15. 小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图(1)中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如图(2)可以解释的等式为$(a + 2b)(a + b) = a^2 + 3ab + 2b^2$。
（1）图(3)可以解释的等式为________；

（2）请你利用图(1)中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，画出你拼出的正方形示意图；
（3）要拼出一个长为$a + 3b$，宽为$2a + b$的长方形，需要如图(1)所示的边长为$a$的正方形纸片________块，长为$b$，宽为$a$的长方形纸片________块，边长为$b$的正方形纸片________块。

(1) $(a + 2b)·(2a + b)=2a^2 + 5ab + 2b^2$
(2) 如图所示
(3) 2 7 3

【分析】
（1）解决这类拼图等式问题，核心是利用“大图形整体面积=各小图形面积之和”的思路：先确定图(3)大长方形的长和宽，计算整体面积，再分别统计3种小图形的数量，计算各部分面积之和，两者相等即可得到等式。
（2）要解释$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，只需拼出边长为$(a+b)$的正方形，将其拆分为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$b$宽为$a$的长方形即可。
（3）求所需纸片数量，先利用多项式乘法计算长为$a+3b$、宽为$2a+b$的长方形面积，展开后各项的系数就是对应纸片的数量：$a^2$项的系数是边长为$a$的正方形数量，$ab$项的系数是长$b$宽$a$的长方形数量，$b^2$项的系数是边长为$b$的正方形数量。
【解析】
（1）观察图(3)，大长方形的长为$a+b+b=a+2b$，宽为$a+b+a=2a+b$，因此整体面积为$(a+2b)(2a+b)$；
统计小图形：边长为$a$的正方形共2块，总面积$2a^2$；长为$b$宽为$a$的长方形共5块，总面积$5ab$；边长为$b$的正方形共2块，总面积$2b^2$，各部分面积和为$2a^2+5ab+2b^2$。
因此等式为$(a+2b)(2a+b)=2a^2+5ab+2b^2$。
（2）拼出的正方形边长为$a+b$，内部由1个边长为$b$的正方形、1个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为$b$的长方形组成，示意图如下：

（3）先计算长方形面积：
$\begin{aligned}(a+3b)(2a+b)&=a·2a + a· b + 3b·2a + 3b· b\\&=2a^2 + ab + 6ab + 3b^2\\&=2a^2 +7ab +3b^2\end{aligned}$
因此需要边长为$a$的正方形2块，长$b$宽$a$的长方形7块，边长为$b$的正方形3块。
【答案】
(1) $(a + 2b)(2a + b)=2a^2 + 5ab + 2b^2$
(2)
(3) 2；7；3
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式的几何意义，面积法求代数恒等式
【点评】
本题将整式乘法和图形拼图结合，直观体现了代数运算的几何背景，既考查了多项式乘法的计算能力，也考查了数形结合的应用能力，是整式乘法章节的典型题型。
【难度系数】
0.7