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11.计算：
(1) $(-\dfrac{5a^{n+1}b^2}{2})^2 ÷ (-\dfrac{a^n b^2}{4})^2 × (-\dfrac{2ab^n}{5})^2$；
(2) $[-2(a-b)^4 + 3(b-a)^3 -4(b-a)^2] ÷ \dfrac{1}{4}(a-b)^2$。
(1) $(-\dfrac{5a^{n+1}b^2}{2})^2 ÷ (-\dfrac{a^n b^2}{4})^2 × (-\dfrac{2ab^n}{5})^2$；
(2) $[-2(a-b)^4 + 3(b-a)^3 -4(b-a)^2] ÷ \dfrac{1}{4}(a-b)^2$。
答案
11.(1)$16a^4b^{2n}$。
(2)$-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16$。
(2)$-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16$。
解析
【分析】
(1) 本题是单项式乘方与乘除的混合运算，解题思路：先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算三个单项式的乘方，再将系数、同底数幂分开进行乘除运算，最后合并化简得到结果。
(2) 本题是多项式除以单项式的运算，解题思路：首先把底数为$(b-a)$的幂统一转化为底数为$(a-b)$的同底数幂，再根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式，最后展开合并同类项即可，计算时需注意符号变化。
【解析】
(1) 先计算各部分的乘方：
$(-\dfrac{5a^{n+1}b^2}{2})^2=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4}$
$(-\dfrac{a^n b^2}{4})^2=\dfrac{a^{2n}b^4}{16}$
$(-\dfrac{2ab^n}{5})^2=\dfrac{4a^2b^{2n}}{25}$
再按从左到右的顺序进行乘除运算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4} ÷ \dfrac{a^{2n}b^4}{16} × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4} × \dfrac{16}{a^{2n}b^4} × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=100a^2 × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=16a^4b^{2n}\end{aligned}$
(2) 先统一底数：$(b-a)^3=-(a-b)^3$，$(b-a)^2=(a-b)^2$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=[-2(a-b)^4 - 3(a-b)^3 -4(a-b)^2] ÷ \dfrac{1}{4}(a-b)^2\\&=[-2(a-b)^4 - 3(a-b)^3 -4(a-b)^2] × \dfrac{4}{(a-b)^2}\\&=-2(a-b)^4 × \dfrac{4}{(a-b)^2} -3(a-b)^3 × \dfrac{4}{(a-b)^2} -4(a-b)^2 × \dfrac{4}{(a-b)^2}\\&=-8(a-b)^2 -12(a-b) -16\end{aligned}$
展开化简：
$\begin{aligned}原式&=-8(a^2-2ab+b^2) -12a +12b -16\\&=-8a^2+16ab-8b^2-12a+12b-16\\&=-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16\end{aligned}$
【答案】
(1)$16a^4b^{2n}$；
(2)$-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16$。
【知识点】
幂的运算性质，整式乘除运算，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的常规考查题型，核心是对运算顺序、符号规则、同底数幂运算规则的熟练掌握，第二题统一底数是简化运算的关键，计算时需细心避免符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是单项式乘方与乘除的混合运算，解题思路：先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算三个单项式的乘方，再将系数、同底数幂分开进行乘除运算，最后合并化简得到结果。
(2) 本题是多项式除以单项式的运算，解题思路：首先把底数为$(b-a)$的幂统一转化为底数为$(a-b)$的同底数幂，再根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式，最后展开合并同类项即可，计算时需注意符号变化。
【解析】
(1) 先计算各部分的乘方：
$(-\dfrac{5a^{n+1}b^2}{2})^2=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4}$
$(-\dfrac{a^n b^2}{4})^2=\dfrac{a^{2n}b^4}{16}$
$(-\dfrac{2ab^n}{5})^2=\dfrac{4a^2b^{2n}}{25}$
再按从左到右的顺序进行乘除运算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4} ÷ \dfrac{a^{2n}b^4}{16} × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=\dfrac{25a^{2n+2}b^4}{4} × \dfrac{16}{a^{2n}b^4} × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=100a^2 × \dfrac{4a^2b^{2n}}{25}\\&=16a^4b^{2n}\end{aligned}$
(2) 先统一底数：$(b-a)^3=-(a-b)^3$，$(b-a)^2=(a-b)^2$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=[-2(a-b)^4 - 3(a-b)^3 -4(a-b)^2] ÷ \dfrac{1}{4}(a-b)^2\\&=[-2(a-b)^4 - 3(a-b)^3 -4(a-b)^2] × \dfrac{4}{(a-b)^2}\\&=-2(a-b)^4 × \dfrac{4}{(a-b)^2} -3(a-b)^3 × \dfrac{4}{(a-b)^2} -4(a-b)^2 × \dfrac{4}{(a-b)^2}\\&=-8(a-b)^2 -12(a-b) -16\end{aligned}$
展开化简：
$\begin{aligned}原式&=-8(a^2-2ab+b^2) -12a +12b -16\\&=-8a^2+16ab-8b^2-12a+12b-16\\&=-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16\end{aligned}$
【答案】
(1)$16a^4b^{2n}$；
(2)$-8a^2-8b^2+16ab-12a+12b-16$。
【知识点】
幂的运算性质，整式乘除运算，多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的常规考查题型，核心是对运算顺序、符号规则、同底数幂运算规则的熟练掌握，第二题统一底数是简化运算的关键，计算时需细心避免符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
12.先化简,再求值:$[(2x-y)^2-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y$,其中$x=1,y=4$。
答案
12.解:$[(2x-y)^2-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y=(4x^2-4xy+y^2-4x^2+y^2-4xy)÷2y=(-8xy+2y^2)÷2y=-4x+y$。
当$x=1,y=4$时,原式$=-4×1+4=0$。
当$x=1,y=4$时,原式$=-4×1+4=0$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先利用完全平方公式展开$(2x-y)^2$，利用平方差公式计算$(2x-y)(2x+y)$，再去括号、合并中括号内的同类项，接着按照多项式除以单项式的法则计算得到最简整式；第二步将$x=1$，$y=4$代入最简整式中计算即可得到结果。计算时要注意去括号的符号变化，不要混淆乘法公式。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}&[(2x-y)^2-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y\\=&[4x^2-4xy+y^2-(4x^2-y^2)-4xy]÷2y\\=&(4x^2-4xy+y^2-4x^2+y^2-4xy)÷2y\\=&(-8xy+2y^2)÷2y\\=&-4x + y\end{aligned}$
再代入数值计算：当$x=1$，$y=4$时，
原式$=-4×1 + 4 = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，重点考查完全平方公式、平方差公式的应用，以及整式四则运算的计算能力，计算过程中需特别注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先利用完全平方公式展开$(2x-y)^2$，利用平方差公式计算$(2x-y)(2x+y)$，再去括号、合并中括号内的同类项，接着按照多项式除以单项式的法则计算得到最简整式；第二步将$x=1$，$y=4$代入最简整式中计算即可得到结果。计算时要注意去括号的符号变化，不要混淆乘法公式。
【解析】
解：先化简式子：
$\begin{aligned}&[(2x-y)^2-(2x-y)(y+2x)-4xy]÷2y\\=&[4x^2-4xy+y^2-(4x^2-y^2)-4xy]÷2y\\=&(4x^2-4xy+y^2-4x^2+y^2-4xy)÷2y\\=&(-8xy+2y^2)÷2y\\=&-4x + y\end{aligned}$
再代入数值计算：当$x=1$，$y=4$时，
原式$=-4×1 + 4 = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，重点考查完全平方公式、平方差公式的应用，以及整式四则运算的计算能力，计算过程中需特别注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
13.李老师出了一道题:当$a=0.35,b=-0.28$时,求$a^3(7-6b)+3a^2b+3a^3+6a^3b-a^2(3b+10a)$的值。小聪说:“老师给的条件$a=0.35,b=-0.28$是多余的。”小明说:“不给这两个条件,就不能求出结果,所以不是多余的。”你认为他们谁说得有道理?为什么?
答案
13.解:小聪说得有道理。
原式$=7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3$
$=7a^3+3a^3-10a^3-6a^3b+6a^3b+3a^2b-3a^2b$
$=0$,
则此题的结果与$a,b$的取值无关。
故小聪说得有道理。
原式$=7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3$
$=7a^3+3a^3-10a^3-6a^3b+6a^3b+3a^2b-3a^2b$
$=0$,
则此题的结果与$a,b$的取值无关。
故小聪说得有道理。
解析
【分析】
要判断给定的a、b取值条件是否多余，只需先化简该整式，观察化简后的结果是否含有a、b，即结果是否与a、b的取值有关。若化简后为不含a、b的常数，则条件多余，小聪说法正确；若化简后仍含a、b，则需要代入数值计算，小明说法正确。解题时先按去括号法则去掉原式括号，再合并同类项，根据最终结果即可判断。
【解析】
解：小聪说得有道理，理由如下：
对原式去括号，得：
$\mathrm{原式}=7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3$
将同类项归类合并：
$=(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(3a^2b-3a^2b)$
计算后得：
$=0+0+0=0$
由于化简后的结果为0，是常数，和a、b的取值无关，因此题目给出的$a=0.35,b=-0.28$是多余的，故小聪说得有道理。
【答案】
小聪说得有道理，原式化简后结果为0，与a、b的取值无关，因此给定的a、b条件是多余的。
【知识点】
整式的化简、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的典型题型，核心考查整式化简的能力，解题关键是正确去括号、合并同类项，通过化简结果判断代数式的值是否与字母取值相关，有助于提升整式运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
要判断给定的a、b取值条件是否多余，只需先化简该整式，观察化简后的结果是否含有a、b，即结果是否与a、b的取值有关。若化简后为不含a、b的常数，则条件多余，小聪说法正确；若化简后仍含a、b，则需要代入数值计算，小明说法正确。解题时先按去括号法则去掉原式括号，再合并同类项，根据最终结果即可判断。
【解析】
解：小聪说得有道理，理由如下：
对原式去括号，得：
$\mathrm{原式}=7a^3-6a^3b+3a^2b+3a^3+6a^3b-3a^2b-10a^3$
将同类项归类合并：
$=(7a^3+3a^3-10a^3)+(-6a^3b+6a^3b)+(3a^2b-3a^2b)$
计算后得：
$=0+0+0=0$
由于化简后的结果为0，是常数，和a、b的取值无关，因此题目给出的$a=0.35,b=-0.28$是多余的，故小聪说得有道理。
【答案】
小聪说得有道理，原式化简后结果为0，与a、b的取值无关，因此给定的a、b条件是多余的。
【知识点】
整式的化简、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的典型题型，核心考查整式化简的能力，解题关键是正确去括号、合并同类项，通过化简结果判断代数式的值是否与字母取值相关，有助于提升整式运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
14.仔细观察，探索规律：
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$；
$(x-1)(x^2 +x +1)=x^3 -1$；
$(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)=x^4 -1$；
$(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)=x^5 -1$；
…。
则$2^{2019} +2^{2018} +2^{2017} +\dots +2 +1$的个位数字是（
A.1
B.3
C.5
D.7
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$；
$(x-1)(x^2 +x +1)=x^3 -1$；
$(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)=x^4 -1$；
$(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)=x^5 -1$；
…。
则$2^{2019} +2^{2018} +2^{2017} +\dots +2 +1$的个位数字是（
C
）A.1
B.3
C.5
D.7
答案
14.C
解析
【分析】
首先观察给出的整式乘法等式，可总结出通用规律：$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$。待求式是$x=2$、$n=2019$时$x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1$的形式，给待求式乘$(2-1)$（即1，不改变原式大小）即可套用规律将原式转化为$2^{2020} - 1$。接下来只需探究2的乘方的个位数字循环规律，算出$2^{2020}$的个位，再减1就能得到结果。
【解析】
根据题干给出的规律可得：
$(2-1)(2^{2019} + 2^{2018} + \dots + 2 + 1) = 2^{2020} - 1$
因为$2-1=1$，所以原式$=2^{2020} - 1$。
探究2的乘方的个位数字规律：
$2^1=2$，个位为2；
$2^2=4$，个位为4；
$2^3=8$，个位为8；
$2^4=16$，个位为6；
$2^5=32$，个位回到2，可知个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。
计算$2020 ÷ 4 = 505$，无余数，说明$2^{2020}$的个位和周期中最后一个数的个位相同，即个位为6。
因此$2^{2020} - 1$的个位为$6-1=5$。
【答案】
C
【知识点】
整式乘法规律探究，乘方的性质，周期问题
【点评】
本题是规律探究类典型题，既考查学生从已知等式中归纳通用规律的观察能力，也考查了结合乘方个位循环规律求解的计算能力，需要注意待求式变形时乘(2-1)的技巧，以及周期计算时余数对应的个位位置。
【难度系数】
0.6
首先观察给出的整式乘法等式，可总结出通用规律：$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$。待求式是$x=2$、$n=2019$时$x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1$的形式，给待求式乘$(2-1)$（即1，不改变原式大小）即可套用规律将原式转化为$2^{2020} - 1$。接下来只需探究2的乘方的个位数字循环规律，算出$2^{2020}$的个位，再减1就能得到结果。
【解析】
根据题干给出的规律可得：
$(2-1)(2^{2019} + 2^{2018} + \dots + 2 + 1) = 2^{2020} - 1$
因为$2-1=1$，所以原式$=2^{2020} - 1$。
探究2的乘方的个位数字规律：
$2^1=2$，个位为2；
$2^2=4$，个位为4；
$2^3=8$，个位为8；
$2^4=16$，个位为6；
$2^5=32$，个位回到2，可知个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。
计算$2020 ÷ 4 = 505$，无余数，说明$2^{2020}$的个位和周期中最后一个数的个位相同，即个位为6。
因此$2^{2020} - 1$的个位为$6-1=5$。
【答案】
C
【知识点】
整式乘法规律探究，乘方的性质，周期问题
【点评】
本题是规律探究类典型题，既考查学生从已知等式中归纳通用规律的观察能力，也考查了结合乘方个位循环规律求解的计算能力，需要注意待求式变形时乘(2-1)的技巧，以及周期计算时余数对应的个位位置。
【难度系数】
0.6
