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15.小亮和同学利用周末去某公园爬山,已知他们上山的速度为$v_1$ m/s,下山的速度为$v_2$ m/s,若他们上山和下山所走的路程相同,则他们爬山的平均速度为 （
A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ m/s
B.$\dfrac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$ m/s
C.$\dfrac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ m/s
D.$\dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ m/s
D
）A.$\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ m/s
B.$\dfrac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$ m/s
C.$\dfrac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ m/s
D.$\dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ m/s
答案
15.D
解析
【分析】
要计算爬山的平均速度，首先需明确平均速度的定义是总路程与总时间的比值，而非两个速度的算术平均值，注意避开“直接取速度平均值”的误区。本题中上山和下山路程相同，我们可以先设单趟路程为$s$，分别表示出上山、下山的时间，再结合平均速度公式代入化简即可求解。
【解析】
设上山和下山的路程均为$ s $ m，根据“时间=路程÷速度”可得：
上山所用时间$ t_1=\frac{s}{v_1} $ s，
下山所用时间$ t_2=\frac{s}{v_2} $ s，
则全程总路程为$ s+s=2s $ m，总时间为$ t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2} $ s。
根据平均速度公式$ v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，代入得：
$ v=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{sv_2+sv_1}{v_1v_2}}=\frac{2s· v_1v_2}{s(v_1+v_2)}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} $ m/s。
【答案】
D
【知识点】
1.平均速度的计算 2.分式的化简运算
【点评】
本题是行程类的常见题型，易错点是误将平均速度等同于两个速度的算术平均值，解题核心是牢牢抓住平均速度“总路程除以总时间”的本质，结合分式运算化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要计算爬山的平均速度，首先需明确平均速度的定义是总路程与总时间的比值，而非两个速度的算术平均值，注意避开“直接取速度平均值”的误区。本题中上山和下山路程相同，我们可以先设单趟路程为$s$，分别表示出上山、下山的时间，再结合平均速度公式代入化简即可求解。
【解析】
设上山和下山的路程均为$ s $ m，根据“时间=路程÷速度”可得：
上山所用时间$ t_1=\frac{s}{v_1} $ s，
下山所用时间$ t_2=\frac{s}{v_2} $ s，
则全程总路程为$ s+s=2s $ m，总时间为$ t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2} $ s。
根据平均速度公式$ v=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，代入得：
$ v=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2s}{\frac{sv_2+sv_1}{v_1v_2}}=\frac{2s· v_1v_2}{s(v_1+v_2)}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} $ m/s。
【答案】
D
【知识点】
1.平均速度的计算 2.分式的化简运算
【点评】
本题是行程类的常见题型，易错点是误将平均速度等同于两个速度的算术平均值，解题核心是牢牢抓住平均速度“总路程除以总时间”的本质，结合分式运算化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ B=90°,BC=5$,将$△ ABC$沿中位线$DE$剪开后,把得到的两部分拼成平行四边形,所得平行四边形的周长是 （
A.$15+5\sqrt{3}$
B.$10+5\sqrt{3}$
C.$15+5\sqrt{3}$或$20$
D.$10+5\sqrt{3}$或$20$
D
）A.$15+5\sqrt{3}$
B.$10+5\sqrt{3}$
C.$15+5\sqrt{3}$或$20$
D.$10+5\sqrt{3}$或$20$
答案
16.D
解析
【分析】
解题时先根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的三边长，再结合三角形中位线定理得到剪开后两部分的各边长度，最后分两种不同的拼接方式计算平行四边形的周长即可。注意拼接时要考虑所有可能的重合边，避免漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，$BC=5$：
1. 求$△ ABC$各边长：
根据“30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得$AC=2BC=10$；
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
2. 根据中位线性质得各线段长：
因为$DE$是$△ ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$AE=EC=\frac{1}{2}AC=5$。
3. 分两种情况拼接计算周长：
情况一：将$△ ADE$的$AE$边与$EC$边重合拼接，得到的平行四边形两组对边长分别为5和5，周长为$2×(5+5)=20$；
情况二：将$△ ADE$的$AD$边与$DB$边重合拼接，得到的平行四边形两组对边长分别为5和$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，周长为$2×(5+\frac{5\sqrt{3}}{2})=10+5\sqrt{3}$。
综上，所得平行四边形的周长为$10+5\sqrt{3}$或$20$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，三角形中位线定理，平行四边形周长计算
【点评】
本题考查三角形相关性质与图形拼接的结合，核心易错点是容易遗漏其中一种拼接方式，解题时需要对拼接的重合边进行分类讨论，确保不遗漏所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的三边长，再结合三角形中位线定理得到剪开后两部分的各边长度，最后分两种不同的拼接方式计算平行四边形的周长即可。注意拼接时要考虑所有可能的重合边，避免漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，$BC=5$：
1. 求$△ ABC$各边长：
根据“30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得$AC=2BC=10$；
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
2. 根据中位线性质得各线段长：
因为$DE$是$△ ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$AE=EC=\frac{1}{2}AC=5$。
3. 分两种情况拼接计算周长：
情况一：将$△ ADE$的$AE$边与$EC$边重合拼接，得到的平行四边形两组对边长分别为5和5，周长为$2×(5+5)=20$；
情况二：将$△ ADE$的$AD$边与$DB$边重合拼接，得到的平行四边形两组对边长分别为5和$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，周长为$2×(5+\frac{5\sqrt{3}}{2})=10+5\sqrt{3}$。
综上，所得平行四边形的周长为$10+5\sqrt{3}$或$20$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，三角形中位线定理，平行四边形周长计算
【点评】
本题考查三角形相关性质与图形拼接的结合，核心易错点是容易遗漏其中一种拼接方式，解题时需要对拼接的重合边进行分类讨论，确保不遗漏所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
17.如图,在平面直角坐标系中,$□ ABCO$ 的边 $OC$ 落在 $x$ 轴的正半轴上,且点 $C(5,0),B(8,4)$,直线 $y=2x+1$ 以每秒 1 个单位长度的速度向下平移,经过
$7$
s,该直线平分$□ ABCO$ 的面积.答案
17.$7$
解析
【分析】
平行四边形是中心对称图形，过其对称中心的直线一定能平分平行四边形的面积，因此我们可以按以下思路解题：第一步先求平行四边形ABCO的对称中心坐标；第二步根据一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移t秒后的直线解析式；第三步将对称中心坐标代入平移后的解析式，解方程得到t的值，即为所求时间。
【解析】
1. 求平行四边形的对称中心：平行四边形的对称中心是对角线的中点，已知$O(0,0)$，$B(8,4)$，根据中点坐标公式，对角线$OB$的中点坐标为$(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+4}{2})=(4,2)$，即平行四边形的对称中心为$(4,2)$。
2. 设平移时间为$t$秒，直线$y=2x+1$向下平移$t$个单位后，解析式为$y=2x+1-t$。
3. 平移后的直线平分平行四边形面积，因此它过对称中心$(4,2)$，将$x=4,y=2$代入解析式：
$\begin{aligned}2&=2×4+1-t\\2&=9-t\\t&=7\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
平行四边形的性质；一次函数图象平移；中点坐标计算
【点评】
本题将平行四边形性质和一次函数平移结合考察，解题核心是抓住“平分中心对称图形面积的直线必过其对称中心”这一结论，再结合一次函数平移规律列方程求解，逻辑清晰，属于综合基础题。
【难度系数】
0.6
平行四边形是中心对称图形，过其对称中心的直线一定能平分平行四边形的面积，因此我们可以按以下思路解题：第一步先求平行四边形ABCO的对称中心坐标；第二步根据一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移t秒后的直线解析式；第三步将对称中心坐标代入平移后的解析式，解方程得到t的值，即为所求时间。
【解析】
1. 求平行四边形的对称中心：平行四边形的对称中心是对角线的中点，已知$O(0,0)$，$B(8,4)$，根据中点坐标公式，对角线$OB$的中点坐标为$(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+4}{2})=(4,2)$，即平行四边形的对称中心为$(4,2)$。
2. 设平移时间为$t$秒，直线$y=2x+1$向下平移$t$个单位后，解析式为$y=2x+1-t$。
3. 平移后的直线平分平行四边形面积，因此它过对称中心$(4,2)$，将$x=4,y=2$代入解析式：
$\begin{aligned}2&=2×4+1-t\\2&=9-t\\t&=7\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
平行四边形的性质；一次函数图象平移；中点坐标计算
【点评】
本题将平行四边形性质和一次函数平移结合考察，解题核心是抓住“平分中心对称图形面积的直线必过其对称中心”这一结论，再结合一次函数平移规律列方程求解，逻辑清晰，属于综合基础题。
【难度系数】
0.6
18.主题学习:探究平移、轴对称、旋转变换之间的关系.
如图,已知方格纸中每个小正方形的边长都是1.
(1)在图1中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线b对称的三角形Ⅲ,是否能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换得到三角形Ⅲ?如果能,请写出平移的方法;如果不能,请说明理由.
(2)在图2中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线c对称的三角形Ⅲ,是否能够将三角形Ⅰ通过一次旋转变换得到三角形Ⅲ?如果能,请写出旋转的方法;如果不能,请说明理由.
如图,已知方格纸中每个小正方形的边长都是1.
(1)在图1中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线b对称的三角形Ⅲ,是否能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换得到三角形Ⅲ?如果能,请写出平移的方法;如果不能,请说明理由.
(2)在图2中画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ,再画出三角形Ⅱ关于直线c对称的三角形Ⅲ,是否能够将三角形Ⅰ通过一次旋转变换得到三角形Ⅲ?如果能,请写出旋转的方法;如果不能,请说明理由.
答案
18.解:(1)如图1.能.
可将三角形Ⅰ向右平移6个单位长度得到三角形Ⅲ.
(2)如图2.能.
三角形Ⅲ可以看成是将三角形Ⅰ绕点$O$顺时针旋转$90°$得到的(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，首先按照轴对称的作图要求，先画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线b对称的三角形Ⅲ。平移的特征是图形所有对应点向同一方向移动相同距离，因此观察三角形Ⅰ和Ⅲ的对应点位置变化，判断所有点的移动方向和距离是否一致即可。由于两次轴对称的对称轴a、b互相平行，两次轴对称的效果等价于一次平移，平移距离为两条对称轴间距的2倍。
(2) 解决第二问时，同样先完成两次轴对称的作图得到三角形Ⅲ。旋转的特征是图形所有对应点绕旋转中心转动相同角度，且对应点到旋转中心的距离相等，两条相交对称轴的交点就是旋转中心，旋转角为两条对称轴夹角的2倍，因此找到直线a、c的交点O，验证对应点与O连线的夹角和距离关系即可确定旋转参数。
【解析】
(1) ①分别找出三角形Ⅰ三个顶点关于直线a的对称点，顺次连接得到三角形Ⅱ；②再找出三角形Ⅱ三个顶点关于直线b的对称点，顺次连接得到三角形Ⅲ；③对比两个三角形的对应顶点：所有对应点的纵坐标没有变化，横坐标都增加了6，说明所有点都向右平移了6个单位，因此可以通过一次平移得到三角形Ⅲ。
(2) ①先画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ；②再画出三角形Ⅱ关于直线c对称的三角形Ⅲ；③观察图形可得：直线a和c的交点为O，三角形Ⅰ和Ⅲ的对应顶点到O的距离都相等，且对应顶点与O的连线的夹角均为90°，转动方向为顺时针，因此可以通过一次旋转变换得到三角形Ⅲ。
【答案】
(1) 能，可将三角形Ⅰ向右平移6个单位长度得到三角形Ⅲ；
(2) 能，三角形Ⅲ可以看成是将三角形Ⅰ绕点$O$顺时针旋转$90°$得到的(答案不唯一)；
作图如下：
【知识点】
轴对称的性质；平移变换；旋转变换
【点评】
本题结合操作实践探究几何全等变换之间的内在联系，既考查了三类变换的基本作图方法，又考查了对变换性质的理解，需要学生在动手作图的基础上总结规律，能够帮助学生建立几何变换的知识体系。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，首先按照轴对称的作图要求，先画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线b对称的三角形Ⅲ。平移的特征是图形所有对应点向同一方向移动相同距离，因此观察三角形Ⅰ和Ⅲ的对应点位置变化，判断所有点的移动方向和距离是否一致即可。由于两次轴对称的对称轴a、b互相平行，两次轴对称的效果等价于一次平移，平移距离为两条对称轴间距的2倍。
(2) 解决第二问时，同样先完成两次轴对称的作图得到三角形Ⅲ。旋转的特征是图形所有对应点绕旋转中心转动相同角度，且对应点到旋转中心的距离相等，两条相交对称轴的交点就是旋转中心，旋转角为两条对称轴夹角的2倍，因此找到直线a、c的交点O，验证对应点与O连线的夹角和距离关系即可确定旋转参数。
【解析】
(1) ①分别找出三角形Ⅰ三个顶点关于直线a的对称点，顺次连接得到三角形Ⅱ；②再找出三角形Ⅱ三个顶点关于直线b的对称点，顺次连接得到三角形Ⅲ；③对比两个三角形的对应顶点：所有对应点的纵坐标没有变化，横坐标都增加了6，说明所有点都向右平移了6个单位，因此可以通过一次平移得到三角形Ⅲ。
(2) ①先画出三角形Ⅰ关于直线a对称的三角形Ⅱ；②再画出三角形Ⅱ关于直线c对称的三角形Ⅲ；③观察图形可得：直线a和c的交点为O，三角形Ⅰ和Ⅲ的对应顶点到O的距离都相等，且对应顶点与O的连线的夹角均为90°，转动方向为顺时针，因此可以通过一次旋转变换得到三角形Ⅲ。
【答案】
(1) 能，可将三角形Ⅰ向右平移6个单位长度得到三角形Ⅲ；
(2) 能，三角形Ⅲ可以看成是将三角形Ⅰ绕点$O$顺时针旋转$90°$得到的(答案不唯一)；
作图如下：
【知识点】
轴对称的性质；平移变换；旋转变换
【点评】
本题结合操作实践探究几何全等变换之间的内在联系，既考查了三类变换的基本作图方法，又考查了对变换性质的理解，需要学生在动手作图的基础上总结规律，能够帮助学生建立几何变换的知识体系。
【难度系数】
0.7
