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一、选择题
1. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{6} = 2$
B.$2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 6$
C.$\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$
D.$\sqrt{8} = 2$
1. 下列计算正确的是 （
B
）A.$\sqrt{12} ÷ \sqrt{6} = 2$
B.$2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 6$
C.$\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{10}$
D.$\sqrt{8} = 2$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是依次根据二次根式的除法、乘法、加减运算以及化简的规则，对每个选项逐一计算验证，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=\sqrt{12÷6}=\sqrt{2}≠2$，因此A错误。
选项B：根据二次根式乘法法则$m\sqrt{a}× n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=2×3=6$，因此B正确。
选项C：二次根式加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{10}$，因此C错误。
选项D：化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}≠2$，因此D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的基本运算法则，解题时要注意区分加减和乘除的运算逻辑：二次根式乘除可直接对被开方数进行乘除，而加减必须先化简为最简二次根式后，仅合并同类二次根式的系数，不能直接相加被开方数，运算时细心验证即可避免失误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，解题思路是依次根据二次根式的除法、乘法、加减运算以及化简的规则，对每个选项逐一计算验证，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=\sqrt{12÷6}=\sqrt{2}≠2$，因此A错误。
选项B：根据二次根式乘法法则$m\sqrt{a}× n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=2×3=6$，因此B正确。
选项C：二次根式加减需先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}≠\sqrt{10}$，因此C错误。
选项D：化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}≠2$，因此D错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的加减运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的基本运算法则，解题时要注意区分加减和乘除的运算逻辑：二次根式乘除可直接对被开方数进行乘除，而加减必须先化简为最简二次根式后，仅合并同类二次根式的系数，不能直接相加被开方数，运算时细心验证即可避免失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a=2-\sqrt{3},b=\sqrt{3}+2$,则$a,b$的关系为 （
A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
C
）A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数
答案
2. C
解析
【分析】
要判断a和b的关系，首先明确各类关系的判定规则：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，互为负倒数的两个数乘积为-1，相等则两个数数值完全相同。我们可以通过计算a+b和a·b的结果，对照规则判断即可。观察a、b的形式刚好符合平方差公式的结构，用平方差公式计算乘积更简便。
【解析】
首先计算a与b的乘积：
$a·b=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，代入计算得：
$=2^2-(\sqrt{3})^2$
$=4-3$
$=1$
乘积为1，符合互为倒数的定义。
再验证其他选项：$a+b=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+2)=4≠0$，不是互为相反数；a、b数值明显不同，不相等；乘积为1不是-1，也不是负倒数。因此选C。
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是基础运算类考题，结合二次根式的计算考查数的关系判定，熟练运用平方差公式可以简化二次根式乘法的计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
要判断a和b的关系，首先明确各类关系的判定规则：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，互为负倒数的两个数乘积为-1，相等则两个数数值完全相同。我们可以通过计算a+b和a·b的结果，对照规则判断即可。观察a、b的形式刚好符合平方差公式的结构，用平方差公式计算乘积更简便。
【解析】
首先计算a与b的乘积：
$a·b=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，代入计算得：
$=2^2-(\sqrt{3})^2$
$=4-3$
$=1$
乘积为1，符合互为倒数的定义。
再验证其他选项：$a+b=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+2)=4≠0$，不是互为相反数；a、b数值明显不同，不相等；乘积为1不是-1，也不是负倒数。因此选C。
【答案】
C
【知识点】
倒数的定义；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题是基础运算类考题，结合二次根式的计算考查数的关系判定，熟练运用平方差公式可以简化二次根式乘法的计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
3. 在平面直角坐标系中,已知一次函数$y=(k-2)x-b$的图象大致如图所示,则下列结论中正确的是 (
A.$k＞2,b＞0$
B.$k＞2,b＜0$
C.$k＜2,b＞0$
D.$k＜2,b＜0$
C
)A.$k＞2,b＞0$
B.$k＞2,b＜0$
C.$k＜2,b＞0$
D.$k＜2,b＜0$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=mx+n$的图象性质：系数$m$（斜率）决定直线的倾斜方向，常数项$n$（纵截距）决定直线与y轴交点的位置。首先观察图象的倾斜方向判断$k-2$的正负，得到$k$的取值范围；再观察直线与y轴交点的位置判断常数项$-b$的正负，进一步得到$b$的取值范围，最终匹配选项即可。
【解析】
对于一次函数$y=mx+n$，结合图象特征分析如下：
1. 直线从左上向右下倾斜，说明斜率小于0，即：
$k-2 ＜ 0$，解得$k ＜ 2$；
2. 直线与y轴的交点在y轴负半轴，说明纵截距小于0，本题函数的纵截距为$-b$，因此：
$-b ＜ 0$，不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，解得$b ＞ 0$。
综上可得$k ＜ 2$且$b ＞ 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数图象的基础应用类题目，核心是掌握一次函数的斜率、纵截距分别对应的图象特征，结合图象信息列不等式求解即可，属于函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数$y=mx+n$的图象性质：系数$m$（斜率）决定直线的倾斜方向，常数项$n$（纵截距）决定直线与y轴交点的位置。首先观察图象的倾斜方向判断$k-2$的正负，得到$k$的取值范围；再观察直线与y轴交点的位置判断常数项$-b$的正负，进一步得到$b$的取值范围，最终匹配选项即可。
【解析】
对于一次函数$y=mx+n$，结合图象特征分析如下：
1. 直线从左上向右下倾斜，说明斜率小于0，即：
$k-2 ＜ 0$，解得$k ＜ 2$；
2. 直线与y轴的交点在y轴负半轴，说明纵截距小于0，本题函数的纵截距为$-b$，因此：
$-b ＜ 0$，不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，解得$b ＞ 0$。
综上可得$k ＜ 2$且$b ＞ 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数图象的基础应用类题目，核心是掌握一次函数的斜率、纵截距分别对应的图象特征，结合图象信息列不等式求解即可，属于函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 如图,已知函数$y=3x+b$和$y=ax-3$的图象交于点$P(-2,-5)$,则根据图象可得不等式$3x+b＞ax-3$的解集是________.
答案
1. x＞-2
解析
【分析】
首先明确不等式$3x+b＞ax-3$的本质是比较两个一次函数的函数值大小：当$y=3x+b$的函数值大于$y=ax-3$的函数值时，对应图象上就是$y=3x+b$的图象位于$y=ax-3$图象的上方。已知两个函数交点为$P(-2,-5)$，交点处两个函数值相等，只需观察交点哪一侧$y=3x+b$的图象在上方，即可得到不等式的解集。
【解析】
不等式$3x+b＞ax-3$的几何意义是：一次函数$y=3x+b$的图象位于$y=ax-3$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
已知两个函数图象交于点$P(-2,-5)$，即$x=-2$时两个函数值相等。
观察图象可得：当$x＞-2$时，$y=3x+b$的图象在$y=ax-3$的图象上方，此时$3x+b＞ax-3$成立，因此不等式的解集为$x＞-2$。
【答案】
$x＞-2$
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的基础题型，解题核心是理解函数图象上下位置与函数值大小的对应关系，运用数形结合思想即可快速得到答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
首先明确不等式$3x+b＞ax-3$的本质是比较两个一次函数的函数值大小：当$y=3x+b$的函数值大于$y=ax-3$的函数值时，对应图象上就是$y=3x+b$的图象位于$y=ax-3$图象的上方。已知两个函数交点为$P(-2,-5)$，交点处两个函数值相等，只需观察交点哪一侧$y=3x+b$的图象在上方，即可得到不等式的解集。
【解析】
不等式$3x+b＞ax-3$的几何意义是：一次函数$y=3x+b$的图象位于$y=ax-3$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
已知两个函数图象交于点$P(-2,-5)$，即$x=-2$时两个函数值相等。
观察图象可得：当$x＞-2$时，$y=3x+b$的图象在$y=ax-3$的图象上方，此时$3x+b＞ax-3$成立，因此不等式的解集为$x＞-2$。
【答案】
$x＞-2$
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数与一元一次不等式结合的基础题型，解题核心是理解函数图象上下位置与函数值大小的对应关系，运用数形结合思想即可快速得到答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
2. [2025·许昌二模]计算$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$的结果为
2-√2
.答案
2. 2-√2
解析
【分析】
本题是二次根式的运算题，解题思路如下：首先观察算式结构，发现式子是单个二次根式与括号内的减法算式相乘，符合乘法分配律的应用形式，因此先利用乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$将式子展开；再根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a(a≥0)$计算展开后的每一项，最后合并结果即可。
【解析】
解：利用乘法分配律展开原式：
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×1$
根据二次根式乘法法则计算：$\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2$，代入上式得：
$=2-\sqrt{2}$
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考查二次根式乘法法则和乘法分配律的应用，运算难度低，只要掌握相关运算规则、细心计算即可得分，是二次根式章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的运算题，解题思路如下：首先观察算式结构，发现式子是单个二次根式与括号内的减法算式相乘，符合乘法分配律的应用形式，因此先利用乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$将式子展开；再根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a(a≥0)$计算展开后的每一项，最后合并结果即可。
【解析】
解：利用乘法分配律展开原式：
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×1$
根据二次根式乘法法则计算：$\sqrt{2}×\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2$，代入上式得：
$=2-\sqrt{2}$
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考查二次根式乘法法则和乘法分配律的应用，运算难度低，只要掌握相关运算规则、细心计算即可得分，是二次根式章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
3. [2024·郑州模拟]若一次函数$y = mx + 3$的图象经过点$(2,9)$，则$m$的值是________.
答案
3. 3
解析
【分析】
已知一次函数的解析式以及其图象经过的点的坐标，根据“函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式”的性质，我们可以将点的横、纵坐标代入解析式，得到仅含有未知数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵一次函数$y = mx + 3$的图象经过点$(2,9)$，
∴把$x=2$，$y=9$代入函数解析式，可得：
$9 = 2m + 3$
移项计算得：$2m = 9-3=6$
系数化为1得：$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，主要考查一次函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，解题核心是熟练运用代入法，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
已知一次函数的解析式以及其图象经过的点的坐标，根据“函数图象上任意一点的坐标都满足对应的函数解析式”的性质，我们可以将点的横、纵坐标代入解析式，得到仅含有未知数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵一次函数$y = mx + 3$的图象经过点$(2,9)$，
∴把$x=2$，$y=9$代入函数解析式，可得：
$9 = 2m + 3$
移项计算得：$2m = 9-3=6$
系数化为1得：$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，主要考查一次函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，解题核心是熟练运用代入法，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
4. [2023·郑州二模]A、B两地相距20 km，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1 h后乙再出发，乙以2 km/h的速度匀速行驶1 h后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达. 甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发
$\dfrac{16}{5}$
h后和乙相遇.答案
4. $\dfrac{16}{5}$
解析
【分析】
要解决甲乙相遇的问题，首先需要分别求出甲、乙两人离开A地的距离y与甲出发时间t的函数解析式。首先根据图象信息先求甲的匀速行驶的速度，得到甲的一次函数式；再分两段求出乙的分段函数：乙前1小时按2km/h行驶，得到第一段解析式，再根据乙提速后经过的两点坐标用待定系数法求出第二段解析式。相遇时两人路程相等，且相遇发生在乙提速之后，因此令两段函数值相等解方程即可得到相遇时间。
【解析】
1. 求甲的函数解析式：
由图可知，甲5h行驶20km，速度为$v_{甲}=\frac{20}{5}=4\mathrm{km/h}$，
因此甲的路程与时间的关系为：$y_{甲}=4t\quad(0≤ t≤5)$。
2. 求乙的函数解析式：
乙在甲出发1h后才出发，分两段：
① 当$1≤ t≤2$时，乙速度为2km/h，
则$y_{乙}=2(t-1)=2t-2$；
② 当$2＜ t≤4$时，乙提速，t=2时乙行驶了2km，t=4时乙行驶了20km，设解析式为$y_{乙}=kt+b$，
代入点$(2,2)$和$(4,20)$得：
$\begin{cases}2k+b=2\\4k+b=20\end{cases}$
解得$k=9$，$b=-16$，即$y_{乙}=9t-16\quad(2＜t≤4)$。
3. 求相遇时间：
t=2时，$y_{甲}=4×2=8\mathrm{km}$，$y_{乙}=2\mathrm{km}$，甲在乙前面，因此相遇在$2＜t＜4$区间内，
令$y_{甲}=y_{乙}$，即$4t=9t-16$，
解得$t=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题的核心是正确理解图象中横纵坐标的含义，分段求出对应函数解析式，再根据相遇时路程相等建立方程求解，需要注意分段函数的取值范围，避免代错解析式。
【难度系数】
0.7
要解决甲乙相遇的问题，首先需要分别求出甲、乙两人离开A地的距离y与甲出发时间t的函数解析式。首先根据图象信息先求甲的匀速行驶的速度，得到甲的一次函数式；再分两段求出乙的分段函数：乙前1小时按2km/h行驶，得到第一段解析式，再根据乙提速后经过的两点坐标用待定系数法求出第二段解析式。相遇时两人路程相等，且相遇发生在乙提速之后，因此令两段函数值相等解方程即可得到相遇时间。
【解析】
1. 求甲的函数解析式：
由图可知，甲5h行驶20km，速度为$v_{甲}=\frac{20}{5}=4\mathrm{km/h}$，
因此甲的路程与时间的关系为：$y_{甲}=4t\quad(0≤ t≤5)$。
2. 求乙的函数解析式：
乙在甲出发1h后才出发，分两段：
① 当$1≤ t≤2$时，乙速度为2km/h，
则$y_{乙}=2(t-1)=2t-2$；
② 当$2＜ t≤4$时，乙提速，t=2时乙行驶了2km，t=4时乙行驶了20km，设解析式为$y_{乙}=kt+b$，
代入点$(2,2)$和$(4,20)$得：
$\begin{cases}2k+b=2\\4k+b=20\end{cases}$
解得$k=9$，$b=-16$，即$y_{乙}=9t-16\quad(2＜t≤4)$。
3. 求相遇时间：
t=2时，$y_{甲}=4×2=8\mathrm{km}$，$y_{乙}=2\mathrm{km}$，甲在乙前面，因此相遇在$2＜t＜4$区间内，
令$y_{甲}=y_{乙}$，即$4t=9t-16$，
解得$t=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\dfrac{16}{5}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题的核心是正确理解图象中横纵坐标的含义，分段求出对应函数解析式，再根据相遇时路程相等建立方程求解，需要注意分段函数的取值范围，避免代错解析式。
【难度系数】
0.7
