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13. 如图，$△ ABO$与$△ CDO$关于点$O$成中心对称，点$E$，$F$在线段$AC$上，且$AF=CE$. 求证:$FD=BE$，$FD// BE$.
答案
13.证明:如图,连接$BF,DE$.
$\because △ ABO$与$△ CDO$关于点$O$成中心对称,
$\therefore OB=OD,OA=OC$.
$\because AF=CE,\therefore OF=OE$,
$\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形,
$\therefore FD=BE,FD// BE$.
解析
【分析】
要证明FD=BE且FD//BE，可利用平行四边形对边平行且相等的性质推导，因此只需证四边形BEDF是平行四边形即可。首先根据中心对称的性质，可得△ABO和△CDO的对应点连线被对称中心O平分，即OB=OD、OA=OC；再结合已知AF=CE，可推出OF=OE，此时四边形BEDF的对角线互相平分，即可判定其为平行四边形，进而得到待证结论。
【解析】
证明：如图，连接BF、DE。
∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，
∴OB=OD，OA=OC。
∵AF=CE，
∴OA - AF = OC - CE，即OF=OE，
∴四边形BEDF的对角线互相平分，为平行四边形，
∴根据平行四边形的性质可得FD=BE，FD//BE。
【答案】
证明:如图,连接$BF,DE$.
$\because △ ABO$与$△ CDO$关于点$O$成中心对称,
$\therefore OB=OD,OA=OC$.
$\because AF=CE,\therefore OF=OE$,
$\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形,
$\therefore FD=BE,FD// BE$.
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质得到边的数量关系和位置关系，侧重考查基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明FD=BE且FD//BE，可利用平行四边形对边平行且相等的性质推导，因此只需证四边形BEDF是平行四边形即可。首先根据中心对称的性质，可得△ABO和△CDO的对应点连线被对称中心O平分，即OB=OD、OA=OC；再结合已知AF=CE，可推出OF=OE，此时四边形BEDF的对角线互相平分，即可判定其为平行四边形，进而得到待证结论。
【解析】
证明：如图，连接BF、DE。
∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称，
∴OB=OD，OA=OC。
∵AF=CE，
∴OA - AF = OC - CE，即OF=OE，
∴四边形BEDF的对角线互相平分，为平行四边形，
∴根据平行四边形的性质可得FD=BE，FD//BE。
【答案】
证明:如图,连接$BF,DE$.
$\because △ ABO$与$△ CDO$关于点$O$成中心对称,
$\therefore OB=OD,OA=OC$.
$\because AF=CE,\therefore OF=OE$,
$\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形,
$\therefore FD=BE,FD// BE$.
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，通过添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质得到边的数量关系和位置关系，侧重考查基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
14.[新定义]阅读下列材料,并完成相应的任务.
定义:如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解,那么称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”.例如:方程$2x-4=0$的解为$x=2$,不等式组$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+2＞1 \end{cases}$的解集为$-1＜x＜3$,因为$-1＜2＜3$,所以方程$2x-4=0$是不等式组$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+2＞1 \end{cases}$的“关联方程”.
任务:
(1)在方程①$x+3=0$;②$2x+5=1$;③$1-2x=-1$中,不等式组$\begin{cases} x-1＜-1, \\ 2x+6＞1 \end{cases}$的“关联方程”是________.(填序号)
(2)若关于$x$的方程$3x-m=2$是不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0, \\ 1-x＜x+3 \end{cases}$的“关联方程”,求$m$的取值范围.
定义:如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解,那么称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”.例如:方程$2x-4=0$的解为$x=2$,不等式组$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+2＞1 \end{cases}$的解集为$-1＜x＜3$,因为$-1＜2＜3$,所以方程$2x-4=0$是不等式组$\begin{cases} x-3＜0, \\ x+2＞1 \end{cases}$的“关联方程”.
任务:
(1)在方程①$x+3=0$;②$2x+5=1$;③$1-2x=-1$中,不等式组$\begin{cases} x-1＜-1, \\ 2x+6＞1 \end{cases}$的“关联方程”是________.(填序号)
(2)若关于$x$的方程$3x-m=2$是不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0, \\ 1-x＜x+3 \end{cases}$的“关联方程”,求$m$的取值范围.
答案
14.解:(1)$\begin{cases} x-1＜-1,\\ 2x+6＞1 \end{cases}$的解集为$-\dfrac{5}{2}＜x＜0$.
解$x+3=0$,得$x=-3$;
解$2x+5=1$,得$x=-2$;
解$1-2x=-1$,得$x=1$.
由于$-\dfrac{5}{2}＜-2＜0$,但$-3＜-\dfrac{5}{2}$,$1＞0$,故方程$2x+5=1$是不等式组$\begin{cases} x-1＜-1,\\ 2x+6＞1 \end{cases}$的“关联方程”.
故答案为②.
(2)解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0,\\ 1-x＜x+3 \end{cases}$得$-1＜x＜2$.
解方程$3x-m=2$,得$x=\dfrac{m+2}{3}$.
由题意,得$-1＜\dfrac{m+2}{3}＜2$,
解得$-5＜m＜4$.
解$x+3=0$,得$x=-3$;
解$2x+5=1$,得$x=-2$;
解$1-2x=-1$,得$x=1$.
由于$-\dfrac{5}{2}＜-2＜0$,但$-3＜-\dfrac{5}{2}$,$1＞0$,故方程$2x+5=1$是不等式组$\begin{cases} x-1＜-1,\\ 2x+6＞1 \end{cases}$的“关联方程”.
故答案为②.
(2)解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0,\\ 1-x＜x+3 \end{cases}$得$-1＜x＜2$.
解方程$3x-m=2$,得$x=\dfrac{m+2}{3}$.
由题意,得$-1＜\dfrac{m+2}{3}＜2$,
解得$-5＜m＜4$.
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“关联方程”的定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则该方程是这个不等式组的关联方程。第(1)问先求解不等式组得到解集，再分别求出三个方程的解，判断哪个解落在解集内即可；第(2)问先解不等式组得到x的取值范围，再解方程用含m的式子表示x，根据关联方程的定义列出关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 解不等式组$\begin{cases} x-1＜-1, \\ 2x+6＞1 \end{cases}$：
解不等式x-1＜-1，得x＜0；
解不等式2x+6＞1，移项得2x＞-5，解得$x＞-\frac{5}{2}$；因此不等式组的解集为$-\frac{5}{2}＜x＜0$。分别求解三个方程：①解方程x+3=0，得x=-3，$-3＜-\frac{5}{2}$，不在解集内；②解方程2x+5=1，移项得2x=-4，解得x=-2，满足$-\frac{5}{2}＜-2＜0$，在解集内；③解方程1-2x=-1，移项得-2x=-2，解得x=1，1＞0，不在解集内。因此该不等式组的关联方程是②。(2) 解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0, \\ 1-x＜x+3 \end{cases}$：解不等式$\frac{x}{2}-1＜0$，移项得$\frac{x}{2}＜1$，解得x＜2；解不等式1-x＜x+3，移项得-2x＜2，系数化为1得x＞-1；因此不等式组的解集为-1＜x＜2。解方程3x-m=2，移项得3x=m+2，解得$x=\frac{m+2}{3}$。根据“关联方程”的定义可得：$-1＜\frac{m+2}{3}＜2$不等式三边同时乘3得：-3＜m+2＜6三边同时减2得：-5＜m＜4【答案】(1)②；(2)-5＜m＜4
【知识点】
新定义问题、一元一次方程求解、一元一次不等式组求解
【点评】
本题以新定义“关联方程”为载体，综合考查一元一次方程、一元一次不等式组的解法，解题核心是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为已学的方程、不等式求解问题，侧重考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“关联方程”的定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则该方程是这个不等式组的关联方程。第(1)问先求解不等式组得到解集，再分别求出三个方程的解，判断哪个解落在解集内即可；第(2)问先解不等式组得到x的取值范围，再解方程用含m的式子表示x，根据关联方程的定义列出关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 解不等式组$\begin{cases} x-1＜-1, \\ 2x+6＞1 \end{cases}$：
解不等式x-1＜-1，得x＜0；
解不等式2x+6＞1，移项得2x＞-5，解得$x＞-\frac{5}{2}$；因此不等式组的解集为$-\frac{5}{2}＜x＜0$。分别求解三个方程：①解方程x+3=0，得x=-3，$-3＜-\frac{5}{2}$，不在解集内；②解方程2x+5=1，移项得2x=-4，解得x=-2，满足$-\frac{5}{2}＜-2＜0$，在解集内；③解方程1-2x=-1，移项得-2x=-2，解得x=1，1＞0，不在解集内。因此该不等式组的关联方程是②。(2) 解不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1＜0, \\ 1-x＜x+3 \end{cases}$：解不等式$\frac{x}{2}-1＜0$，移项得$\frac{x}{2}＜1$，解得x＜2；解不等式1-x＜x+3，移项得-2x＜2，系数化为1得x＞-1；因此不等式组的解集为-1＜x＜2。解方程3x-m=2，移项得3x=m+2，解得$x=\frac{m+2}{3}$。根据“关联方程”的定义可得：$-1＜\frac{m+2}{3}＜2$不等式三边同时乘3得：-3＜m+2＜6三边同时减2得：-5＜m＜4【答案】(1)②；(2)-5＜m＜4
【知识点】
新定义问题、一元一次方程求解、一元一次不等式组求解
【点评】
本题以新定义“关联方程”为载体，综合考查一元一次方程、一元一次不等式组的解法，解题核心是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为已学的方程、不等式求解问题，侧重考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
