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12. 先化简，再求值：$(3a + b)^2 - (3a - b)(3a + b) - 5b(a - b)$，其中 $a=1$，$b=-2$。
答案
$ab + 7b^2$ 26
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：首先化简原式，依次用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开各项，再去括号、合并同类项得到最简整式；之后把已知的a、b数值代入最简整式计算结果，先化简再代入可以降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(3a + b)^2 - (3a - b)(3a + b) - 5b(a - b)\\=&(9a^2 + 6ab + b^2) - (9a^2 - b^2) - (5ab - 5b^2)\\=&9a^2 + 6ab + b^2 - 9a^2 + b^2 - 5ab + 5b^2\\=&(9a^2-9a^2)+(6ab-5ab)+(b^2+b^2+5b^2)\\=&ab + 7b^2\end{aligned}$
再代入$a=1$，$b=-2$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1×(-2)+7×(-2)^2\\&=-2+7×4\\&=-2+28\\&=26\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$ab + 7b^2$，求值结果为$26$
【知识点】
整式化简求值，乘法公式，整式混合运算
【点评】
本题考查整式的混合运算能力，解题的核心是熟练掌握相关运算法则和乘法公式，化简时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的符号规则。
【难度系数】
0.75
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：首先化简原式，依次用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开各项，再去括号、合并同类项得到最简整式；之后把已知的a、b数值代入最简整式计算结果，先化简再代入可以降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(3a + b)^2 - (3a - b)(3a + b) - 5b(a - b)\\=&(9a^2 + 6ab + b^2) - (9a^2 - b^2) - (5ab - 5b^2)\\=&9a^2 + 6ab + b^2 - 9a^2 + b^2 - 5ab + 5b^2\\=&(9a^2-9a^2)+(6ab-5ab)+(b^2+b^2+5b^2)\\=&ab + 7b^2\end{aligned}$
再代入$a=1$，$b=-2$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1×(-2)+7×(-2)^2\\&=-2+7×4\\&=-2+28\\&=26\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$ab + 7b^2$，求值结果为$26$
【知识点】
整式化简求值，乘法公式，整式混合运算
【点评】
本题考查整式的混合运算能力，解题的核心是熟练掌握相关运算法则和乘法公式，化简时要注意去括号的符号变化，代入负数求值时要注意平方运算的符号规则。
【难度系数】
0.75
13. 已知 $ x + y = 3 $，$ (x + 3)(y + 3) = 20 $。
(1) 求 $ xy $ 的值；
(2) 求 $ (x - y)^2 $ 的值。
(1) 求 $ xy $ 的值；
(2) 求 $ (x - y)^2 $ 的值。
答案
(1) 2
(2) 1
(2) 1
解析
【分析】
（1）求$xy$的值时，先将$(x+3)(y+3)=20$的左边按照多项式乘多项式法则展开，整理后式子中会出现$x+y$和$xy$两项，再把已知的$x+y=3$整体代入展开后的等式，就能直接求出$xy$的值。
（2）求$(x-y)^2$的值时，利用完全平方公式的变形，把$(x-y)^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，再代入已经求出的$x+y$、$xy$的值计算即可。
【解析】
(1) 展开$(x+3)(y+3)$可得：
$\begin{aligned}(x+3)(y+3)&=xy+3x+3y+9\\&=xy+3(x+y)+9\end{aligned}$
把$(x+3)(y+3)=20$，$x+y=3$代入上式：
$xy+3×3 +9=20$
$xy+18=20$
解得$xy=2$。
(2) 由完全平方公式变形得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x+y)^2-4xy$
把$x+y=3$，$xy=2$代入上式：
$(x-y)^2=3^2 -4×2=9-8=1$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和完全平方公式的灵活应用，解题核心是熟练掌握公式的变形规律，通过整体代入简化计算，是整式运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
（1）求$xy$的值时，先将$(x+3)(y+3)=20$的左边按照多项式乘多项式法则展开，整理后式子中会出现$x+y$和$xy$两项，再把已知的$x+y=3$整体代入展开后的等式，就能直接求出$xy$的值。
（2）求$(x-y)^2$的值时，利用完全平方公式的变形，把$(x-y)^2$转化为含$x+y$和$xy$的形式：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，再代入已经求出的$x+y$、$xy$的值计算即可。
【解析】
(1) 展开$(x+3)(y+3)$可得：
$\begin{aligned}(x+3)(y+3)&=xy+3x+3y+9\\&=xy+3(x+y)+9\end{aligned}$
把$(x+3)(y+3)=20$，$x+y=3$代入上式：
$xy+3×3 +9=20$
$xy+18=20$
解得$xy=2$。
(2) 由完全平方公式变形得：
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x+y)^2-4xy$
把$x+y=3$，$xy=2$代入上式：
$(x-y)^2=3^2 -4×2=9-8=1$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算和完全平方公式的灵活应用，解题核心是熟练掌握公式的变形规律，通过整体代入简化计算，是整式运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
14. 已知 $ n $ 是正整数，可以用含字母 $ n $ 的代数式表示两个连续的奇数.
（1）若设较小的奇数为 $ 2n - 1 $，则较大的奇数可以表示为 ______；
（2）试说明这两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.
（1）若设较小的奇数为 $ 2n - 1 $，则较大的奇数可以表示为 ______；
（2）试说明这两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.
答案
(1) $2n+1$
(2) $(2n+1)^2-(2n-1)^2=[2n+1+(2n-1)][2n+1-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$. 因为 $n$ 是正整数，所以 $8n$ 是8的倍数. 所以这两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2) $(2n+1)^2-(2n-1)^2=[2n+1+(2n-1)][2n+1-(2n-1)]=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$. 因为 $n$ 是正整数，所以 $8n$ 是8的倍数. 所以这两个连续奇数的平方差是8的倍数
解析
【分析】
第（1）问：我们知道连续两个奇数的差是2，已知较小的奇数为$2n-1$，较大的奇数只要在较小奇数的基础上加2即可得到。
第（2）问：要证明两个连续奇数的平方差是8的倍数，首先先写出两个奇数的平方差表达式，再利用平方差公式对表达式进行化简，最后判断化简结果是否为8和正整数的乘积即可，因为n是正整数，只要结果是8n的形式就能证明是8的倍数。
【解析】
（1）因为连续两个奇数相差2，较小奇数为$2n-1$，所以较大奇数为$2n-1+2=2n+1$。
（2）两个连续奇数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=[2n+1+(2n-1)][2n+1-(2n-1)]\\&=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
(1) $\boxed{2n+1}$
(2) 两个连续奇数的平方差化简后为$8n$，n为正整数，故是8的倍数，结论成立。
【知识点】
奇数的代数式表示；平方差公式；整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，第一问难度低，掌握连续奇数的差值特征即可求解；第二问需要熟练运用平方差公式化简整式，再结合正整数的性质判断整除性，是整式乘法的常规考查题型。
【难度系数】
0.75
第（1）问：我们知道连续两个奇数的差是2，已知较小的奇数为$2n-1$，较大的奇数只要在较小奇数的基础上加2即可得到。
第（2）问：要证明两个连续奇数的平方差是8的倍数，首先先写出两个奇数的平方差表达式，再利用平方差公式对表达式进行化简，最后判断化简结果是否为8和正整数的乘积即可，因为n是正整数，只要结果是8n的形式就能证明是8的倍数。
【解析】
（1）因为连续两个奇数相差2，较小奇数为$2n-1$，所以较大奇数为$2n-1+2=2n+1$。
（2）两个连续奇数的平方差为：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=[2n+1+(2n-1)][2n+1-(2n-1)]\\&=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$8n$是8的倍数，即两个连续奇数的平方差是8的倍数。
【答案】
(1) $\boxed{2n+1}$
(2) 两个连续奇数的平方差化简后为$8n$，n为正整数，故是8的倍数，结论成立。
【知识点】
奇数的代数式表示；平方差公式；整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础应用题型，第一问难度低，掌握连续奇数的差值特征即可求解；第二问需要熟练运用平方差公式化简整式，再结合正整数的性质判断整除性，是整式乘法的常规考查题型。
【难度系数】
0.75
