15.如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个宽为$m+2n$、长为$2m+n$的大长方形，那么需要C类卡片张。

15.$5$

【分析】
解决本题的核心是抓住图形拼接前后总面积不变的规律。首先计算出待拼接的大长方形的总面积，再分别计算三类卡片各自的面积，将大长方形的面积展开为多项式形式后，多项式中对应项的系数就是对应卡片的需要数量，其中C类卡片面积为mn，因此多项式中mn项的系数就是C类卡片的张数。
【解析】
首先计算长为$2m+n$、宽为$m+2n$的大长方形的面积，根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得：
$\begin{aligned}(2m+n)(m+2n)&=2m· m + 2m· 2n + n· m + n· 2n\\&=2m^2 +4mn + mn + 2n^2\\&=2m^2 +5mn + 2n^2\end{aligned}$
再计算三类卡片的面积：
A类正方形卡片面积：$m× m = m^2$
B类正方形卡片面积：$n× n = n^2$
C类长方形卡片面积：$m× n = mn$
拼接前后总面积相等，因此多项式中$mn$项的系数就是需要C类卡片的数量。
【答案】
$5$
【知识点】
多项式乘多项式，面积不变性，整式化简
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，将图形拼接问题转化为整式乘法运算，通过面积相等建立联系，能够很好地锻炼数形结合的思维能力，解题时要注意多项式乘法展开时不要漏乘、错乘，合并同类项要准确。
【难度系数】
0.7

16.下面是某同学进行整式运算的过程,请你认真阅读并完成相应任务。
计算:$(3x+1)(3x-1)-(2x-1)^2$。
解:原式$=9x^2-1-(4x^2-2x+1)$……第一步
$=9x^2-1-4x^2+2x-1$……第二步
$=5x^2+2x-2$。……第三步
(1)以上解题过程中,第一步需要依据公式和公式进行运算,第步开始出现错误；
(2)请你写出正确的解答过程。

16.解:(1)平方差 完全平方 一
(2)原式$=9x^2-1-(4x^2-4x+1)$
$=9x^2-1-4x^2+4x-1$
$=5x^2+4x-2$。

【分析】
（1）解答第一问时，先观察原式的乘法结构：$(3x+1)(3x-1)$是两数和乘两数差的形式，符合平方差公式特征；$(2x-1)^2$是两数差的平方形式，符合完全平方公式特征，因此第一步需用这两个公式展开。再逐行核对计算过程，完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$中，当$a=2x、b=1$时，中间项应为$-2×2x×1=-4x$，题目第一步展开$(2x-1)^2$时中间项系数算错，因此第一步就出现错误。
（2）解答第二问时，先正确运用两个乘法公式展开乘积项，再去括号，最后合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
(1) 算式中$(3x+1)(3x-1)$适用平方差公式，$(2x-1)^2$适用完全平方公式；第一步完全平方展开时中间项系数计算错误，因此从第一步开始出错。
(2) 正确计算过程：
先分别用平方差公式、完全平方公式展开，再去括号合并同类项：
原式$=9x^2-1-(4x^2-4x+1)$
$=9x^2-1-4x^2+4x-1$
$=5x^2+4x-2$
【答案】
(1) 平方差；完全平方；一
(2) 原式$=9x^2-1-(4x^2-4x+1)$
$=9x^2-1-4x^2+4x-1$
$=5x^2+4x-2$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题考查整式混合运算，易错点为完全平方公式展开时中间项系数计算错误、去括号时符号处理不当，运算时要牢记乘法公式的结构特征，每一步计算注意核对系数和符号，避免漏乘、错号等问题。
【难度系数】
0.7

17.【问题提出】
当多项式$ax^2 + bx + c(a≠0)$是某一个多项式的平方时，有理数$a,b,c$是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
(1)当$a=1,b=-2,c=1$时，$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，发现：$(-2)^2=4×1×1$；
当$a=1,b=6,c=9$时，$x^2 +6x +9=(x+3)^2$，发现：$6^2=4×1×9$；
当$a=4,b=-12,c=9$时，$4x^2 -12x +9=(2x-3)^2$，发现：______。
【问题解决】
(2)当$ax^2 +bx +c=(mx +n)^2(a≠0)$时，猜想$a,b,c$之间的数量关系，并验证你的结论。
【拓展运用】
(3)若多项式$4y^2 +4$加上一个含字母$y$的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式。小颖是这样做的：
解:①当这个单项式为乘积2倍时,设单项式为$py$……
②当单项式为一个整式的平方时,设单项式为$qy^4$……
请按照小颖的思路分别补全过程。

17.解:(1)$(-12)^2=4×4×9$
(2)猜想:$a,b,c$之间的数量关系为$b^2=4ac$。
验证:因为$(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2$,
所以$a=m^2,b=2mn,c=n^2$,
所以$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2=4ac$,所以$b^2=4ac$。
(3)①当这个单项式为乘积2倍时,设单项式为$py$,
则$4y^2+py+4=(2y±2)^2$,
所以$py=±2×2y×2=±8y$,
所以这个单项式为$8y$或$-8y$。
②当这个单项式为一个整式的平方时,设单项式为$qy^4$,
则$qy^4+4y^2+4=(y^2+2)^2$,
所以这个单项式为$y^4$。
综上所述,单项式为$8y,-8y$或$y^4$。

【分析】
第(1)问：观察前两组示例的规律，均满足“一次项系数的平方=4×二次项系数×常数项”，直接代入a=4、b=-12、c=9即可写出对应等式；
第(2)问：先将等号右侧的完全平方式展开，根据两个多项式相等时对应项系数相等的原则，用m、n分别表示a、b、c，再计算b²和4ac的关系即可验证猜想；
第(3)问：按给出的分类思路求解：①若添加的是乘积2倍项，将4y²和4看作完全平方式的两个平方项，结合完全平方公式的结构求中间项，注意正负两种情况；②若添加的是平方项，将4y²看作完全平方式的乘积2倍项、4看作常数平方项，求出对应的首平方项即可。
【解析】
(1) 根据前两组的规律，代入$a=4,b=-12,c=9$，可得$\boldsymbol{(-12)^2=4×4×9}$。
(2) 猜想：$a,b,c$的数量关系为$\boldsymbol{b^2=4ac}$。
验证：将$(mx+n)^2$展开得$(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2$，
因为$ax^2+bx+c=(mx+n)^2$，对应项系数相等，所以$a=m^2$，$b=2mn$，$c=n^2$，
则$b^2=(2mn)^2=4m^2n^2$，$4ac=4× m^2× n^2=4m^2n^2$，
因此$b^2=4ac$，猜想成立。
(3) ①当添加的单项式为乘积2倍项时，设单项式为$py$，
此时完全平方式为$4y^2+py+4$，其中$4y^2=(2y)^2$，$4=2^2$，
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，可得$py=±2×2y×2=±8y$，
即$p=±8$，对应单项式为$8y$或$-8y$。
②当添加的单项式为整式的平方项时，设单项式为$qy^4$，
此时完全平方式为$qy^4+4y^2+4$，把$4y^2$看作乘积2倍项、4看作常数平方项，
则$(y^2+2)^2=y^4+4y^2+4$，对比系数得$q=1$，对应单项式为$y^4$。
综上，所有满足条件的单项式为$8y,-8y,y^4$。
【答案】
(1)$(-12)^2=4×4×9$；
(2)$b^2=4ac$；
(3)满足条件的单项式为$8y,-8y,y^4$。
【知识点】
完全平方公式，整式乘法，多项式相等条件
【点评】
本题围绕完全平方公式的结构特征逐层设计，从规律探究到关系推导再到拓展应用，既考查对完全平方公式的理解掌握程度，也考查分类讨论的思维能力，解题时需注意完全平方式有“和”“差”两种形式，避免漏解。
【难度系数】
0.7