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19. 已知$A=2a-7,B=a^2-4a+3,C=a^2+6a-28$，其中$a＞2$.
(1)比较$A$与$B$的大小.
(2)阅读下面对$B$分解因式的方法:$B=a^2-4a+3=a^2-4a+4-1=(a-2)^2-1=(a-2+1)(a-2-1)=(a-1)(a-3)$，请解决下列两个问题:
①仿照上述方法分解因式$x^2-4x-96$；
②比较$A$与$C$的大小.
(1)比较$A$与$B$的大小.
(2)阅读下面对$B$分解因式的方法:$B=a^2-4a+3=a^2-4a+4-1=(a-2)^2-1=(a-2+1)(a-2-1)=(a-1)(a-3)$，请解决下列两个问题:
①仿照上述方法分解因式$x^2-4x-96$；
②比较$A$与$C$的大小.
答案
19.解:(1)$\because B-A=a^2-4a+3-2a+7=a^2-6a+10=(a-3)^2+1＞0$,$\therefore B＞A$.
(2)①$x^2-4x-96=x^2-4x+4-100=(x-2)^2-10^2=(x-2+10)(x-2-10)=(x+8)(x-12)$.
②$C-A=a^2+6a-28-2a+7=a^2+4a-21=a^2+4a+4-21=(a+2)^2-5^2=(a+2+5)(a+2-5)=(a+7)(a-3)$,
$\because a＞2$,
$\therefore$当$2＜a＜3$时,$A＞C$;
当$a=3$时,$A=C$;
当$a＞3$时,$A＜C$.
(2)①$x^2-4x-96=x^2-4x+4-100=(x-2)^2-10^2=(x-2+10)(x-2-10)=(x+8)(x-12)$.
②$C-A=a^2+6a-28-2a+7=a^2+4a-21=a^2+4a+4-21=(a+2)^2-5^2=(a+2+5)(a+2-5)=(a+7)(a-3)$,
$\because a＞2$,
$\therefore$当$2＜a＜3$时,$A＞C$;
当$a=3$时,$A=C$;
当$a＞3$时,$A＜C$.
解析
【分析】
(1) 比较两个代数式大小优先选用作差法，将B与A作差后通过配方判断差的正负，若差为正则被减数更大，反之减数更大。
(2) ① 仿照题中给出的配方法因式分解思路，先将二次项、一次项组合凑出完全平方式，再将整体转化为平方差形式，最后用平方差公式分解即可。
② 仍采用作差法计算C与A的差，将差因式分解后，结合a＞2的已知条件分类讨论差的正负，即可判断A和C的大小关系。
【解析】
(1) 计算B与A的差：
$B-A=(a^2-4a+3)-(2a-7)=a^2-6a+10$
对差配方得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
∵ $(a-3)^2≥0$，
∴ $(a-3)^2+1≥1＞0$，即$B-A＞0$，因此$B＞A$。
(2) ① 对$x^2-4x-96$因式分解：
先凑完全平方：$x^2-4x-96=x^2-4x+4-100=(x-2)^2-10^2$
用平方差公式分解：$(x-2+10)(x-2-10)=(x+8)(x-12)$
② 计算C与A的差：
$C-A=(a^2+6a-28)-(2a-7)=a^2+4a-21$
对差配方因式分解：$a^2+4a-21=(a+2)^2-5^2=(a+7)(a-3)$
已知$a＞2$，则$a+7＞0$，差的正负由$a-3$决定：
当$2＜a＜3$时，$a-3＜0$，$C-A＜0$，即$A＞C$；
当$a=3$时，$a-3=0$，$C-A=0$，即$A=C$；
当$a＞3$时，$a-3＞0$，$C-A＞0$，即$A＜C$。
【答案】
(1) $B＞A$
(2) ① $(x+8)(x-12)$
② 当$2＜a＜3$时，$A＞C$；当$a=3$时，$A=C$；当$a＞3$时，$A＜C$
【知识点】
作差法比较大小，配方法，因式分解
【点评】
本题侧重考查代数式大小比较和因式分解的应用，作差法是比较两式大小的基础常用方法，配方法因式分解需熟练掌握凑完全平方的技巧，最后比较A与C大小时要结合给定的取值范围分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个代数式大小优先选用作差法，将B与A作差后通过配方判断差的正负，若差为正则被减数更大，反之减数更大。
(2) ① 仿照题中给出的配方法因式分解思路，先将二次项、一次项组合凑出完全平方式，再将整体转化为平方差形式，最后用平方差公式分解即可。
② 仍采用作差法计算C与A的差，将差因式分解后，结合a＞2的已知条件分类讨论差的正负，即可判断A和C的大小关系。
【解析】
(1) 计算B与A的差：
$B-A=(a^2-4a+3)-(2a-7)=a^2-6a+10$
对差配方得：$a^2-6a+10=(a-3)^2+1$
∵ $(a-3)^2≥0$，
∴ $(a-3)^2+1≥1＞0$，即$B-A＞0$，因此$B＞A$。
(2) ① 对$x^2-4x-96$因式分解：
先凑完全平方：$x^2-4x-96=x^2-4x+4-100=(x-2)^2-10^2$
用平方差公式分解：$(x-2+10)(x-2-10)=(x+8)(x-12)$
② 计算C与A的差：
$C-A=(a^2+6a-28)-(2a-7)=a^2+4a-21$
对差配方因式分解：$a^2+4a-21=(a+2)^2-5^2=(a+7)(a-3)$
已知$a＞2$，则$a+7＞0$，差的正负由$a-3$决定：
当$2＜a＜3$时，$a-3＜0$，$C-A＜0$，即$A＞C$；
当$a=3$时，$a-3=0$，$C-A=0$，即$A=C$；
当$a＞3$时，$a-3＞0$，$C-A＞0$，即$A＜C$。
【答案】
(1) $B＞A$
(2) ① $(x+8)(x-12)$
② 当$2＜a＜3$时，$A＞C$；当$a=3$时，$A=C$；当$a＞3$时，$A＜C$
【知识点】
作差法比较大小，配方法，因式分解
【点评】
本题侧重考查代数式大小比较和因式分解的应用，作差法是比较两式大小的基础常用方法，配方法因式分解需熟练掌握凑完全平方的技巧，最后比较A与C大小时要结合给定的取值范围分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
