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综合与实践 光学中的最短路径
背景材料1:《淮南万毕术》中记载:"取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣."这一装置利用平面镜与水面的组合反射,实现了视野的扩展,被视为早期光学探索的重要实践.
背景材料2:古希腊数学家海伦通过实验得出反射角等于入射角的规律,且该路径为几何最短距离.17世纪,法国数学家费马提出费马原理,指出光在传播时总是选择耗时最短的路径,并将最短路径思想推广至折射等领域.
任务1:证明反射路径最短.
如图1,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对应点$C'$,连接$C'D$,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.
求证:$CE+DE$最短.请在横线上填写内容(括号里写推理依据).
如图1,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点$E'$,连接$DE',CE',C'E'$.
在$△ C'DE'$中,$C'E'+DE'＞C'D$(
∵实物C与点$C'$关于平面镜AB对称,
∴AB垂直平分$CC'$,
∴$CE=$
∵$C'D=C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D$,
∴$CE'+DE'＞CE+DE$.
任务2:确定挡板反射范围.
如图2,若从点A发出的光线经平面镜MN反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图过程)
任务3:计算最短路径长度.
如图3,一面镜子OA斜固定在地面OB上,且$∠AOB=60°$,点P为距离地面OB 8 cm的一个光源(即$PC=8$cm),光线射出经过镜面D处反射到地面.若光线经过的路径长最短为10 cm,求PD的长.
背景材料1:《淮南万毕术》中记载:"取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣."这一装置利用平面镜与水面的组合反射,实现了视野的扩展,被视为早期光学探索的重要实践.
背景材料2:古希腊数学家海伦通过实验得出反射角等于入射角的规律,且该路径为几何最短距离.17世纪,法国数学家费马提出费马原理,指出光在传播时总是选择耗时最短的路径,并将最短路径思想推广至折射等领域.
任务1:证明反射路径最短.
如图1,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对应点$C'$,连接$C'D$,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.
求证:$CE+DE$最短.请在横线上填写内容(括号里写推理依据).
如图1,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点$E'$,连接$DE',CE',C'E'$.
在$△ C'DE'$中,$C'E'+DE'＞C'D$(
三角形的任意两边之和大于第三边
).∵实物C与点$C'$关于平面镜AB对称,
∴AB垂直平分$CC'$,
∴$CE=$
$C'E$
,$CE'=C'E'$(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
).∵$C'D=C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D$,
∴$CE'+DE'＞CE+DE$.
任务2:确定挡板反射范围.
如图2,若从点A发出的光线经平面镜MN反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图过程)
任务3:计算最短路径长度.
如图3,一面镜子OA斜固定在地面OB上,且$∠AOB=60°$,点P为距离地面OB 8 cm的一个光源(即$PC=8$cm),光线射出经过镜面D处反射到地面.若光线经过的路径长最短为10 cm,求PD的长.
答案
任务1:三角形的任意两边之和大于第三边 $C'E$ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
任务2:如图1,作A关于MN的对应点A',连接A'B,A'C并延长分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求。
任务3:如图2,作P关于OA的对应点P',过点P'作$P'E⊥OB$于点E,交OA于点D,连接PD,过点P作$PF⊥P'D$于F,则$P'E=P'D+DE=PD+DE=10$ cm.
$\because PC=8$ cm,$\therefore EF=PC=8$ cm,$\therefore P'F=10-8=2$(cm).
∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
$\therefore ∠ADP=∠ADP'=∠ODE=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$
$\therefore ∠PDP'=60^{\circ },$
$\therefore △PDP'$是等边三角形,$\therefore P'F=DF=2$ cm,
$\therefore PD=P'D=4$ cm。
解析
【分析】
1. 任务1：要证明反射路径最短，我们通过轴对称将入射光线CE转化为对称点$C'$到E的线段$C'E$，此时$CE+DE$就转化为线段$C'D$的长度。在平面镜上任取另一点$E'$，利用三角形三边关系可证明其他路径的长度都大于$C'D$，由此即可得证，填空内容对应相关几何定理即可。
2. 任务2：根据反射原理，经平面镜反射的光线可看作是从光源关于平面镜的对称点发出的直线。要找到落在EF上的最高、最低反射点，只需找到能通过空隙BC的边界光线，即连接对称点与空隙的两个端点并延长到EF即可。
3. 任务3：求最短路径长度仍用轴对称转化，将PD转化为对称点$P'$到D的线段，最短路径即为$P'$到地面OB的垂线段长度。结合已知角度和线段长度，利用等边三角形的性质即可求出PD的长。
【解析】
任务1
在$△ C'DE'$中，根据三角形的基本性质，任意两边之和大于第三边，因此$C'E'+DE'＞C'D$。
因为点C和$C'$关于平面镜AB对称，所以AB垂直平分线段$CC'$，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得$CE=C'E$，$CE'=C'E'$。
代入不等式可得$CE'+DE'=C'E'+DE'＞C'D=C'E+DE=CE+DE$，即$CE+DE$最短。
任务2
第一步：作点A关于平面镜MN的对称点$A'$；
第二步：连接$A'C$，延长$A'C$交EF于点P，该点就是反射光线在EF上的最高点；
第三步：连接$A'B$，延长$A'B$交EF于点Q，该点就是反射光线在EF上的最低点。
任务3
作点P关于OA的对称点$P'$，过$P'$作$P'E⊥OB$于点E，交OA于点D，连接PD，过P作$PF⊥P'D$于F。
根据轴对称性质，$PD=P'D$，因此最短路径长$PD+DE=P'D+DE=P'E=10\mathrm{cm}$。
因为$PC⊥OB$，$P'E⊥OB$，$PF⊥P'E$，所以四边形PCEF是矩形，可得$EF=PC=8\mathrm{cm}$，因此$P'F=P'E-EF=10-8=2\mathrm{cm}$。
已知$∠ AOB=60°$，$P'E⊥OB$，所以$∠ ODE=90°-60°=30°$。根据反射角等于入射角，$∠ ADP=∠ ODE=30°$，又因为P和$P'$关于OA对称，所以$∠ ADP'=∠ ADP=30°$，因此$∠ PDP'=30°+30°=60°$。
结合$PD=P'D$，可得$△ PDP'$是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，PF是$P'D$上的高，所以$P'F=DF=2\mathrm{cm}$，因此$P'D=P'F+DF=4\mathrm{cm}$，即$PD=P'D=4\mathrm{cm}$。
【答案】
任务1:三角形的任意两边之和大于第三边 $C'E$ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
任务2:如图1,作A关于MN的对应点A',连接A'B,A'C并延长分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求。
任务3:如图2,作P关于OA的对应点P',过点P'作$P'E⊥OB$于点E,交OA于点D,连接PD,过点P作$PF⊥P'D$于F,则$P'E=P'D+DE=PD+DE=10$ cm.
$\because PC=8$ cm,$\therefore EF=PC=8$ cm,$\therefore P'F=10-8=2$(cm).
∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
$\therefore ∠ADP=∠ADP'=∠ODE=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$
$\therefore ∠PDP'=60^{\circ },$
$\therefore △PDP'$是等边三角形,$\therefore P'F=DF=2$ cm,
$\therefore PD=P'D=4$ cm。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系
【点评】
本题结合光学反射的实际背景，考查了轴对称性质在最短路径问题中的应用，将实际问题转化为几何模型，既检验了对基础几何定理的掌握程度，也锻炼了作图能力和逻辑推理能力，贴合生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.6
1. 任务1：要证明反射路径最短，我们通过轴对称将入射光线CE转化为对称点$C'$到E的线段$C'E$，此时$CE+DE$就转化为线段$C'D$的长度。在平面镜上任取另一点$E'$，利用三角形三边关系可证明其他路径的长度都大于$C'D$，由此即可得证，填空内容对应相关几何定理即可。
2. 任务2：根据反射原理，经平面镜反射的光线可看作是从光源关于平面镜的对称点发出的直线。要找到落在EF上的最高、最低反射点，只需找到能通过空隙BC的边界光线，即连接对称点与空隙的两个端点并延长到EF即可。
3. 任务3：求最短路径长度仍用轴对称转化，将PD转化为对称点$P'$到D的线段，最短路径即为$P'$到地面OB的垂线段长度。结合已知角度和线段长度，利用等边三角形的性质即可求出PD的长。
【解析】
任务1
在$△ C'DE'$中，根据三角形的基本性质，任意两边之和大于第三边，因此$C'E'+DE'＞C'D$。
因为点C和$C'$关于平面镜AB对称，所以AB垂直平分线段$CC'$，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得$CE=C'E$，$CE'=C'E'$。
代入不等式可得$CE'+DE'=C'E'+DE'＞C'D=C'E+DE=CE+DE$，即$CE+DE$最短。
任务2
第一步：作点A关于平面镜MN的对称点$A'$；
第二步：连接$A'C$，延长$A'C$交EF于点P，该点就是反射光线在EF上的最高点；
第三步：连接$A'B$，延长$A'B$交EF于点Q，该点就是反射光线在EF上的最低点。
任务3
作点P关于OA的对称点$P'$，过$P'$作$P'E⊥OB$于点E，交OA于点D，连接PD，过P作$PF⊥P'D$于F。
根据轴对称性质，$PD=P'D$，因此最短路径长$PD+DE=P'D+DE=P'E=10\mathrm{cm}$。
因为$PC⊥OB$，$P'E⊥OB$，$PF⊥P'E$，所以四边形PCEF是矩形，可得$EF=PC=8\mathrm{cm}$，因此$P'F=P'E-EF=10-8=2\mathrm{cm}$。
已知$∠ AOB=60°$，$P'E⊥OB$，所以$∠ ODE=90°-60°=30°$。根据反射角等于入射角，$∠ ADP=∠ ODE=30°$，又因为P和$P'$关于OA对称，所以$∠ ADP'=∠ ADP=30°$，因此$∠ PDP'=30°+30°=60°$。
结合$PD=P'D$，可得$△ PDP'$是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，PF是$P'D$上的高，所以$P'F=DF=2\mathrm{cm}$，因此$P'D=P'F+DF=4\mathrm{cm}$，即$PD=P'D=4\mathrm{cm}$。
【答案】
任务1:三角形的任意两边之和大于第三边 $C'E$ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
任务2:如图1,作A关于MN的对应点A',连接A'B,A'C并延长分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求。
任务3:如图2,作P关于OA的对应点P',过点P'作$P'E⊥OB$于点E,交OA于点D,连接PD,过点P作$PF⊥P'D$于F,则$P'E=P'D+DE=PD+DE=10$ cm.
$\because PC=8$ cm,$\therefore EF=PC=8$ cm,$\therefore P'F=10-8=2$(cm).
∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
$\therefore ∠ADP=∠ADP'=∠ODE=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$
$\therefore ∠PDP'=60^{\circ },$
$\therefore △PDP'$是等边三角形,$\therefore P'F=DF=2$ cm,
$\therefore PD=P'D=4$ cm。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系
【点评】
本题结合光学反射的实际背景，考查了轴对称性质在最短路径问题中的应用，将实际问题转化为几何模型，既检验了对基础几何定理的掌握程度，也锻炼了作图能力和逻辑推理能力，贴合生活实际，综合性较强。
【难度系数】
0.6
