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9.已知$xy=3,x-y=-2$，则$x^2y-xy^2=$______.
答案
9.$-6$
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项中都含有公因式$xy$，因此优先考虑用提取公因式法对代数式因式分解，分解后可以得到$xy(x-y)$，正好对应题目给出的已知条件$xy=3$和$x-y=-2$，无需单独求解$x$、$y$的具体值，直接整体代入数值计算即可，既简便又不易出错。
【解析】
解：对代数式$x^2y - xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
将$xy=3$，$x-y=-2$代入上式计算：
原式$=3×(-2) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
提取公因式法因式分解；代数式整体代入求值
【点评】
本题是代数运算的基础常考题，解题核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，用整体代入法简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现两项中都含有公因式$xy$，因此优先考虑用提取公因式法对代数式因式分解，分解后可以得到$xy(x-y)$，正好对应题目给出的已知条件$xy=3$和$x-y=-2$，无需单独求解$x$、$y$的具体值，直接整体代入数值计算即可，既简便又不易出错。
【解析】
解：对代数式$x^2y - xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
将$xy=3$，$x-y=-2$代入上式计算：
原式$=3×(-2) = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
提取公因式法因式分解；代数式整体代入求值
【点评】
本题是代数运算的基础常考题，解题核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，用整体代入法简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
10.已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-c)^2 - b(a-c)=0$,则$△ ABC$的形状是
等腰三角形
.答案
10.等腰三角形
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，发现等式左边两项都含有公因式$(a-c)$，因此可以先用提公因式法对等式左边进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”得到两个等量关系，最后结合三角形三边关系排除不符合实际的情况，即可得到三角形边的关系，判断三角形形状。
【解析】
解：对已知等式$(a-c)^2 - b(a-c)=0$左边因式分解：
提取公因式$(a-c)$，可得：
$(a - c)(a - c - b) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$a - c = 0$ 或 $a - c - b = 0$
即$a = c$ 或 $a = b + c$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可知$a = b + c$无法构成三角形，故舍去。
因此仅$a = c$成立，即$△ ABC$有两条边相等，所以$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
提公因式法因式分解、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题考查因式分解在三角形形状判断中的应用，解题时需要注意，通过因式分解得到多组结果后，要结合三角形三边的隐含条件进行取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察已知等式的结构，发现等式左边两项都含有公因式$(a-c)$，因此可以先用提公因式法对等式左边进行因式分解，得到两个因式乘积为0的形式；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”得到两个等量关系，最后结合三角形三边关系排除不符合实际的情况，即可得到三角形边的关系，判断三角形形状。
【解析】
解：对已知等式$(a-c)^2 - b(a-c)=0$左边因式分解：
提取公因式$(a-c)$，可得：
$(a - c)(a - c - b) = 0$
根据乘积为0的性质，得：
$a - c = 0$ 或 $a - c - b = 0$
即$a = c$ 或 $a = b + c$
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可知$a = b + c$无法构成三角形，故舍去。
因此仅$a = c$成立，即$△ ABC$有两条边相等，所以$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
提公因式法因式分解、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题考查因式分解在三角形形状判断中的应用，解题时需要注意，通过因式分解得到多组结果后，要结合三角形三边的隐含条件进行取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.75
11. 因式分解：
(1)$4x^2 - 9$；
(2)$ay^2 - 2ay + a$.
(1)$4x^2 - 9$；
(2)$ay^2 - 2ay + a$.
答案
11.解:(1)$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$.
(2)$ay^2-2ay+a=a(y^2-2y+1)=a(y-1)^2$.
(2)$ay^2-2ay+a=a(y^2-2y+1)=a(y-1)^2$.
解析
【分析】
因式分解的常规思路是“一提二套三查”：先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式，再看剩余部分是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，最后检查是否分解到不能再分解为止。
(1) 式子$4x^2 - 9$没有公因式，属于两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，直接套用平方差公式即可分解。
(2) 式子$ay^2 - 2ay + a$的每一项都含公因式$a$，先提取公因式$a$，剩余部分为$y^2-2y+1$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式继续分解即可。
【解析】
(1) 将两项转化为平方形式，再套用平方差公式：
$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x+3)(2x-3)$
(2) 先提取公因式$a$，再对剩余三项套用完全平方公式：
$ay^2-2ay+a=a(y^2-2y+1)=a(y-1)^2$
【答案】
(1) $(2x+3)(2x-3)$；(2) $a(y-1)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要遵循“一提二套三查”的顺序，两项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式，最终要保证分解结果彻底，不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
因式分解的常规思路是“一提二套三查”：先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式，再看剩余部分是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，最后检查是否分解到不能再分解为止。
(1) 式子$4x^2 - 9$没有公因式，属于两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，直接套用平方差公式即可分解。
(2) 式子$ay^2 - 2ay + a$的每一项都含公因式$a$，先提取公因式$a$，剩余部分为$y^2-2y+1$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式继续分解即可。
【解析】
(1) 将两项转化为平方形式，再套用平方差公式：
$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x+3)(2x-3)$
(2) 先提取公因式$a$，再对剩余三项套用完全平方公式：
$ay^2-2ay+a=a(y^2-2y+1)=a(y-1)^2$
【答案】
(1) $(2x+3)(2x-3)$；(2) $a(y-1)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要遵循“一提二套三查”的顺序，两项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式，最终要保证分解结果彻底，不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
12. 利用因式分解计算：
(1)$56.2×2\,026 - 462×202.6$；
(2)$800^{2} - 1\,600×798 + 798^{2}$。
(1)$56.2×2\,026 - 462×202.6$；
(2)$800^{2} - 1\,600×798 + 798^{2}$。
答案
12.解:(1)$56.2×2\ 026-462×202.6$
$=56.2×2\ 026-46.2×2\ 026$
$=(56.2-46.2)×2\ 026$
$=10×2\ 026$
$=20\ 260.$
(2)$800^2-1\ 600×798+798^2$
$=800^2-2×800×798+798^2$
$=(800-798)^2$
$=2^2$
$=4.$
$=56.2×2\ 026-46.2×2\ 026$
$=(56.2-46.2)×2\ 026$
$=10×2\ 026$
$=20\ 260.$
(2)$800^2-1\ 600×798+798^2$
$=800^2-2×800×798+798^2$
$=(800-798)^2$
$=2^2$
$=4.$
解析
【分析】
(1)观察式子可发现两项中分别含因数2026和202.6，可利用积不变的规律将两个因数转化为相同的2026，再提取公因式进行简便计算；(2)观察式子结构，存在两个平方项，且中间项可转化为两个底数乘积的2倍，符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式因式分解后计算，大幅降低计算量。
【解析】
(1) $56.2×2026 - 462×202.6$
$=56.2×2026 - 46.2×2026$
$=(56.2 - 46.2)×2026$
$=10×2026$
$=20260$
(2) $800^2 - 1600×798 + 798^2$
$=800^2 - 2×800×798 + 798^2$
$=(800 - 798)^2$
$=2^2$
$=4$
【答案】
(1) $\boxed{20260}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
提取公因式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于利用因式分解简便计算的常规题型，解题核心是先观察式子的数字特征和结构特征，选择对应的因式分解方法，避免直接硬算导致的计算失误。
【难度系数】
0.8
(1)观察式子可发现两项中分别含因数2026和202.6，可利用积不变的规律将两个因数转化为相同的2026，再提取公因式进行简便计算；(2)观察式子结构，存在两个平方项，且中间项可转化为两个底数乘积的2倍，符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式因式分解后计算，大幅降低计算量。
【解析】
(1) $56.2×2026 - 462×202.6$
$=56.2×2026 - 46.2×2026$
$=(56.2 - 46.2)×2026$
$=10×2026$
$=20260$
(2) $800^2 - 1600×798 + 798^2$
$=800^2 - 2×800×798 + 798^2$
$=(800 - 798)^2$
$=2^2$
$=4$
【答案】
(1) $\boxed{20260}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
提取公因式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于利用因式分解简便计算的常规题型，解题核心是先观察式子的数字特征和结构特征，选择对应的因式分解方法，避免直接硬算导致的计算失误。
【难度系数】
0.8
13. 先因式分解，再计算求值：
(1)$a(a-2)-6(a-2)$，其中$a=3$；
(2)$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$，其中$a=\frac{1}{5},b=-1$。
(1)$a(a-2)-6(a-2)$，其中$a=3$；
(2)$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$，其中$a=\frac{1}{5},b=-1$。
答案
13.解:(1)$a(a-2)-6(a-2)$
$=(a-2)(a-6).$
$\because a=3,$
$\therefore$原式$=(3-2)(3-6)=-3.$
(2)$9(a-b)^2-4(a+b)^2$
$=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]$
$=(3a-3b+2a+2b)(3a-3b-2a-2b)$
$=(5a-b)(a-5b),$
当$a=\frac{1}{5},b=-1$时,
原式$=[5×\frac{1}{5}-(-1)]×[\frac{1}{5}-5×(-1)]$
$=2×\frac{26}{5}$
$=\frac{52}{5}.$
$=(a-2)(a-6).$
$\because a=3,$
$\therefore$原式$=(3-2)(3-6)=-3.$
(2)$9(a-b)^2-4(a+b)^2$
$=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]$
$=(3a-3b+2a+2b)(3a-3b-2a-2b)$
$=(5a-b)(a-5b),$
当$a=\frac{1}{5},b=-1$时,
原式$=[5×\frac{1}{5}-(-1)]×[\frac{1}{5}-5×(-1)]$
$=2×\frac{26}{5}$
$=\frac{52}{5}.$
解析
【分析】
本题分为两小问，均为先因式分解再代入求值：
(1) 观察式子结构，两项都含有公因式$(a-2)$，优先用提公因式法分解因式，分解后直接代入$a=3$计算即可，无需展开原式，可简化计算过程。
(2) 观察式子$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$，可变形为$[3(a-b)]^2 - [2(a+b)]^2$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，因此用平方差公式因式分解，再对分解后的式子化简，最后代入$a$、$b$的数值计算结果。
【解析】
(1) 对$a(a-2)-6(a-2)$因式分解：
提取公因式$(a-2)$，得：
$a(a-2)-6(a-2)=(a-2)(a-6)$
将$a=3$代入上式：
原式$=(3-2)×(3-6)=1×(-3)=-3$
(2) 对$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$因式分解：
将式子变形为平方差形式：
$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2=[3(a-b)]^2 - [2(a+b)]^2$
根据平方差公式分解：
$=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]$
去括号、合并同类项化简：
$=(3a-3b+2a+2b)(3a-3b-2a-2b)$
$=(5a-b)(a-5b)$
将$a=\frac{1}{5},b=-1$代入上式：
原式$=[5×\frac{1}{5}-(-1)]×[\frac{1}{5}-5×(-1)]$
$=(1+1)×(\frac{1}{5}+5)$
$=2×\frac{26}{5}=\frac{52}{5}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{52}{5}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题的关键是准确识别式子的结构特征，选择合适的因式分解方法，分解后化简再代入数值能大幅降低计算量，计算时要注意符号处理，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，均为先因式分解再代入求值：
(1) 观察式子结构，两项都含有公因式$(a-2)$，优先用提公因式法分解因式，分解后直接代入$a=3$计算即可，无需展开原式，可简化计算过程。
(2) 观察式子$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$，可变形为$[3(a-b)]^2 - [2(a+b)]^2$，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，因此用平方差公式因式分解，再对分解后的式子化简，最后代入$a$、$b$的数值计算结果。
【解析】
(1) 对$a(a-2)-6(a-2)$因式分解：
提取公因式$(a-2)$，得：
$a(a-2)-6(a-2)=(a-2)(a-6)$
将$a=3$代入上式：
原式$=(3-2)×(3-6)=1×(-3)=-3$
(2) 对$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2$因式分解：
将式子变形为平方差形式：
$9(a-b)^2 - 4(a+b)^2=[3(a-b)]^2 - [2(a+b)]^2$
根据平方差公式分解：
$=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]$
去括号、合并同类项化简：
$=(3a-3b+2a+2b)(3a-3b-2a-2b)$
$=(5a-b)(a-5b)$
将$a=\frac{1}{5},b=-1$代入上式：
原式$=[5×\frac{1}{5}-(-1)]×[\frac{1}{5}-5×(-1)]$
$=(1+1)×(\frac{1}{5}+5)$
$=2×\frac{26}{5}=\frac{52}{5}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{52}{5}}$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题的关键是准确识别式子的结构特征，选择合适的因式分解方法，分解后化简再代入数值能大幅降低计算量，计算时要注意符号处理，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
14.下面是小明同学进行因式分解的过程,请认真阅读并完成相应任务.
因式分解:$(3a+b)^2-(a+3b)^2$.
解:原式$=(9a^2+6ab+b^2)-(a^2+6ab+9b^2)$ 第一步
$=8a^2-8b^2$ 第二步
$=8(a^2-b^2)$. 第三步
任务:
(1)填空:以上解题过程中,第三步进行因式分解用到的方法是
(2)在同桌互查过程中,小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的,具体错误是
(3)在小组交流过程中,大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解,请你按照这样的思路完成因式分解过程.
因式分解:$(3a+b)^2-(a+3b)^2$.
解:原式$=(9a^2+6ab+b^2)-(a^2+6ab+9b^2)$ 第一步
$=8a^2-8b^2$ 第二步
$=8(a^2-b^2)$. 第三步
任务:
(1)填空:以上解题过程中,第三步进行因式分解用到的方法是
提公因式
法;(2)在同桌互查过程中,小明的同桌指出小明的因式分解结果是错误的,具体错误是
因式分解的结果不彻底，其中$a^2-b^2$应继续进行因式分解
;(3)在小组交流过程中,大家发现这道题可以先运用公式法进行因式分解,请你按照这样的思路完成因式分解过程.
答案
14.解:(1)第三步中把8提取出来,并将其作为公因式,因此用到的方法为提公因式法,故答案为提公因式.
(2)第三步中未对$a^2-b^2$进行因式分解,应该利用平方差公式对其展开为$(a+b)(a-b)$,故答案为因式分解的结果不彻底,其中$a^2-b^2$应继续进行因式分解.
(3)$(3a+b)^2-(a+3b)^2$
$=(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)$
$=(4a+4b)(2a-2b)$
$=8(a+b)(a-b).$
(2)第三步中未对$a^2-b^2$进行因式分解,应该利用平方差公式对其展开为$(a+b)(a-b)$,故答案为因式分解的结果不彻底,其中$a^2-b^2$应继续进行因式分解.
(3)$(3a+b)^2-(a+3b)^2$
$=(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)$
$=(4a+4b)(2a-2b)$
$=8(a+b)(a-b).$
解析
【分析】
（1）判断第三步的因式分解方法时，先观察第三步的变形特征：从$8a^2-8b^2$到$8(a^2-b^2)$，是将两项共有的公因式8提取出来，符合提公因式法的定义，即可得出结论。
（2）回忆因式分解的基本要求：分解结果必须保证每一个多项式因式都不能再分解为止。观察小明的结果，其中$a^2-b^2$还可利用平方差公式继续分解，据此可得出错误原因。
（3）原式是两个整式的平方差形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构特征，可先将$3a+b$和$a+3b$看作整体直接套用平方差公式，再对得到的因式合并同类项、提取公因式，最终得到彻底分解的结果。
【解析】
（1）第三步将公因式8从多项式中提取出来，因此用到的因式分解方法是提公因式法。
（2）因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止，小明的结果中$a^2-b^2$还可以分解为$(a+b)(a-b)$，因此错误为因式分解结果不彻底，$a^2-b^2$没有继续分解。
（3）运用平方差公式分解的过程如下：
$\begin{aligned}&(3a+b)^2-(a+3b)^2\\=&(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)\\=&(4a+4b)(2a-2b)\\=&8(a+b)(a-b)\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式
(2) 因式分解的结果不彻底，其中$a^2-b^2$应继续进行因式分解
(3) 因式分解结果为$8(a+b)(a-b)$，分解过程为：$(3a+b)^2-(a+3b)^2=(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)=(4a+4b)(2a-2b)=8(a+b)(a-b)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的基本要求
【点评】
本题围绕因式分解的核心知识点设计，既考查了对基础分解方法的识别能力，也强化了因式分解要分解彻底的原则，同时引导学生观察式子结构特征，选择更简便的公式法解题，能有效提升学生灵活运算的能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断第三步的因式分解方法时，先观察第三步的变形特征：从$8a^2-8b^2$到$8(a^2-b^2)$，是将两项共有的公因式8提取出来，符合提公因式法的定义，即可得出结论。
（2）回忆因式分解的基本要求：分解结果必须保证每一个多项式因式都不能再分解为止。观察小明的结果，其中$a^2-b^2$还可利用平方差公式继续分解，据此可得出错误原因。
（3）原式是两个整式的平方差形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构特征，可先将$3a+b$和$a+3b$看作整体直接套用平方差公式，再对得到的因式合并同类项、提取公因式，最终得到彻底分解的结果。
【解析】
（1）第三步将公因式8从多项式中提取出来，因此用到的因式分解方法是提公因式法。
（2）因式分解需要分解到每个因式都不能再分解为止，小明的结果中$a^2-b^2$还可以分解为$(a+b)(a-b)$，因此错误为因式分解结果不彻底，$a^2-b^2$没有继续分解。
（3）运用平方差公式分解的过程如下：
$\begin{aligned}&(3a+b)^2-(a+3b)^2\\=&(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)\\=&(4a+4b)(2a-2b)\\=&8(a+b)(a-b)\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式
(2) 因式分解的结果不彻底，其中$a^2-b^2$应继续进行因式分解
(3) 因式分解结果为$8(a+b)(a-b)$，分解过程为：$(3a+b)^2-(a+3b)^2=(3a+b+a+3b)(3a+b-a-3b)=(4a+4b)(2a-2b)=8(a+b)(a-b)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解的基本要求
【点评】
本题围绕因式分解的核心知识点设计，既考查了对基础分解方法的识别能力，也强化了因式分解要分解彻底的原则，同时引导学生观察式子结构特征，选择更简便的公式法解题，能有效提升学生灵活运算的能力。
【难度系数】
0.7
