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1.若$2a^{3}□ a^{3}=2$，则“$□$”内应填的运算符号为（
A.+
B.−
C.×
D.÷
D
）A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
1.D
解析
【分析】
本题可采用代入验证法求解：将四个选项的运算符号依次代入等式左边，按照对应的整式运算法则计算结果，和等式右边的2作对比，结果相等的即为正确选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
若选A（+）：左边为$2a^3+a^3$，合并同类项得$3a^3$，不等于2，不符合要求；
若选B（-）：左边为$2a^3-a^3$，合并同类项得$a^3$，不等于2，不符合要求；
若选C（×）：根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），左边为$2a^3× a^3=2a^{3+3}=2a^6$，不等于2，不符合要求；
若选D（÷）：根据同底数幂除法法则（底数不变，指数相减，$a≠0$），左边为$2a^3÷ a^3=2a^{3-3}=2a^0=2×1=2$，和右边相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算考查题，用代入验证法即可快速求解，解题核心是熟练掌握整式的各类运算法则。
【难度系数】
0.9
本题可采用代入验证法求解：将四个选项的运算符号依次代入等式左边，按照对应的整式运算法则计算结果，和等式右边的2作对比，结果相等的即为正确选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
若选A（+）：左边为$2a^3+a^3$，合并同类项得$3a^3$，不等于2，不符合要求；
若选B（-）：左边为$2a^3-a^3$，合并同类项得$a^3$，不等于2，不符合要求；
若选C（×）：根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），左边为$2a^3× a^3=2a^{3+3}=2a^6$，不等于2，不符合要求；
若选D（÷）：根据同底数幂除法法则（底数不变，指数相减，$a≠0$），左边为$2a^3÷ a^3=2a^{3-3}=2a^0=2×1=2$，和右边相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算考查题，用代入验证法即可快速求解，解题核心是熟练掌握整式的各类运算法则。
【难度系数】
0.9
2.若长方形的长扩大为原来的2倍，宽扩大为原来的3倍，则面积 （
A.扩大为原来的5倍
B.扩大为原来的6倍
C.扩大为原来的8倍
D.不变
B
）A.扩大为原来的5倍
B.扩大为原来的6倍
C.扩大为原来的8倍
D.不变
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路围绕长方形面积公式展开：首先回忆长方形面积=长×宽，当长和宽分别扩大固定倍数时，我们可以通过设原长、原宽的方式，分别计算出面积变化前后的数值，再对比二者的倍数关系即可得出答案；也可以直接利用积的变化规律，面积扩大的倍数为长、宽扩大倍数的乘积。
【解析】
设原来长方形的长为$a$，宽为$b$，根据长方形面积公式：
原来的面积$S_{原}=a× b=ab$
长扩大为原来的2倍后为$2a$，宽扩大为原来的3倍后为$3b$，则扩大后的面积：
$S_{现}=2a×3b=6ab$
用扩大后的面积除以原来的面积求倍数：$6ab÷ ab=6$
因此面积扩大为原来的6倍，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算、积的变化规律
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对长方形面积公式的运用，以及对因数变化影响积的变化规律的理解，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路围绕长方形面积公式展开：首先回忆长方形面积=长×宽，当长和宽分别扩大固定倍数时，我们可以通过设原长、原宽的方式，分别计算出面积变化前后的数值，再对比二者的倍数关系即可得出答案；也可以直接利用积的变化规律，面积扩大的倍数为长、宽扩大倍数的乘积。
【解析】
设原来长方形的长为$a$，宽为$b$，根据长方形面积公式：
原来的面积$S_{原}=a× b=ab$
长扩大为原来的2倍后为$2a$，宽扩大为原来的3倍后为$3b$，则扩大后的面积：
$S_{现}=2a×3b=6ab$
用扩大后的面积除以原来的面积求倍数：$6ab÷ ab=6$
因此面积扩大为原来的6倍，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算、积的变化规律
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对长方形面积公式的运用，以及对因数变化影响积的变化规律的理解，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 下列运算正确的是 （
A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - b^2$
C.$(x-y)(-x-y) = y^2 - x^2$
D.$(x+y)(-x-y) = x^2 - y^2$
C
）A.$(x+y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - b^2$
C.$(x-y)(-x-y) = y^2 - x^2$
D.$(x+y)(-x-y) = x^2 - y^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查整式乘法中常用公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式与平方差公式的标准形式，再逐个分析每个选项的式子结构，匹配对应的公式展开验证，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠ x^2+y^2$，故A错误；
B选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a-b)^2≠ a^2-b^2$，故B错误；
C选项：将式子变形为$(-y+x)(-y-x)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构（其中$a=-y$，$b=x$），展开得$(-y)^2-x^2=y^2-x^2$，故C正确；
D选项：将式子变形为$-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2=-x^2-2xy-y^2≠ x^2-y^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查两个整式乘法公式的辨析与应用，解题的关键是准确把握公式的结构特征，不要混淆完全平方公式与平方差公式的形式，计算前先观察式子结构再选择对应公式即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中常用公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式与平方差公式的标准形式，再逐个分析每个选项的式子结构，匹配对应的公式展开验证，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠ x^2+y^2$，故A错误；
B选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a-b)^2≠ a^2-b^2$，故B错误；
C选项：将式子变形为$(-y+x)(-y-x)$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构（其中$a=-y$，$b=x$），展开得$(-y)^2-x^2=y^2-x^2$，故C正确；
D选项：将式子变形为$-(x+y)(x+y)=-(x+y)^2=-x^2-2xy-y^2≠ x^2-y^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查两个整式乘法公式的辨析与应用，解题的关键是准确把握公式的结构特征，不要混淆完全平方公式与平方差公式的形式，计算前先观察式子结构再选择对应公式即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景。石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000 000 000 142 m，此键长用科学记数法表示为 （
A.$1.42× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
B.$1.42× 10^{-10}\ \mathrm{m}$
C.$0.142× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
D.$1.42× 10^{-1.1}\ \mathrm{m}$
B
）A.$1.42× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
B.$1.42× 10^{-10}\ \mathrm{m}$
C.$0.142× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
D.$1.42× 10^{-1.1}\ \mathrm{m}$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中要满足两个要求：一是$1 ≤ a ＜ 10$，二是$n$是正整数，等于原数左边起第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0）。解题时先确定$a$的值，再数出0的个数得到$n$，最后对应选项判断即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）。
1. 确定$a$的值：将$0.000000000142$的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，即$a=1.42$。
2. 确定$n$的值：小数点一共向右移动了10位，因此$n=10$。
3. 所以这个数用科学记数法表示为$1.42 × 10^{-10}\ \mathrm{m}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的应用，核心是掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于基础概念考查题，熟练掌握规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则：表示形式为$a × 10^{-n}$，其中要满足两个要求：一是$1 ≤ a ＜ 10$，二是$n$是正整数，等于原数左边起第一个非零数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0）。解题时先确定$a$的值，再数出0的个数得到$n$，最后对应选项判断即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）。
1. 确定$a$的值：将$0.000000000142$的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，即$a=1.42$。
2. 确定$n$的值：小数点一共向右移动了10位，因此$n=10$。
3. 所以这个数用科学记数法表示为$1.42 × 10^{-10}\ \mathrm{m}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的应用，核心是掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法，属于基础概念考查题，熟练掌握规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 如果$x^2+(m-2)x+9$是一个完全平方式，那么$m$的值是（
A.8
B.$-4$
C.$\pm8$
D.8或$-4$
D
）A.8
B.$-4$
C.$\pm8$
D.8或$-4$
答案
5.D
解析
【分析】
解题首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2±2ab+b^2$，包含首平方、尾平方，中间项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。本题中先确定完全平方式首项和尾项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况分别列等式求解$m$即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：因为完全平方式的形式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，
已知$x^2+(m-2)x+9$是完全平方式，其中首项$x^2=(x)^2$，常数项$9=3^2$，
因此该完全平方式可写为$(x±3)^2$。
将$(x±3)^2$展开得：
$(x+3)^2=x^2+6x+9$，$(x-3)^2=x^2-6x+9$，
将展开式与原式$x^2+(m-2)x+9$对比一次项系数，可得：
$m-2=6$ 或 $m-2=-6$，
分别解方程：
当$m-2=6$时，$m=6+2=8$；
当$m-2=-6$时，$m=-6+2=-4$。
因此$m$的值为8或-4。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，易错点是忽略中间项的符号有正负两种可能，导致漏解，做题时要全面考虑两种情况。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2±2ab+b^2$，包含首平方、尾平方，中间项是首尾底数乘积的2倍，符号可正可负。本题中先确定完全平方式首项和尾项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况分别列等式求解$m$即可，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：因为完全平方式的形式为$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，
已知$x^2+(m-2)x+9$是完全平方式，其中首项$x^2=(x)^2$，常数项$9=3^2$，
因此该完全平方式可写为$(x±3)^2$。
将$(x±3)^2$展开得：
$(x+3)^2=x^2+6x+9$，$(x-3)^2=x^2-6x+9$，
将展开式与原式$x^2+(m-2)x+9$对比一次项系数，可得：
$m-2=6$ 或 $m-2=-6$，
分别解方程：
当$m-2=6$时，$m=6+2=8$；
当$m-2=-6$时，$m=-6+2=-4$。
因此$m$的值为8或-4。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查完全平方式的结构特征，易错点是忽略中间项的符号有正负两种可能，导致漏解，做题时要全面考虑两种情况。
【难度系数】
0.7
6.长方形的面积为$12ab^2 - 9a^2b$，若它的一边长为$3ab$，则与其相邻的一边长为（
A.1
B.$4b - 3a$
C.$4b - 3$
D.$4 - 3a$
B
）A.1
B.$4b - 3a$
C.$4b - 3$
D.$4 - 3a$
答案
6.B
解析
【分析】
首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求相邻的另一条边长，只需用面积除以已知边长即可。接下来运用多项式除以单项式的运算法则计算：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，按规则计算就能得到结果。
【解析】
根据长方形面积公式，相邻的边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长，代入数据得：
相邻边长 = $(12ab^2 - 9a^2b) ÷ 3ab$
根据多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
$= 12ab^2 ÷ 3ab - 9a^2b ÷ 3ab$
分别计算两项的商：
$12ab^2 ÷ 3ab = (12÷3) × (a÷ a) × (b^2÷ b) = 4b$
$9a^2b ÷ 3ab = (9÷3) × (a^2÷ a) × (b÷ b) = 3a$
因此结果为 $4b - 3a$。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的实际应用问题，解题核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏项、不要搞错符号。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求相邻的另一条边长，只需用面积除以已知边长即可。接下来运用多项式除以单项式的运算法则计算：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，按规则计算就能得到结果。
【解析】
根据长方形面积公式，相邻的边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长，代入数据得：
相邻边长 = $(12ab^2 - 9a^2b) ÷ 3ab$
根据多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
$= 12ab^2 ÷ 3ab - 9a^2b ÷ 3ab$
分别计算两项的商：
$12ab^2 ÷ 3ab = (12÷3) × (a÷ a) × (b^2÷ b) = 4b$
$9a^2b ÷ 3ab = (9÷3) × (a^2÷ a) × (b÷ b) = 3a$
因此结果为 $4b - 3a$。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式除法的实际应用问题，解题核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时注意不要漏项、不要搞错符号。
【难度系数】
0.8
7.若$x^2 + y^2 = 25,xy = 5$,则$(x - y)^2 =$
15
。答案
7.15
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$(x-y)^2$的结构，回忆完全平方差公式，先将其展开，展开后可以发现代数式中包含已知的$x^2+y^2$和$xy$两个整体，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
将式子变形为含已知条件的形式：
$(x-y)^2=(x^2+y^2)-2xy$
把$x^2 + y^2 = 25$，$xy = 5$代入上式：
原式$=25-2×5=25-10=15$
【答案】
15
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的变形应用，解题时不需要分别求出x、y的具体值，利用整体代入的思想可以快速计算出结果，熟练掌握完全平方公式的展开形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式$(x-y)^2$的结构，回忆完全平方差公式，先将其展开，展开后可以发现代数式中包含已知的$x^2+y^2$和$xy$两个整体，最后将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
将式子变形为含已知条件的形式：
$(x-y)^2=(x^2+y^2)-2xy$
把$x^2 + y^2 = 25$，$xy = 5$代入上式：
原式$=25-2×5=25-10=15$
【答案】
15
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的变形应用，解题时不需要分别求出x、y的具体值，利用整体代入的思想可以快速计算出结果，熟练掌握完全平方公式的展开形式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.计算：$(-y^2)^3 ÷ y^7 =$
$-\dfrac{1}{y}$
。答案
8.$-\dfrac{1}{y}$
解析
【分析】
解题时按照“先算乘方，再算除法”的顺序运算即可。第一步先计算乘方部分$(-y^2)^3$，用到积的乘方和幂的乘方法则，先将括号内的每个因式分别乘方，再计算幂的乘方，运算时注意负号的处理；第二步计算同底数幂的除法，用到同底数幂的除法法则；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式就能得到结果。
【解析】
解：①计算乘方$(-y^2)^3$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(-y^2)^3=(-1)^3 · (y^2)^3=-1 · y^{2×3}=-y^6$
②计算除法$-y^6 ÷ y^7$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}(a≠0)$，可得：
$-y^6 ÷ y^7 = -y^{6-7}=-y^{-1}$
③将负指数幂化为正指数幂形式
根据负整数指数幂的意义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，可得：
$-y^{-1}=-\frac{1}{y}$
【答案】
$-\dfrac{1}{y}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法，负整数指数幂
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意运算顺序和符号判断，避免因记错指数运算规则、忽略负号出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时按照“先算乘方，再算除法”的顺序运算即可。第一步先计算乘方部分$(-y^2)^3$，用到积的乘方和幂的乘方法则，先将括号内的每个因式分别乘方，再计算幂的乘方，运算时注意负号的处理；第二步计算同底数幂的除法，用到同底数幂的除法法则；最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式就能得到结果。
【解析】
解：①计算乘方$(-y^2)^3$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$、幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(-y^2)^3=(-1)^3 · (y^2)^3=-1 · y^{2×3}=-y^6$
②计算除法$-y^6 ÷ y^7$
根据同底数幂的除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}(a≠0)$，可得：
$-y^6 ÷ y^7 = -y^{6-7}=-y^{-1}$
③将负指数幂化为正指数幂形式
根据负整数指数幂的意义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，可得：
$-y^{-1}=-\frac{1}{y}$
【答案】
$-\dfrac{1}{y}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的除法，负整数指数幂
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意运算顺序和符号判断，避免因记错指数运算规则、忽略负号出现错误。
【难度系数】
0.8
9.某科技馆的“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图的数学问题。小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是
2025
。答案
9.2025
解析
【分析】
首先观察已知的两个等式，先运用同底数幂乘法法则化简第二个等式中括号内的整式，得到x、y、z的指数分别为5、2、1，对应等式右边的521，再结合第一个等式x、y、z的指数19、8、8对应右边1988，可总结出规律：中括号的运算结果是将括号内整式化简后，x的指数、y的指数、z的指数按顺序拼接得到的数。接下来我们只需运用幂的乘方、同底数幂的除法法则化简密码对应的整式，得到三个指数后按规律拼接即可得到密码。
【解析】
1. 验证规律：
先化简第二个等式中括号内的整式：
$x^2yz · x^3y = x^{2+3}y^{1+1}z^1 = x^5y^2z^1$
x的指数为5，y的指数为2，z的指数为1，拼接得521，和等式右边一致；
再看第一个等式：$x^{19}y^8z^8$的x指数19、y指数8、z指数8，拼接得1988，和等式右边一致，规律成立。
2. 化简密码对应的整式：
先计算幂的乘方：$(x^5)^5 = x^{5×5}=x^{25}$
再计算同底数幂的除法：
$x^{25}y^4z^6 ÷ x^5y^2z = x^{25-5}y^{4-2}z^{6-1}=x^{20}y^2z^5$
3. 按规律拼接指数：x指数20、y指数2、z指数5，拼接得2025。
【答案】
2025
【知识点】
同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法
【点评】
本题结合新定义形式考查幂的运算，需要先通过已知条件归纳运算规则，再熟练运用幂的相关运算法则化简求值，能很好地考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的两个等式，先运用同底数幂乘法法则化简第二个等式中括号内的整式，得到x、y、z的指数分别为5、2、1，对应等式右边的521，再结合第一个等式x、y、z的指数19、8、8对应右边1988，可总结出规律：中括号的运算结果是将括号内整式化简后，x的指数、y的指数、z的指数按顺序拼接得到的数。接下来我们只需运用幂的乘方、同底数幂的除法法则化简密码对应的整式，得到三个指数后按规律拼接即可得到密码。
【解析】
1. 验证规律：
先化简第二个等式中括号内的整式：
$x^2yz · x^3y = x^{2+3}y^{1+1}z^1 = x^5y^2z^1$
x的指数为5，y的指数为2，z的指数为1，拼接得521，和等式右边一致；
再看第一个等式：$x^{19}y^8z^8$的x指数19、y指数8、z指数8，拼接得1988，和等式右边一致，规律成立。
2. 化简密码对应的整式：
先计算幂的乘方：$(x^5)^5 = x^{5×5}=x^{25}$
再计算同底数幂的除法：
$x^{25}y^4z^6 ÷ x^5y^2z = x^{25-5}y^{4-2}z^{6-1}=x^{20}y^2z^5$
3. 按规律拼接指数：x指数20、y指数2、z指数5，拼接得2025。
【答案】
2025
【知识点】
同底数幂乘法，幂的乘方，同底数幂除法
【点评】
本题结合新定义形式考查幂的运算，需要先通过已知条件归纳运算规则，再熟练运用幂的相关运算法则化简求值，能很好地考查观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
