三、解答题
1. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ l:y = kx + 1(k ≠ 0) $ 与直线 $ x = k $,直线 $ y = -k $ 分别交于点 $ A,B $,直线 $ x = k $ 与直线 $ y = -k $ 交于点 $ C $.
(1) 求直线 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点坐标.
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫作整点. 记线段 $ AB,BC,CA $ 围成的区域(不含边界)为 $ W $.
①当 $ k = 2 $ 时,结合函数图象,求区域 $ W $ 内的整点个数;
②若区域 $ W $ 内没有整点,直接写出 $ k $ 的取值范围.

1. 解:(1)令 x=0,解得 y=1.
∴ 直线$y=kx+1(k≠0)$与y轴的交点坐标为(0,1).
(2)①当 k = 2 时,三条直线分别为 y = 2x+1,
x=2,y=-2.
∴ 点A(2,5),$B(-\dfrac{3}{2},-2)$,C(2,-2).
结合函数图象,可得区域 W 内的整点个数为 6.

②$-1≤ k＜0$ 或 $k=-2$.

【分析】
(1) 求直线与y轴的交点时，y轴上所有点的横坐标均为0，因此只需将x=0代入直线解析式，计算出对应的y值即可得到交点坐标。
(2) ①当k=2时，首先确定三条直线的具体解析式，再分别求出A、B、C三点的坐标，明确三条线段围成的区域范围，根据整点的定义，逐一枚举区域内（不含边界）横纵坐标均为整数的点，统计个数即可。
②探究区域W内无整点的k的取值时，需分类讨论：首先分析k＞0的情况，此时区域内必然存在整点，不符合要求；再分析k＜0的情况，当-1≤k＜0时区域范围极小，不存在整点；验证特殊值k=-2时，区域内也无整点，其余负数值均存在整点，最终得到符合要求的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=kx+1(k≠0)$，令$x=0$，代入得$y=k×0+1=1$，
∴直线l与y轴的交点坐标为$(0,1)$。
(2) ①当$k=2$时，三条直线分别为$y=2x+1$、$x=2$、$y=-2$：
将$x=2$代入$y=2x+1$，得$y=5$，即$A(2,5)$；
将$y=-2$代入$y=2x+1$，得$-2=2x+1$，解得$x=-\frac{3}{2}$，即$B(-\frac{3}{2},-2)$；
直线$x=2$和$y=-2$的交点为$C(2,-2)$。
区域W为$△ ABC$内部（不含边界），枚举得整点为$(0,0)、(0,-1)、(1,-1)、(1,0)、(1,1)、(1,2)$，共6个。
②当$k＞0$时，区域内必然存在整点，不符合要求；
当$-1≤k＜0$时，$x=k$介于-1和0之间，$y=-k$介于0和1之间，区域内无整点；
当$k=-2$时，三条直线为$y=-2x+1$、$x=-2$、$y=2$，围成的区域内无整点；
当$k＜-2$或$-2＜k＜-1$时，区域内均存在整点，不符合要求。
综上，k的取值范围为$-1≤ k＜0$ 或 $k=-2$。
【答案】
(1) $(0,1)$
(2) ①6个；
②$-1≤ k＜0$ 或 $k=-2$
【知识点】
一次函数图象性质，函数交点计算，分类讨论思想
【点评】
本题围绕一次函数展开，综合考查了函数交点求解、整点计数和参数范围探究，需要结合数形结合和分类讨论的方法分析，对函数图象的理解能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

2. [2025·周口模拟]某公司计划购买A,B两种型号的电脑,已知购买一台A型电脑需0.6万元,购买一台B型电脑需0.4万元,该公司准备投入资金y万元,全部用于购进35台这两种型号的电脑,设购进A型电脑x台.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍,则该公司至少需要投入资金多少万元?

2. 解:(1)已知购进 A 型电脑 x 台,一共购进 35 台电脑,则购进 B 型电脑(35-x)台.
购买一台 A 型电脑需 0.6 万元,购买一台 B 型电脑需 0.4 万元,投入资金 y 万元,所以
y=0.6x+0.4(35-x),化简可得
y=0.6x+14-0.4x=0.2x+14.
(2)因为购进 B 型电脑的数量不超过 A 型电脑数量的 2 倍,所以 35-x ≤2x,
移项可得 3x≥35,解得 $x≥ \dfrac{35}{3}\approx 11.67$.
又因为 y=0.2x+14,0.2＞0,所以 y 随 x 的增大而增大.
因为 x 为电脑台数,为正整数,且 $x≥ \dfrac{35}{3}$,所以当 x=12 时,y 有最小值.
把 x=12 代入 y=0.2x+14,可得
y=0.2×12+14=2.4+14=16.4(万元).
所以该公司至少需要投入资金 16.4 万元.

【分析】
(1) 求y关于x的函数解析式，首先明确总投入资金=购买A型电脑的总费用+购买B型电脑的总费用。已知购进A型电脑x台，总购进量为35台，可推出B型电脑购进(35-x)台，结合两种电脑的单价代入等量关系，化简后即可得到函数解析式。
(2) 求最少投入资金，首先根据“B型电脑数量不超过A型电脑数量的2倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性，由于电脑台数为正整数，找到符合x范围的最小正整数值，代入函数式即可算出最小投入资金。
【解析】
(1) 由题意得，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(35-x)$台。
总投入资金y的等量关系为：$y=A型电脑总费用+B型电脑总费用$，代入数据得：
$\begin{aligned}y&=0.6x+0.4(35-x)\\&=0.6x+14-0.4x\\&=0.2x+14\end{aligned}$
(2) 根据B型电脑数量的限制条件列不等式：
$35-x≤2x$
移项合并得$3x≥35$，解得$x≥\dfrac{35}{3}\approx11.67$
在一次函数$y=0.2x+14$中，$k=0.2＞0$，因此y随x的增大而增大。
由于x为电脑台数，必须是正整数，因此x的最小取值为12。
将$x=12$代入函数式得：
$y=0.2×12+14=2.4+14=16.4$（万元）
【答案】
(1) $y=0.2x+14$
(2) 该公司至少需要投入资金16.4万元
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次不等式应用，一次函数最值求解
【点评】
本题是典型的函数与不等式结合的实际应用题，解题核心是先梳理题干等量关系列出函数表达式，再根据限制条件求出自变量的取值范围，最后结合一次函数的增减性求解最值，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，比如本题中电脑台数必须为正整数。
【难度系数】
0.7

四、趣味题
将下图分成形状、面积都相同的4份,使每份中各数之和相等.

【分析】
解题需先明确两个核心要求：每份数字和相等、每份形状和面积相同。首先我们可以先计算所有数字的总和，除以4得到每份需要达到的数字和；再计算总格子数，除以4得到每份对应的格子数；最后寻找4组符合格子数要求、数字和等于目标值、形状完全相同的区域，覆盖全部方格即可。
【解析】
1. 计算所有数字总和：
将4×4方格内的所有数字相加：
$8+3+6+5+3+1+2+1+4+5+4+2+1+7+3+9=64$
2. 计算每份的数字和：
要分成4份且每份和相等，因此每份的数字之和为 $64÷4=16$
3. 确定每份的格子数：
总共有 $4×4=16$ 个格子，分成面积相同的4份，每份包含 $16÷4=4$ 个格子。
4. 划分验证：
寻找4组各含4个格子的区域，保证每组形状相同，且组内数字和为16，经验证划分结果符合要求。
【答案】

【知识点】
整数运算，图形平均分，数字推理
【点评】
本题将数字计算与图形划分相结合，既考查基础运算能力，也锻炼空间想象能力和逻辑推理能力，趣味性较强，能有效开拓思维。
【难度系数】
0.6