1. 下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 （）

A.$ x(a + b) = ax + bx $
B.$ 4x^2 + 4x + 10 = (2x + 1)^2 + 9 $
C.$ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 $
D.$ x^2 - 9 + 6x = (x + 3)(x - 3) + 6x $

1.C

【分析】
要判断是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的变形，判断需满足两个要点：①等式左侧是多项式；②等式右侧是几个整式的乘积形式，且左右两边恒等。接下来我们逐一核对每个选项是否符合这两个要求，即可筛选出正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。
逐个分析选项：
A. 等式左侧是整式乘积$x(a+b)$，右侧是和的形式$ax+bx$，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，排除；
B. 等式右侧是$(2x+1)^2+9$，为和的形式，不是几个整式的乘积，不属于因式分解，排除；
C. 等式左侧是多项式$x^2-8x+16$，右侧是$(x-4)·(x-4)$，为两个整式的乘积形式，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，当选；
D. 等式右侧是$(x+3)(x-3)+6x$，为和的形式，不是几个整式的乘积，不属于因式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的乘法
3. 完全平方公式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢牢抓住因式分解的本质特征：变形结果必须是几个整式的乘积，注意区分因式分解和整式乘法、普通恒等变形的差异，掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.多项式$6ab^{2}-cb$的公因式是 （）

A.$b$
B.$ab$
C.$b^{2}$
D.$x$

2.A

【分析】
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先明确公因式是多项式各项都共同含有的因式，找公因式分三步进行：①定系数：找各项系数的最大公约数；②定字母：找各项都包含的相同字母；③定指数：找相同字母的最低次幂，三者结合就能得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
多项式$6ab^2 - cb$共有两项，分别为$6ab^2$和$-cb$：
1. 定系数：两项系数分别为6和-1，二者的最大公约数是1；
2. 定字母：第一项含有的字母是a、b，第二项含有的字母是c、b，两项都含有的相同字母只有b；
3. 定指数：字母b在第一项中的次数是2，在第二项中的次数是1，取最低次幂即1次。
综上，该多项式的公因式是$b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步判断规则，就能快速准确得到结果，需要注意的是，相同字母必须是多项式每一项都含有，且次数要取所有项中该字母的最小次数。
【难度系数】
0.9

3. 下列多项式中,能用公式法进行因式分解的是 （）

A.$x^2 - 2xy - y^2$
B.$x^2 - 4y^2 + 4yx$
C.$x^2 + 4y^2$
D.$-\dfrac{1}{4}x^2 + y^2$

3.D

【分析】
要判断多项式能否用公式法因式分解，首先牢记因式分解的两个常用公式的结构特征：①平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，特征是多项式为两项，两项均是平方形式，且符号相反；②完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征是多项式为三项，其中两项是同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时只需逐一验证每个选项是否符合上述两个公式的结构即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x^2 - 2xy - y^2$，两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合完全平方公式要求的“两个平方项同号”的特征，且是三项式不符合平方差公式的两项特征，不能用公式法分解。
选项B：整理原式得$x^2 + 4xy - 4y^2$，两个平方项$x^2$和$-4y^2$符号相反，不符合完全平方公式要求，且是三项式不符合平方差公式特征，不能用公式法分解。
选项C：$x^2 + 4y^2$是两项平方项，但符号相同，不符合平方差公式“两项符号相反”的要求，也没有完全平方公式的中间乘积项，不能用公式法分解。
选项D：$-\dfrac{1}{4}x^2 + y^2 = y^2 - (\dfrac{1}{2}x)^2$，符合平方差公式的结构特征，其中$a=y$，$b=\dfrac{1}{2}x$，可分解为$(y+\dfrac{1}{2}x)(y-\dfrac{1}{2}x)$，可以用公式法分解。
【答案】
D
【知识点】
公式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题主要考查因式分解中公式法的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐一比对选项即可得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4.若多项式$9a^{2}-kab+4b^{2}$能用完全平方公式因式分解，则$k$的值为 （）

A.$12$
B.$\pm12$
C.$6$
D.$\pm6$

4.B

【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的平方与差的平方两种，形式为$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，能用完全平方公式因式分解的多项式必须符合该结构。首先先确定给定多项式中的两个平方项对应的底数，再对应完全平方公式的中间项，注意两种符号情况，最后通过系数相等求出k的值即可。
【解析】
完全平方公式为：$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn +n^2$
首先将多项式的平方项变形：
$9a^2=(3a)^2$，$4b^2=(2b)^2$
因此该多项式对应的完全平方式为$(3a\pm2b)^2$，将其展开得：
$(3a\pm2b)^2=9a^2\pm12ab+4b^2$
已知原多项式为$9a^2 -kab +4b^2$，对比中间项系数可得：
$-k=\pm12$
解得$k=\pm12$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，属于基础常考题，易错点是容易忽略完全平方差的情况，只取正号导致漏解，解题时要牢记完全平方公式有和、差两种形式，对应中间项有正负两种可能。
【难度系数】
0.7

5.若二次三项式$x^2 - mx - 12$可分解为$(x - 4)(x + 3)$，则$m$的值为 （）

A.1
B.2
C.3
D.$-1$

5.A

【分析】
已知二次三项式分解后的因式，我们可以利用整式乘法与因式分解是互逆运算的关系解题：先把右侧两个一次多项式相乘展开，再让展开后的多项式和原式的对应项系数相等，即可求出m的值。
【解析】
先将$(x - 4)(x + 3)$根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x - 4)(x + 3)&=x· x + x·3 - 4· x - 4×3\\&=x^2 + 3x - 4x - 12\\&=x^2 - x - 12\end{aligned}$
由题意得$x^2 - mx - 12 = x^2 - x - 12$，两个多项式相等时对应项系数相等，因此一次项系数满足：$-m = -1$，解得$m=1$。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；因式分解的定义
【点评】
本题考查整式乘法和因式分解的互逆关系，属于基础题，核心是掌握多项式乘法运算规则，以及多项式相等时对应项系数相等的性质，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

6.将多项式$m(n-1)+(n-1)$提取公因式$n-1$后,剩下的是 （）

A.$m+1$
B.$m$
C.$m-1$
D.以上都不对

6.A

【分析】
这道题考查提取公因式法分解因式的应用，解题思路是先确定公因式为$(n-1)$，再将原多项式的每一项都除以公因式，把得到的商相加就是提取公因式后剩下的部分，注意原式第二项$(n-1)$可以看成$1 × (n-1)$，不要漏了系数1。
【解析】
首先将原式改写为：$m(n-1) + 1 · (n-1)$
提取公因式$(n-1)$时：
第一项$m(n-1)$除以公因式$(n-1)$得$m$，
第二项$1 · (n-1)$除以公因式$(n-1)$得$1$，
因此提取公因式后原式为$(n-1)(m+1)$，剩下的部分是$m+1$。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是容易忽略原式第二项的系数1，误选B选项，解题时要注意每一项都要除以公因式，不能漏项。
【难度系数】
0.8

7. 因式分解：
(1)$6ab^{2}-4a^{2}b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)$x(a+2)+y(a+2)=\_\_\_\_\_\_$；
(3)$16-a^{2}=\_\_\_\_\_\_$；
(4)$a^{2}-4a+4=\_\_\_\_\_\_$；
(5)$a^{2}(x-y)+(y-x)=\_\_\_\_\_\_$.

7.(1)$2ab(3b-2a)$ (2)$(a+2)(x+y)$ (3)$(4-a)(4+a)$ (4)$(a-2)^2$ (5)$(x-y)(a-1)(a+1)$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：第一步先找多项式各项的公因式，提取公因式；第二步观察提取公因式后的剩余部分，若符合平方差或完全平方公式的形式，套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否还有可分解的因式。各小题具体思考方向：(1)直接找两项的公因式提取即可；(2)将$(a+2)$看作整体，提取公因式；(3)符合平方差公式特征，直接套用公式；(4)符合完全平方差公式特征，直接套用公式；(5)先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后，剩余部分符合平方差公式，继续分解即可。
【解析】
(1) 两项的公因式为$2ab$，提取公因式得：
$6ab^2 - 4a^2b = 2ab · 3b - 2ab · 2a = 2ab(3b - 2a)$
(2) 两项的公因式为$(a+2)$，提取公因式得：
$x(a+2) + y(a+2) = (a+2)(x+y)$
(3) 原式可写为$4^2 - a^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$，代入得：
$16 - a^2 = (4 - a)(4 + a)$
(4) 原式可写为$a^2 - 2 · a · 2 + 2^2$，符合完全平方差公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$，代入得：
$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$
(5) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，再提取公因式$(x-y)$，最后对剩余部分用平方差公式分解：
$a^2(x-y) + (y-x) = a^2(x-y) - (x-y) = (x-y)(a^2 - 1) = (x-y)(a-1)(a+1)$
【答案】
(1)$2ab(3b-2a)$ (2)$(a+2)(x+y)$ (3)$(4-a)(4+a)$ (4)$(a-2)^2$ (5)$(x-y)(a-1)(a+1)$
【知识点】
1.提公因式法 2.平方差公式 3.完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础训练题，涵盖了因式分解的常用方法，解题时要注意公因式要提尽，符合公式特征的要套用公式继续分解，保证最终结果不能再分解，同时要注意变形过程中的符号问题。
【难度系数】
0.8

8. [开放性]请你写出一个既要用提公因式法，又要用公式法进行因式分解的多项式，你写的多项式是(写出一个即可)，分解的结果是.

8.(答案不唯一)$2x^2-8$ $2(x-2)(x+2)$

【分析】
要构造满足要求的多项式，首先明确因式分解的常规顺序是先提公因式，再用公式法，因此构造的多项式需要同时满足两个条件：①多项式各项含有公因式；②提取公因式后得到的多项式仍可以用乘法公式（平方差公式或完全平方公式）继续分解。我们可以先确定提取公因式后能用公式的部分，比如平方差形式的$x^2-4$，再给它乘一个公因式（如2），即可得到符合要求的多项式$2x^2-8$，分解时先提公因式，再用平方差公式即可得到结果。
【解析】
我们以多项式$2x^2-8$为例进行分解：
1. 提公因式：观察多项式各项都有公因式2，提取公因式2可得：
$2x^2-8=2(x^2-4)$
2. 公式法分解：$x^2-4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x$，$b=2$，因此：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
综上，分解结果为$2(x+2)(x-2)$。
注：答案不唯一，符合要求即可。
【答案】
$2x^2-8$；$2(x-2)(x+2)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查因式分解两种基本方法的应用，需要熟练掌握提公因式和公式法的适用特征，既可以检验对知识点的理解程度，也能锻炼知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7