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18.【提出问题】
利用图形能够证明等式，如完全平方公式、平方差公式都可以用图形进行证明，利用图形能否证明不等式呢？请完成以下探究性学习内容。
【自主探究】
用直角边长分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②。
(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题。
①图①中两个三角形的面积分别为
②当a≠b时，比较大小：$\frac{a^2 + b^2}{2}$
③当a和b满足什么条件时，$\frac{a^2 + b^2}{2}$与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明。乙同学说：我可以通过画图进行说明。请你选择其中的一种方法进行说明。
【知识应用】
(2)已知m＞0,n＞1,且m(n−1)=9,利用(1)中发现的结论求$m^2 + n^2 - 2n +1$的最小值。
假期作业5
年月日 星期
利用图形能够证明等式，如完全平方公式、平方差公式都可以用图形进行证明，利用图形能否证明不等式呢？请完成以下探究性学习内容。
【自主探究】
用直角边长分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②。
(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题。
①图①中两个三角形的面积分别为
$\dfrac{1}{2}a^2$
和$\dfrac{1}{2}b^2$
，图②中长方形ABCD的面积为$ab$
(用含a,b的代数式表示)；②当a≠b时，比较大小：$\frac{a^2 + b^2}{2}$
$＞$
ab(选填“＞”“＜”或“=”)；③当a和b满足什么条件时，$\frac{a^2 + b^2}{2}$与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明。乙同学说：我可以通过画图进行说明。请你选择其中的一种方法进行说明。
【知识应用】
(2)已知m＞0,n＞1,且m(n−1)=9,利用(1)中发现的结论求$m^2 + n^2 - 2n +1$的最小值。
假期作业5
年月日 星期
答案
18.解:(1)①$\dfrac{1}{2}a^2$ $\dfrac{1}{2}b^2$ $ab$
②$＞$
③(答案不唯一)选择甲同学的方法，
当$a=b$时,$\dfrac{a^2+b^2}{2}=a^2$,$ab=a·a=a^2$,
所以当$a=b$时,$\dfrac{a^2+b^2}{2}=ab$。
(2)设$x=m,y=n-1,xy=m(n-1)=9$,
$m^2+n^2-2n+1=x^2+y^2≥2xy$,
当$x=y$时,最小值$2xy=2m(n-1)=2×9=18$。故$m^2+n^2-2n+1$的最小值是18。
②$＞$
③(答案不唯一)选择甲同学的方法，
当$a=b$时,$\dfrac{a^2+b^2}{2}=a^2$,$ab=a·a=a^2$,
所以当$a=b$时,$\dfrac{a^2+b^2}{2}=ab$。
(2)设$x=m,y=n-1,xy=m(n-1)=9$,
$m^2+n^2-2n+1=x^2+y^2≥2xy$,
当$x=y$时,最小值$2xy=2m(n-1)=2×9=18$。故$m^2+n^2-2n+1$的最小值是18。
解析
【分析】
(1)①先回忆面积公式：等腰直角三角形面积为直角边平方的一半，长方形面积为长乘宽，将对应边长代入即可写出代数式。
②观察拼图关系：图②中两个三角形拼接后存在重叠区域，因此两个三角形的面积和大于长方形面积，将①得到的面积表达式代入即可推导大小关系。
③若选计算方法，直接代入a=b计算两个式子的值即可；若选画图方法，思考a=b时两个三角形的拼接状态，即可判断面积关系。
(2)先对所求代数式变形，利用完全平方公式把$n^2-2n+1$转化为$(n-1)^2$，令$x=m,y=n-1$，结合已知$xy=9$，代入(1)得到的不等式即可求出最小值。
【解析】
(1)①根据等腰直角三角形面积公式，直角边为a的三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，直角边为b的三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$；长方形ABCD的长为b、宽为a，面积为$a× b=ab$。
②两个三角形的面积和为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{a^2+b^2}{2}$，图②中两个三角形拼接有重叠，因此面积和大于长方形面积，即$\frac{a^2 + b^2}{2}＞ab$。
③选择甲同学的计算方法：
当$a=b$时，$\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+a^2}{2}=a^2$，$ab=a· a=a^2$，因此$\frac{a^2+b^2}{2}=ab$。
(也可选择乙同学的画图方法：当a=b时，两个三角形全等，拼接后刚好填满长方形，无重叠无空隙，此时面积和等于长方形面积，即$\frac{a^2+b^2}{2}=ab$)
(2)先对所求代数式变形：
$m^2 + n^2 - 2n +1=m^2+(n^2-2n+1)=m^2+(n-1)^2$
设$x=m$，$y=n-1$，由题意得$xy=m(n-1)=9$，
根据(1)的结论$\frac{x^2+y^2}{2}≥xy$，可得$x^2+y^2≥2xy$，
代入$xy=9$得$x^2+y^2≥2×9=18$，当x=y时取等号，
因此$m^2 + n^2 - 2n +1$的最小值为18。
【答案】
(1)①$\dfrac{1}{2}a^2$；$\dfrac{1}{2}b^2$；$ab$ ②$＞$ ③当$a=b$时，$\dfrac{a^2+b^2}{2}=ab$，说明见解析 (2)$18$
【知识点】
面积法证代数关系、完全平方公式、代数式最值计算
【点评】
本题通过几何拼图引导学生推导代数不等式，再应用结论解决最值问题，考查数形结合思想的运用，要求学生能灵活转换几何关系与代数表达式，是典型的代数几何结合类题型。
【难度系数】
0.6
(1)①先回忆面积公式：等腰直角三角形面积为直角边平方的一半，长方形面积为长乘宽，将对应边长代入即可写出代数式。
②观察拼图关系：图②中两个三角形拼接后存在重叠区域，因此两个三角形的面积和大于长方形面积，将①得到的面积表达式代入即可推导大小关系。
③若选计算方法，直接代入a=b计算两个式子的值即可；若选画图方法，思考a=b时两个三角形的拼接状态，即可判断面积关系。
(2)先对所求代数式变形，利用完全平方公式把$n^2-2n+1$转化为$(n-1)^2$，令$x=m,y=n-1$，结合已知$xy=9$，代入(1)得到的不等式即可求出最小值。
【解析】
(1)①根据等腰直角三角形面积公式，直角边为a的三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，直角边为b的三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$；长方形ABCD的长为b、宽为a，面积为$a× b=ab$。
②两个三角形的面积和为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{a^2+b^2}{2}$，图②中两个三角形拼接有重叠，因此面积和大于长方形面积，即$\frac{a^2 + b^2}{2}＞ab$。
③选择甲同学的计算方法：
当$a=b$时，$\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{a^2+a^2}{2}=a^2$，$ab=a· a=a^2$，因此$\frac{a^2+b^2}{2}=ab$。
(也可选择乙同学的画图方法：当a=b时，两个三角形全等，拼接后刚好填满长方形，无重叠无空隙，此时面积和等于长方形面积，即$\frac{a^2+b^2}{2}=ab$)
(2)先对所求代数式变形：
$m^2 + n^2 - 2n +1=m^2+(n^2-2n+1)=m^2+(n-1)^2$
设$x=m$，$y=n-1$，由题意得$xy=m(n-1)=9$，
根据(1)的结论$\frac{x^2+y^2}{2}≥xy$，可得$x^2+y^2≥2xy$，
代入$xy=9$得$x^2+y^2≥2×9=18$，当x=y时取等号，
因此$m^2 + n^2 - 2n +1$的最小值为18。
【答案】
(1)①$\dfrac{1}{2}a^2$；$\dfrac{1}{2}b^2$；$ab$ ②$＞$ ③当$a=b$时，$\dfrac{a^2+b^2}{2}=ab$，说明见解析 (2)$18$
【知识点】
面积法证代数关系、完全平方公式、代数式最值计算
【点评】
本题通过几何拼图引导学生推导代数不等式，再应用结论解决最值问题，考查数形结合思想的运用，要求学生能灵活转换几何关系与代数表达式，是典型的代数几何结合类题型。
【难度系数】
0.6
