器人甲的速度为90÷(15−12)=30(米/分),若机器人甲、乙相距30米,则15x−135−30(x−12)=30,
解得x=13.
综上,机器人乙行进的时间为7分钟或11分钟或13分钟时,机器人甲、乙相距30米.
(2)解:机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9(分),
∴E(9,0).设线段EF所在直线的函数表达式为y=kx+b,将E(9,0),F(15,90)代入,得
$\begin{cases}9k+b=0,\\15k+b=90,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=15,\\b=-135,\end{cases}$
∴线段EF所在直线的函数表达式为y=15x−135.
(3)解:当0≤x≤7.5时,机器人甲、乙相距30米,则20x+10x+30=240,解得x=7;
当9≤x≤12时,若机器人甲、乙相距30米,则15x−135=30,解得x=11;
当12＜x≤15时,机器人甲的速度为90÷(15−12)=30(米/分),若机器人甲、乙相距30米,则15x−135−30(x−12)=30,
解得x=13.
综上,机器人乙行进的时间为7分钟或11分钟或13分钟时,机器人甲、乙相距30米.
解析
【分析】
本题是一次函数与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：
(1) 观察函数图象，x=0时（初始出发状态）甲乙的距离就是A、C两区的距离；a为甲乙相向而行的相遇时间，结合两人运动速度和总路程可直接计算得到；
(2) 求线段EF的函数表达式，先根据乙的速度和C到B的距离算出乙到达B区的时间，得到点E的坐标，再结合已知的点F坐标，用待定系数法即可求出一次函数解析式；
(3) 甲乙相距30米需分三个时间段讨论：两人未相遇时、乙到达B区返回但甲未到B区时、甲到达B区返回后，分别在对应时间段根据路程关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 由图象初始状态可知，x=0时甲乙距离为240米，因此A、C两区相距240米；根据甲乙运动速度计算可得相遇时间$a=7.5$。
(2) 机器人乙的速度为10米/分，C区到B区距离为90米，因此乙到达B区时所用时间为$90÷10=9$（分），即$E(9,0)$。
设线段EF所在直线的函数表达式为$y=kx+b$，将$E(9,0)$、$F(15,90)$代入得：
$\begin{cases}9k+b=0\\15k+b=90\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15\\b=-135\end{cases}$
因此线段EF所在直线的函数表达式为$y=15x-135$。
(3) 分情况讨论：
①当$0≤x≤7.5$时，甲乙相向而行未相遇，若相距30米，则$20x+10x+30=240$，解得$x=7$，符合取值范围；
②当$9≤x≤12$时，乙从B区返回、甲未到达B区，若相距30米，则$15x-135=30$，解得$x=11$，符合取值范围；
③当$12＜x≤15$时，甲到达B区后返回，甲返回的速度为$90÷(15-12)=30$（米/分），若相距30米，则$15x-135-30(x-12)=30$，解得$x=13$，符合取值范围。
综上，机器人乙行进时间为7分钟、11分钟或13分钟时，甲乙相距30米。
【答案】
(1) $\boxed{240}$；$\boxed{7.5}$
(2) $\boxed{y=15x-135}$
(3) $\boxed{7分钟或11分钟或13分钟}$
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，核心是理解函数图象各拐点对应的实际运动状态，解题时需分类讨论不同阶段的路程关系，对信息提取能力和逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：
(1) 观察函数图象，x=0时（初始出发状态）甲乙的距离就是A、C两区的距离；a为甲乙相向而行的相遇时间，结合两人运动速度和总路程可直接计算得到；
(2) 求线段EF的函数表达式，先根据乙的速度和C到B的距离算出乙到达B区的时间，得到点E的坐标，再结合已知的点F坐标，用待定系数法即可求出一次函数解析式；
(3) 甲乙相距30米需分三个时间段讨论：两人未相遇时、乙到达B区返回但甲未到B区时、甲到达B区返回后，分别在对应时间段根据路程关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 由图象初始状态可知，x=0时甲乙距离为240米，因此A、C两区相距240米；根据甲乙运动速度计算可得相遇时间$a=7.5$。
(2) 机器人乙的速度为10米/分，C区到B区距离为90米，因此乙到达B区时所用时间为$90÷10=9$（分），即$E(9,0)$。
设线段EF所在直线的函数表达式为$y=kx+b$，将$E(9,0)$、$F(15,90)$代入得：
$\begin{cases}9k+b=0\\15k+b=90\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15\\b=-135\end{cases}$
因此线段EF所在直线的函数表达式为$y=15x-135$。
(3) 分情况讨论：
①当$0≤x≤7.5$时，甲乙相向而行未相遇，若相距30米，则$20x+10x+30=240$，解得$x=7$，符合取值范围；
②当$9≤x≤12$时，乙从B区返回、甲未到达B区，若相距30米，则$15x-135=30$，解得$x=11$，符合取值范围；
③当$12＜x≤15$时，甲到达B区后返回，甲返回的速度为$90÷(15-12)=30$（米/分），若相距30米，则$15x-135-30(x-12)=30$，解得$x=13$，符合取值范围。
综上，机器人乙行进时间为7分钟、11分钟或13分钟时，甲乙相距30米。
【答案】
(1) $\boxed{240}$；$\boxed{7.5}$
(2) $\boxed{y=15x-135}$
(3) $\boxed{7分钟或11分钟或13分钟}$
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，核心是理解函数图象各拐点对应的实际运动状态，解题时需分类讨论不同阶段的路程关系，对信息提取能力和逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
