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15. 利用提公因式法计算$(-5)^{2026}+(-5)^{2027}$，结果是 （
A.$-4×5^{2026}$
B.$4×(-5)^{2026}$
C.$-4×5^{2027}$
D.$4×(-5)^{2027}$
A
）A.$-4×5^{2026}$
B.$4×(-5)^{2026}$
C.$-4×5^{2027}$
D.$4×(-5)^{2027}$
答案
15.A
解析
【分析】
观察待计算的式子，两项的底数均为-5，指数分别为相邻的2026和2027，适合用提公因式法计算。首先确定公因式为指数更低的$(-5)^{2026}$，提取公因式后先计算括号内的和，再结合负数偶次幂的符号性质化简，最后对照选项得到答案即可。
【解析】
解：对$(-5)^{2026}+(-5)^{2027}$提取公因式$(-5)^{2026}$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(-5)^{2026}×1 + (-5)^{2026}×(-5)\\&=(-5)^{2026}×[1+(-5)]\\&=(-5)^{2026}×(-4)\end{aligned}$
根据负数的偶次幂是正数，可得$(-5)^{2026}=5^{2026}$，代入上式得：
$原式=5^{2026}×(-4)=-4×5^{2026}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，有理数乘方的性质，同底数幂的运算
【点评】
本题是幂运算与因式分解结合的基础计算题，解题核心是准确找出公因式，同时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
观察待计算的式子，两项的底数均为-5，指数分别为相邻的2026和2027，适合用提公因式法计算。首先确定公因式为指数更低的$(-5)^{2026}$，提取公因式后先计算括号内的和，再结合负数偶次幂的符号性质化简，最后对照选项得到答案即可。
【解析】
解：对$(-5)^{2026}+(-5)^{2027}$提取公因式$(-5)^{2026}$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(-5)^{2026}×1 + (-5)^{2026}×(-5)\\&=(-5)^{2026}×[1+(-5)]\\&=(-5)^{2026}×(-4)\end{aligned}$
根据负数的偶次幂是正数，可得$(-5)^{2026}=5^{2026}$，代入上式得：
$原式=5^{2026}×(-4)=-4×5^{2026}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，有理数乘方的性质，同底数幂的运算
【点评】
本题是幂运算与因式分解结合的基础计算题，解题核心是准确找出公因式，同时要注意负数乘方的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
16.如图,长、宽分别为a,b的长方形的周长为22,面积为18,则$a^2b+ab^2$的值为 （
A.198
B.216
C.252
D.396
A
）A.198
B.216
C.252
D.396
答案
16.A
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，可通过提公因式对其因式分解，将其转化为含$ab$和$a+b$的形式；再根据长方形的周长和面积公式分别求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
已知长方形周长为22，面积为18，根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得$2(a+b)=22$，解得$a+b=11$；
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$ab=18$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$a+b=11$，$ab=18$代入上式得：
$ab(a+b)=18×11=198$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查因式分解的实际应用，通过整体代入的思想避免了求解单个未知数的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，可通过提公因式对其因式分解，将其转化为含$ab$和$a+b$的形式；再根据长方形的周长和面积公式分别求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
已知长方形周长为22，面积为18，根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，可得$2(a+b)=22$，解得$a+b=11$；
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$ab=18$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$a+b=11$，$ab=18$代入上式得：
$ab(a+b)=18×11=198$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查因式分解的实际应用，通过整体代入的思想避免了求解单个未知数的繁琐过程，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
17.已知$2^{64}-1$可以被10至20之间的两个整数整除,这两个整数是（
A.13,14
B.15,16
C.16,17
D.15,17
D
）A.13,14
B.15,16
C.16,17
D.15,17
答案
17.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要通过因式分解将$2^{64}-1$转化为多个整式乘积的形式，再从中筛选出10~20之间的整数因数。观察$2^{64}-1$的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此我们可以反复使用平方差公式对其分解，直到得到符合取值范围的因数即可。
【解析】
对$2^{64}-1$多次运用平方差公式分解：
$\begin{aligned}2^{64}-1&=(2^{32})^2-1^2\\&=(2^{32}+1)(2^{32}-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^{16}-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)\end{aligned}$
计算可得$2^4+1=17$，$2^4-1=15$，两个数都在10~20的范围内，因此这两个整数是15和17。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解解决整除类问题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过多次套用公式分解代数式，即可快速找到符合要求的因数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要通过因式分解将$2^{64}-1$转化为多个整式乘积的形式，再从中筛选出10~20之间的整数因数。观察$2^{64}-1$的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此我们可以反复使用平方差公式对其分解，直到得到符合取值范围的因数即可。
【解析】
对$2^{64}-1$多次运用平方差公式分解：
$\begin{aligned}2^{64}-1&=(2^{32})^2-1^2\\&=(2^{32}+1)(2^{32}-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^{16}-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1)\\&=(2^{32}+1)(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)\end{aligned}$
计算可得$2^4+1=17$，$2^4-1=15$，两个数都在10~20的范围内，因此这两个整数是15和17。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解解决整除类问题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过多次套用公式分解代数式，即可快速找到符合要求的因数。
【难度系数】
0.7
18.定义:如果一个正整数能表示为两个正整数$ m,n $的平方差,且$ m-n=1 $,那么称这个正整数为“聪明数”.例如,$ 9=5^2 - 4^2 $,9就是一个“聪明数”.
(1)若将“聪明数”从小到大排列,则第3个“聪明数”是
(2)在小于100的正整数中,共有
(1)若将“聪明数”从小到大排列,则第3个“聪明数”是
7
;(2)在小于100的正整数中,共有
49
个“聪明数”.答案
18.(1)7 (2)49
解析
【分析】首先根据“聪明数”的定义，结合平方差公式推导聪明数的一般形式：已知m、n为正整数且m-n=1，可得m=n+1，代入平方差公式化简后，可得出所有聪明数都是大于等于3的奇数。接下来(1)按从小到大排列聪明数，数出第3个即可；(2)找出小于100的正整数中符合要求的奇数个数即可。
【解析】
首先推导聪明数的表达式：
由题意，m、n是正整数，且$m-n=1$，即$m=n+1$。
根据平方差公式：
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) = 1×(m+n) = (n+1)+n = 2n+1$，其中$n$为正整数，即$n≥1$。
因此所有“聪明数”都是形如$2n+1$（$n≥1$）的正整数，也就是大于等于3的奇数。
(1) 从小到大排列聪明数：
$n=1$时，$2×1+1=3$（第1个聪明数）
$n=2$时，$2×2+1=5$（第2个聪明数）
$n=3$时，$2×3+1=7$（第3个聪明数）
(2) 求小于100的正整数中的聪明数个数：
聪明数满足$2n+1 ＜ 100$，且$n≥1$（$n$为正整数）
解不等式$2n+1 ＜100$，得$2n ＜99$，$n＜49.5$
因为$n$是正整数且$n≥1$，所以$n$可取1、2、……、49，共49个取值，对应49个聪明数。
【答案】(1)7；(2)49
【知识点】平方差公式，新定义运算，一元一次不等式应用
【点评】本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的规则，结合已学的平方差公式将陌生的“聪明数”转化为熟悉的代数式，再根据要求计算即可，重点考察对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
首先推导聪明数的表达式：
由题意，m、n是正整数，且$m-n=1$，即$m=n+1$。
根据平方差公式：
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) = 1×(m+n) = (n+1)+n = 2n+1$，其中$n$为正整数，即$n≥1$。
因此所有“聪明数”都是形如$2n+1$（$n≥1$）的正整数，也就是大于等于3的奇数。
(1) 从小到大排列聪明数：
$n=1$时，$2×1+1=3$（第1个聪明数）
$n=2$时，$2×2+1=5$（第2个聪明数）
$n=3$时，$2×3+1=7$（第3个聪明数）
(2) 求小于100的正整数中的聪明数个数：
聪明数满足$2n+1 ＜ 100$，且$n≥1$（$n$为正整数）
解不等式$2n+1 ＜100$，得$2n ＜99$，$n＜49.5$
因为$n$是正整数且$n≥1$，所以$n$可取1、2、……、49，共49个取值，对应49个聪明数。
【答案】(1)7；(2)49
【知识点】平方差公式，新定义运算，一元一次不等式应用
【点评】本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解新定义的规则，结合已学的平方差公式将陌生的“聪明数”转化为熟悉的代数式，再根据要求计算即可，重点考察对新知识的迁移应用能力。
【难度系数】0.7
19.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解.例如:利用图1可以得到$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.
(1)请根据图2将多项式$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$因式分解:
$\underline{\hspace{15cm}}$;(直接列出等式即可)
(2)如图3,有足够数量的边长分别为$a,b$的正方形纸片和长为$b$、宽为$a$的长方形纸片,请利用这些纸片将多项式$2a^2+5ab+3b^2$进行因式分解;
(3)若$x,y,z$为实数,$2x+y+z=11,4x^2+y^2+z^2=100$,利用(1)的结论求$2xy+2xz+yz$的值.
(1)请根据图2将多项式$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$因式分解:
$\underline{\hspace{15cm}}$;(直接列出等式即可)
(2)如图3,有足够数量的边长分别为$a,b$的正方形纸片和长为$b$、宽为$a$的长方形纸片,请利用这些纸片将多项式$2a^2+5ab+3b^2$进行因式分解;
(3)若$x,y,z$为实数,$2x+y+z=11,4x^2+y^2+z^2=100$,利用(1)的结论求$2xy+2xz+yz$的值.
答案
19.解:(1)$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$
(2)将2块小正方形纸片、3块大正方形纸片以及5块长方形纸片摆成一个大长方形,如图.
$\therefore 2a^2+5ab+3b^2=(2a+3b)(a+b).$
(3)由(1)得$(2x)^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=(2x+y+z)^2,$
$\therefore (4x^2+y^2+z^2)+2(2xy+2xz+yz)=(2x+y+z)^2.$
又$2x+y+z=11,4x^2+y^2+z^2=100,$
$\therefore 100+2(2xy+2xz+yz)=11^2,$
$\therefore 2xy+2xz+yz=\frac{21}{2}.$
解析
【分析】
(1) 观察图2可知，大正方形的边长为$a+b+c$，其面积可直接表示为边长的平方；同时大正方形的面积等于内部所有小正方形、小长方形的面积之和，两种方式表示的面积相等，即可得到因式分解的结果。
(2) 把多项式$2a^2+5ab+3b^2$看作长方形的面积，面积等于长×宽，先拆分多项式得到两个一次因式，再用对应数量的图3的纸片拼出长方形，即可验证因式分解的结果。
(3) 利用(1)的三项完全平方和公式，将$2x$看作整体替换公式中的$a$，$y$、$z$分别对应公式中的$b$、$c$，代入公式后把已知数值整体代入计算，即可求出目标代数式的值。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b+c$，因此面积为$(a+b+c)^2$；将大正方形拆分为9个小图形，面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，根据面积相等即可得到因式分解的等式。
(2) 多项式$2a^2+5ab+3b^2$为拼接后大长方形的面积，通过拆分可得两个一次因式为$2a+3b$和$a+b$，即大长方形的长为$2a+3b$、宽为$a+b$，使用2块边长为$a$的正方形、3块边长为$b$的正方形、5块长$b$宽$a$的长方形即可拼成该长方形。
(3) 由(1)的结论，将$a=2x$、$b=y$、$c=z$代入三项完全平方和公式，可得：
$(2x+y+z)^2=(2x)^2+y^2+z^2+2(2x· y + 2x· z + y· z)$
整理得：$(2x+y+z)^2=4x^2+y^2+z^2+2(2xy+2xz+yz)$
把$2x+y+z=11$，$4x^2+y^2+z^2=100$代入上式：
$11^2=100+2(2xy+2xz+yz)$
即$121=100+2(2xy+2xz+yz)$
移项计算得：$2(2xy+2xz+yz)=21$，因此$2xy+2xz+yz=\frac{21}{2}$。
【答案】
(1)$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$
(2)将2块小正方形纸片、3块大正方形纸片以及5块长方形纸片摆成一个大长方形,如图.
$\therefore 2a^2+5ab+3b^2=(2a+3b)(a+b).$
(3)$\frac{21}{2}$
【知识点】
三项完全平方公式，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查数形结合思想的应用，既需要理解因式分解的几何意义，也要求能灵活对公式进行变形、运用整体思想求解代数式的值，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图2可知，大正方形的边长为$a+b+c$，其面积可直接表示为边长的平方；同时大正方形的面积等于内部所有小正方形、小长方形的面积之和，两种方式表示的面积相等，即可得到因式分解的结果。
(2) 把多项式$2a^2+5ab+3b^2$看作长方形的面积，面积等于长×宽，先拆分多项式得到两个一次因式，再用对应数量的图3的纸片拼出长方形，即可验证因式分解的结果。
(3) 利用(1)的三项完全平方和公式，将$2x$看作整体替换公式中的$a$，$y$、$z$分别对应公式中的$b$、$c$，代入公式后把已知数值整体代入计算，即可求出目标代数式的值。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b+c$，因此面积为$(a+b+c)^2$；将大正方形拆分为9个小图形，面积和为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，根据面积相等即可得到因式分解的等式。
(2) 多项式$2a^2+5ab+3b^2$为拼接后大长方形的面积，通过拆分可得两个一次因式为$2a+3b$和$a+b$，即大长方形的长为$2a+3b$、宽为$a+b$，使用2块边长为$a$的正方形、3块边长为$b$的正方形、5块长$b$宽$a$的长方形即可拼成该长方形。
(3) 由(1)的结论，将$a=2x$、$b=y$、$c=z$代入三项完全平方和公式，可得：
$(2x+y+z)^2=(2x)^2+y^2+z^2+2(2x· y + 2x· z + y· z)$
整理得：$(2x+y+z)^2=4x^2+y^2+z^2+2(2xy+2xz+yz)$
把$2x+y+z=11$，$4x^2+y^2+z^2=100$代入上式：
$11^2=100+2(2xy+2xz+yz)$
即$121=100+2(2xy+2xz+yz)$
移项计算得：$2(2xy+2xz+yz)=21$，因此$2xy+2xz+yz=\frac{21}{2}$。
【答案】
(1)$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$
(2)将2块小正方形纸片、3块大正方形纸片以及5块长方形纸片摆成一个大长方形,如图.
$\therefore 2a^2+5ab+3b^2=(2a+3b)(a+b).$
(3)$\frac{21}{2}$
【知识点】
三项完全平方公式，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查数形结合思想的应用，既需要理解因式分解的几何意义，也要求能灵活对公式进行变形、运用整体思想求解代数式的值，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
