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7.已知$m+n=mn$，则$(m-1)(n-1)=$
1
。答案
7.1
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的形式，我们可以先利用多项式乘多项式的法则将$(m-1)(n-1)$展开，展开后式子中会出现$mn$、$m+n$的结构，正好和已知条件$m+n=mn$对应，再将已知条件整体代入展开后的式子，就能求出结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式：
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1$
将式子变形为含有$m+n$的形式：
$=mn - (m+n) + 1$
已知$m+n=mn$，将$m+n$替换为$mn$代入上式：
原式$=mn - mn + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
多项式乘多项式运算；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过展开所求代数式找到和已知条件的关联，运用整体代入的思想快速求解，避免了单独求解m、n值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察所求代数式的形式，我们可以先利用多项式乘多项式的法则将$(m-1)(n-1)$展开，展开后式子中会出现$mn$、$m+n$的结构，正好和已知条件$m+n=mn$对应，再将已知条件整体代入展开后的式子，就能求出结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式：
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1$
将式子变形为含有$m+n$的形式：
$=mn - (m+n) + 1$
已知$m+n=mn$，将$m+n$替换为$mn$代入上式：
原式$=mn - mn + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
多项式乘多项式运算；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是通过展开所求代数式找到和已知条件的关联，运用整体代入的思想快速求解，避免了单独求解m、n值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.85
8.若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=140°，则∠1的补角是
110
°。答案
8.110
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“∠1与∠2是对顶角”入手，回忆对顶角的基本性质：对顶角相等，因此可得∠1=∠2。再结合给出的∠1+∠2=140°，就能先计算出∠1的度数。接下来要求∠1的补角，根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，用180°减去∠1的度数即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
又
∵∠1+∠2=140°
∴2∠1=140°，解得∠1=70°
根据补角的定义，∠1的补角为：
180°-∠1=180°-70°=110°
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握对顶角相等的性质和补角的定义，理清已知条件和所求问题的关联即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“∠1与∠2是对顶角”入手，回忆对顶角的基本性质：对顶角相等，因此可得∠1=∠2。再结合给出的∠1+∠2=140°，就能先计算出∠1的度数。接下来要求∠1的补角，根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，用180°减去∠1的度数即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
又
∵∠1+∠2=140°
∴2∠1=140°，解得∠1=70°
根据补角的定义，∠1的补角为：
180°-∠1=180°-70°=110°
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握对顶角相等的性质和补角的定义，理清已知条件和所求问题的关联即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，∠DOM=38°，且OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为
$116°$
。答案
9.$116°$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，先利用垂直的定义得到90°的角，结合给出的∠DOM的度数算出∠AOD的度数；再根据邻补角的和为180°求出∠AOC的度数；接着利用角平分线的定义算出∠AOE的度数；最后将∠AOD和∠AOE相加，就能得到∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°（垂直的定义），
∵∠DOM=38°，
∴∠AOD=∠AOM - ∠DOM=90°-38°=52°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC + ∠AOD=180°（邻补角的和为180°），
∴∠AOC=180°-52°=128°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×128°=64°（角平分线的定义），
∴∠DOE=∠AOD + ∠AOE=52°+64°=116°。
【答案】
116°
【知识点】
垂直的定义；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题的核心是明确图中各角的位置关系和对应的数量性质，按逻辑逐步推导即可，是对几何基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，先利用垂直的定义得到90°的角，结合给出的∠DOM的度数算出∠AOD的度数；再根据邻补角的和为180°求出∠AOC的度数；接着利用角平分线的定义算出∠AOE的度数；最后将∠AOD和∠AOE相加，就能得到∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°（垂直的定义），
∵∠DOM=38°，
∴∠AOD=∠AOM - ∠DOM=90°-38°=52°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC + ∠AOD=180°（邻补角的和为180°），
∴∠AOC=180°-52°=128°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×128°=64°（角平分线的定义），
∴∠DOE=∠AOD + ∠AOE=52°+64°=116°。
【答案】
116°
【知识点】
垂直的定义；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，解题的核心是明确图中各角的位置关系和对应的数量性质，按逻辑逐步推导即可，是对几何基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
10.根据如图的计算程序，若输入的$x=8$，则输出的$y$为
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先需要判断输入的x的正负性，再根据程序要求选择对应的代数式代入计算。首先观察输入值x=8，8为正数，符合上方的计算条件，因此选择关系式y=x-5，将x=8代入该式计算即可得到输出的y值。
【解析】
解：
∵输入的x=8，8是正数，
∴选择对应的计算关系式$y=x-5$，
将x=8代入关系式得：$y=8-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值，程序运算，有理数减法
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是先根据输入值的正负选择正确的计算关系式，再代入数值计算即可，注意不要选错关系式造成计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要判断输入的x的正负性，再根据程序要求选择对应的代数式代入计算。首先观察输入值x=8，8为正数，符合上方的计算条件，因此选择关系式y=x-5，将x=8代入该式计算即可得到输出的y值。
【解析】
解：
∵输入的x=8，8是正数，
∴选择对应的计算关系式$y=x-5$，
将x=8代入关系式得：$y=8-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值，程序运算，有理数减法
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是先根据输入值的正负选择正确的计算关系式，再代入数值计算即可，注意不要选错关系式造成计算错误。
【难度系数】
0.9
11.先化简，再求值：$2x^3 - \frac{1}{2}x[4x^2 - 4(\frac{1}{2}x + 2)]$，其中$x = -\frac{1}{2}$。
答案
11.解:原式化简结果为$x^2 + 4x$。当$x=-\frac{1}{2}$时,原式的值为$-\frac{7}{4}$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的解题原则。首先按先小括号、后中括号的顺序去括号，去括号时要注意乘法分配律的应用和符号变化；然后合并同类项得到最简整式；最后将x的取值代入最简整式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2x^3 - \frac{1}{2}x[4x^2 - 4×\frac{1}{2}x - 4×2]\\&=2x^3 - \frac{1}{2}x[4x^2 - 2x - 8]\\&=2x^3 - (\frac{1}{2}x·4x^2 - \frac{1}{2}x·2x - \frac{1}{2}x·8)\\&=2x^3 - (2x^3 - x^2 - 4x)\\&=2x^3 - 2x^3 + x^2 + 4x\\&=x^2 + 4x\end{aligned}$
再代入$x=-\frac{1}{2}$求值：
$\begin{aligned}原式&=(-\frac{1}{2})^2 + 4×(-\frac{1}{2})\\&=\frac{1}{4} - 2\\&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$x^2 + 4x$，求值结果为$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式化简、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算能力，解题核心是正确运用乘法分配律去括号，注意括号前为负号时，括号内各项都要变号，代入负数计算时要注意乘方的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的解题原则。首先按先小括号、后中括号的顺序去括号，去括号时要注意乘法分配律的应用和符号变化；然后合并同类项得到最简整式；最后将x的取值代入最简整式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2x^3 - \frac{1}{2}x[4x^2 - 4×\frac{1}{2}x - 4×2]\\&=2x^3 - \frac{1}{2}x[4x^2 - 2x - 8]\\&=2x^3 - (\frac{1}{2}x·4x^2 - \frac{1}{2}x·2x - \frac{1}{2}x·8)\\&=2x^3 - (2x^3 - x^2 - 4x)\\&=2x^3 - 2x^3 + x^2 + 4x\\&=x^2 + 4x\end{aligned}$
再代入$x=-\frac{1}{2}$求值：
$\begin{aligned}原式&=(-\frac{1}{2})^2 + 4×(-\frac{1}{2})\\&=\frac{1}{4} - 2\\&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$x^2 + 4x$，求值结果为$-\frac{7}{4}$
【知识点】
整式化简、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算能力，解题核心是正确运用乘法分配律去括号，注意括号前为负号时，括号内各项都要变号，代入负数计算时要注意乘方的符号规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
12.如图,已知锐角三角形ABC中,∠C=74°,请用尺规作图法,在△ABC内部求作一点P,使PB=PC,且∠PCB=37°。(保留作图痕迹,不写作法)
答案
12.解:如图,点P即为所求。
解析
【分析】
要找到同时满足两个条件的点P，我们可以分别拆解条件对应点的轨迹：
1. 若要PB=PC，根据线段垂直平分线的性质，点P一定在线段BC的垂直平分线上；
2. 已知∠ACB=74°，要使∠PCB=37°，说明CP恰好平分∠ACB，因此点P在∠ACB的角平分线上。
两个轨迹在△ABC内部的交点就是所求的点P，只需分别作出BC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，取二者交点即可。
【解析】
1. 作∠ACB的角平分线：以C为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AC、BC于两个点，再分别以这两个点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过C和该点作射线，即为∠ACB的角平分线，此时该射线与BC的夹角为74°÷2=37°，满足∠PCB=37°的要求；
2. 作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心，取大于BC长度一半的长度为半径画弧，两弧分别交于BC的上下两侧各一点，过这两个点作直线，即为BC的垂直平分线，该线上任意一点到B、C的距离相等，满足PB=PC的要求；
3. 上述角平分线和垂直平分线在△ABC内部的交点即为所求点P。
【答案】
如图,点P即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的综合应用题，解题核心是将点需要满足的几何条件转化为对应的基本作图，考查了对垂直平分线、角平分线性质的理解与应用，掌握两种基本作图方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要找到同时满足两个条件的点P，我们可以分别拆解条件对应点的轨迹：
1. 若要PB=PC，根据线段垂直平分线的性质，点P一定在线段BC的垂直平分线上；
2. 已知∠ACB=74°，要使∠PCB=37°，说明CP恰好平分∠ACB，因此点P在∠ACB的角平分线上。
两个轨迹在△ABC内部的交点就是所求的点P，只需分别作出BC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，取二者交点即可。
【解析】
1. 作∠ACB的角平分线：以C为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AC、BC于两个点，再分别以这两个点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过C和该点作射线，即为∠ACB的角平分线，此时该射线与BC的夹角为74°÷2=37°，满足∠PCB=37°的要求；
2. 作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心，取大于BC长度一半的长度为半径画弧，两弧分别交于BC的上下两侧各一点，过这两个点作直线，即为BC的垂直平分线，该线上任意一点到B、C的距离相等，满足PB=PC的要求；
3. 上述角平分线和垂直平分线在△ABC内部的交点即为所求点P。
【答案】
如图,点P即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，尺规作图
【点评】
本题属于尺规作图的综合应用题，解题核心是将点需要满足的几何条件转化为对应的基本作图，考查了对垂直平分线、角平分线性质的理解与应用，掌握两种基本作图方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13.如图,已知∠DFB=125°,∠ACB=55°。
(1)判断AC与DE的位置关系,并说明理由；
(2)若AB//CD,∠ACD=120°,求∠B的度数。
(1)判断AC与DE的位置关系,并说明理由；
(2)若AB//CD,∠ACD=120°,求∠B的度数。
答案
13.解:(1)$AC// DE$。理由如下：
因为$∠ CFE=∠ DFB=125°,∠ ACB=55°$,
所以$∠ ACB+∠ CFE=180°$,所以$AC// DE$。
(2)因为$∠ ACB=55°,∠ ACD=120°$,
所以$∠ BCD=∠ ACD-∠ ACB=120°-55°=65°$。
因为$AB// CD$,所以$∠ B=∠ BCD=65°$。
因为$∠ CFE=∠ DFB=125°,∠ ACB=55°$,
所以$∠ ACB+∠ CFE=180°$,所以$AC// DE$。
(2)因为$∠ ACB=55°,∠ ACD=120°$,
所以$∠ BCD=∠ ACD-∠ ACB=120°-55°=65°$。
因为$AB// CD$,所以$∠ B=∠ BCD=65°$。
解析
【分析】
(1)要判断AC与DE的位置关系，可借助平行线的判定定理分析。首先∠DFB和∠CFE是对顶角，二者度数相等，先得到∠CFE的度数，再计算它与∠ACB的和，若和为180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”就能判定两直线的位置关系。
(2)要求∠B的度数，已知AB//CD，根据平行线的性质，∠B和∠BCD是内错角，二者相等，因此先利用已知的∠ACD和∠ACB的度数求出∠BCD的度数，即可得到∠B的大小。
【解析】
(1) $AC// DE$，理由如下：
因为$∠ CFE=∠ DFB=125°$（对顶角相等），已知$∠ ACB=55°$，
所以$∠ ACB+∠ CFE=55°+125°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DE$。
(2) 已知$∠ ACD=120°$，$∠ ACB=55°$，
所以$∠ BCD=∠ ACD-∠ ACB=120°-55°=65°$，
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ B=∠ BCD=65°$。
【答案】
(1) $AC// DE$；
(2) $∠ B=65°$
【知识点】
对顶角相等，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题核心是准确识别不同位置关系的角，熟练运用平行线的相关定理进行推导，角度计算时注意避免运算错误。
【难度系数】
0.8
(1)要判断AC与DE的位置关系，可借助平行线的判定定理分析。首先∠DFB和∠CFE是对顶角，二者度数相等，先得到∠CFE的度数，再计算它与∠ACB的和，若和为180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”就能判定两直线的位置关系。
(2)要求∠B的度数，已知AB//CD，根据平行线的性质，∠B和∠BCD是内错角，二者相等，因此先利用已知的∠ACD和∠ACB的度数求出∠BCD的度数，即可得到∠B的大小。
【解析】
(1) $AC// DE$，理由如下：
因为$∠ CFE=∠ DFB=125°$（对顶角相等），已知$∠ ACB=55°$，
所以$∠ ACB+∠ CFE=55°+125°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DE$。
(2) 已知$∠ ACD=120°$，$∠ ACB=55°$，
所以$∠ BCD=∠ ACD-∠ ACB=120°-55°=65°$，
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ B=∠ BCD=65°$。
【答案】
(1) $AC// DE$；
(2) $∠ B=65°$
【知识点】
对顶角相等，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，解题核心是准确识别不同位置关系的角，熟练运用平行线的相关定理进行推导，角度计算时注意避免运算错误。
【难度系数】
0.8
